Zona - Area

Zonă
Simboluri comune
A
Unitatea SI Metru pătrat [m 2 ]
În unitățile de bază SI m 2
Dimensiune
Trei forme pe o rețea pătrată
Aria combinată a acestor trei forme este de aproximativ 15,57 pătrate .

Suprafața este cantitatea care exprimă întinderea unei regiuni bidimensionale , a unei forme sau a unei lamine plane în plan . Suprafața este analogul său pe suprafața bidimensională a unui obiect tridimensional . Suprafața poate fi înțeleasă ca cantitatea de material cu o grosime dată care ar fi necesară pentru modelarea unui model de formă sau cantitatea de vopsea necesară pentru a acoperi suprafața cu un singur strat. Este analogul bidimensional al lungimii unei curbe (un concept unidimensional) sau al volumului unui solid (un concept tridimensional).

Aria unei forme poate fi măsurată comparând forma cu pătratele de dimensiuni fixe. În Sistemul Internațional de Unități (SI), unitatea standard de suprafață este metrul pătrat (scris ca m 2 ), care este aria unui pătrat ale cărui laturi sunt lungi de un metru . O formă cu o suprafață de trei metri pătrați ar avea aceeași suprafață ca trei astfel de pătrate. În matematică , pătratul unității este definit ca având aria unu, iar aria oricărei alte forme sau suprafețe este un număr real adimensional .

Acest pătrat și acest disc au ambele aceeași zonă (a se vedea: pătratul cercului ).

Există mai multe formule bine cunoscute pentru zonele formelor simple, cum ar fi triunghiuri , dreptunghiuri și cercuri . Folosind aceste formule, aria oricărui poligon poate fi găsită împărțind poligonul în triunghiuri . Pentru formele cu limită curbată, calculul este de obicei necesar pentru a calcula aria. Într-adevăr, problema determinării ariei figurilor plane a fost o motivație majoră pentru dezvoltarea istorică a calculului .

Pentru o formă solidă, cum ar fi o sferă , un con sau un cilindru, aria suprafeței sale limită se numește suprafață . Formulele pentru suprafețele formelor simple au fost calculate de grecii antici , dar calculul suprafeței unei forme mai complicate necesită, de obicei, calcul multivariabil .

Zona joacă un rol important în matematica modernă. În plus față de importanța sa evidentă în geometrie și calcul, aria este legată de definiția determinanților din algebra liniară și este o proprietate de bază a suprafețelor în geometria diferențială . În analiză , aria unui subset al planului este definită folosind măsura Lebesgue , deși nu fiecare subset este măsurabil. În general, aria din matematica superioară este văzută ca un caz special de volum pentru regiunile bidimensionale.

Aria poate fi definită prin utilizarea axiomelor, definind-o ca o funcție a unei colecții de anumite figuri plane la setul de numere reale. Se poate dovedi că o astfel de funcție există.

Definiție formală

O abordare a definirii a ceea ce se înțelege prin „zonă” este prin axiome . "Aria" poate fi definită ca o funcție de la o colecție M a unui tip special de figuri plane (denumite seturi măsurabile) la setul de numere reale, care îndeplinește următoarele proprietăți:

  • Pentru tot S în M , a ( S ) ≥ 0.
  • Dacă S și T sunt în M, atunci sunt și ST și ST și, de asemenea, a ( ST ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( ST ).
  • Dacă S și T sunt în M cu ST atunci T - S este în M și a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
  • Dacă o mulțime S este în M și S este congruentă cu T atunci T este și în M și a ( S ) = a ( T ).
  • Fiecare dreptunghi R este în M . Dacă dreptunghiul are lungimea h și lățimea k atunci a ( R ) = hk .
  • Q să fie un set închis între două regiuni pas S și T . O regiune pas este format dintr - o uniune finită de dreptunghiuri adiacente sprijinite pe o bază comună, și anume SQT . Dacă există un număr unic c astfel încât a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) pentru toate aceste regiuni de etapă S și T , atunci a ( Q ) = c .

Se poate dovedi că o astfel de funcție de zonă există de fapt.

Unități

Un pătrat din țeavă din PVC pe iarbă
Un quadrat de metru pătrat din țeavă din PVC.

Fiecare unitate de lungime are o unitate de suprafață corespunzătoare, și anume aria unui pătrat cu lungimea laterală dată. Astfel, suprafețele pot fi măsurate în metri pătrați (m 2 ), centimetri pătrați (cm 2 ), milimetri pătrați (mm 2 ), kilometri pătrați (km 2 ), picioare pătrate (ft 2 ), curți pătrate (yd 2 ), mile pătrate (mi 2 ) și așa mai departe. Algebric, aceste unități pot fi considerate drept pătratele unităților de lungime corespunzătoare.

Unitatea SI de suprafață este metrul pătrat, care este considerat o unitate derivată din SI .

Conversii

O diagramă care arată factorul de conversie între diferite zone
Deși există 10 mm în 1 cm, există 100 mm 2 în 1 cm 2 .

Calculul ariei unui pătrat a cărui lungime și lățime sunt de 1 metru ar fi:

1 metru × 1 metru = 1 m 2

și astfel, un dreptunghi cu laturi diferite (să zicem lungimea de 3 metri și lățimea de 2 metri) ar avea o suprafață în unități pătrate care poate fi calculată ca:

3 metri × 2 metri = 6 m 2 . Acest lucru este echivalent cu 6 milioane de milimetri pătrați. Alte conversii utile sunt:

  • 1 kilometru pătrat = 1.000.000 de metri pătrați
  • 1 metru pătrat = 10.000 centimetri pătrați = 1.000.000 milimetri pătrați
  • 1 centimetru pătrat = 100 milimetri pătrați.

Unități non-metrice

În unitățile nemetrice, conversia dintre două unități pătrate este pătratul conversiei dintre unitățile de lungime corespunzătoare.

1 picior = 12 inci ,

relația dintre picioarele pătrate și inci pătrate este

1 picior pătrat = 144 inch pătrat,

unde 144 = 12 2 = 12 × 12. În mod similar:

  • 1 curte pătrată = 9 metri pătrați
  • 1 milă pătrată = 3.097.600 de metri pătrați = 27.878.400 de metri pătrați

În plus, factorii de conversie includ:

  • 1 inch pătrat = 6.4516 centimetri pătrați
  • 1 picior pătrat = 0,092 903 04 metri pătrați
  • 1 curte pătrată = 0,836 127 36 metri pătrați
  • 1 milă pătrată = 2.589 988 110 336 kilometri pătrați

Alte unități, inclusiv istorice

Există mai multe alte unități comune pentru zonă. ARE a fost unitatea originală a zonei în sistemul metric , cu:

  • 1 sunt = 100 de metri pătrați

Deși are a căzut din uz, hectarul este încă folosit în mod obișnuit pentru măsurarea terenului:

  • 1 hectar = 100 ari = 10.000 metri pătrați = 0,01 kilometri pătrați

Alte unități metrice neobișnuite de zonă includ tetrad , hectad și miriade .

Acrul asemenea , este frecvent utilizat pentru a măsura suprafețele de teren, în cazul în care

  • 1 acru = 4.840 de metri patrati = 43.560 de metri patrati.

Un acru este de aproximativ 40% dintr-un hectar.

Pe scara atomică, aria este măsurată în unități de hambare , astfel încât:

  • 1 hambar = 10 −28 metri pătrați.

Grădina este utilizată în mod obișnuit în descrierea secțiunii transversale de interacțiune în fizica nucleară .

În India ,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acru

Istorie

Zona cercului

În secolul al V-lea î.e.n., Hipocrate din Chios a fost primul care a arătat că aria unui disc (regiunea închisă de un cerc) este proporțională cu pătratul diametrului său, ca parte a cvadraturii sale a lunii lui Hipocrate , dar a făcut-o nu identificăm constanta proporționalității . Eudoxus din Cnidus , tot în secolul al V-lea î.Hr., a constatat, de asemenea, că aria unui disc este proporțională cu raza sa pătrată.

Ulterior, Cartea I a Elementelor lui Euclid s-a ocupat de egalitatea zonelor dintre figurile bidimensionale. Matematicianul Arhimede a folosit instrumentele geometriei euclidiene pentru a arăta că aria din interiorul unui cerc este egală cu cea a unui triunghi dreptunghic a cărui bază are lungimea circumferinței cercului și a cărei înălțime este egală cu raza cercului, în cartea sa Măsurarea unui cerc . (Circumferința este de 2 π r , iar aria unui triunghi este jumătate din baza de ori înălțimea, rezultând aria π r 2 pentru disc.) Arhimede a aproximat valoarea lui π (și, prin urmare, aria unui cerc de unitate-rază ) cu metoda sa de dublare , în care a înscris un triunghi regulat într-un cerc și a notat aria acestuia, apoi a dublat numărul de laturi pentru a da un hexagon regulat , apoi a dublat în mod repetat numărul de laturi pe măsură ce aria poligonului se apropia din ce în ce mai mult de acea a cercului (și a făcut același lucru cu poligoane circumscrise ).

Omul de știință elvețian Johann Heinrich Lambert în 1761 a dovedit că π , raportul ariei unui cerc cu raza sa pătrată, este irațional , ceea ce înseamnă că nu este egal cu coeficientul oricăror două numere întregi. În 1794, matematicianul francez Adrien-Marie Legendre a dovedit că π 2 este irațional; acest lucru demonstrează, de asemenea, că π este irațional. În 1882, matematicianul german Ferdinand von Lindemann a demonstrat că π este transcendental (nu soluția oricărei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali), confirmând o conjectură făcută atât de Legendre, cât și de Euler.

Zona triunghiului

Heron (sau Hero) din Alexandria a găsit ceea ce este cunoscută ca formula lui Heron pentru aria unui triunghi în ceea ce privește laturile sale, iar o dovadă poate fi găsită în cartea sa, Metrica , scrisă în jurul anului 60 e.n. S-a sugerat că Arhimede știa formula cu peste două secole mai devreme și, din moment ce Metrica este o colecție de cunoștințe matematice disponibile în lumea antică, este posibil ca formula să fie anterioară referinței date în acea lucrare.

În 499 Aryabhata , un mare matematician - astronom din epoca clasică a matematicii indiene și a astronomiei indiene , a exprimat aria unui triunghi ca jumătate din baza înălțimii din Aryabhatiya (secțiunea 2.6).

O formulă echivalentă cu cea a Heron a fost descoperită de chinezi independent de greci. A fost publicat în 1247 în Shushu Jiuzhang („ Tratat matematic în nouă secțiuni ”), scris de Qin Jiushao .

Zona cvadrilaterală

În secolul al VII-lea e.n. , Brahmagupta a dezvoltat o formulă, acum cunoscută sub numele de formula lui Brahmagupta , pentru aria unui patrulater ciclic (un patrulater inscripționat într-un cerc) în ceea ce privește laturile sale. În 1842, matematicienii germani Carl Anton Bretschneider și Karl Georg Christian von Staudt au găsit independent o formulă, cunoscută sub numele de formula lui Bretschneider , pentru aria oricărui patrulater.

Zona poligonului general

Dezvoltarea coordonatelor carteziene de către René Descartes în secolul al XVII-lea a permis dezvoltarea de către Gauss a formulei topografului pentru zona oricărui poligon cu locații de vârf cunoscute în secolul al XIX-lea.

Zonele determinate folosind calculul

Dezvoltarea calculului integral la sfârșitul secolului al XVII-lea a furnizat instrumente care ar putea fi utilizate ulterior pentru calculul unor zone mai complicate, cum ar fi aria unei elipse și suprafețele diferitelor obiecte tridimensionale curbate.

Formule de zonă

Formule poligonale

Pentru un poligon care nu se intersectează ( simplu ), coordonatele carteziene ( i = 0, 1, ..., n -1) ale căror n vârfuri sunt cunoscute, aria este dată de formula topografului :

unde când i = n -1, atunci i +1 este exprimat ca modul n și deci se referă la 0.

Dreptunghiuri

Un dreptunghi cu lungimea și lățimea etichetate
Aria acestui dreptunghi este  lw .

Formula de bază cea mai de bază este formula pentru aria unui dreptunghi . Având în vedere un dreptunghi cu lungimea l și lățimea w , formula zonei este:

A = lw  (dreptunghi).

Adică aria dreptunghiului este lungimea înmulțită cu lățimea. Ca un caz special, ca l = w în cazul unui pătrat, aria unui pătrat cu lungimea laturii s este dată de formula:

A = s 2  (pătrat).

Formula pentru aria unui dreptunghi urmează direct din proprietățile de bază ale ariei și este uneori luată ca definiție sau axiomă . Pe de altă parte, în cazul în care geometria este dezvoltat înainte de aritmetică , această formulă poate fi utilizată pentru a defini multiplicarea de numere reale .

Disecția, paralelogramele și triunghiurile

Majoritatea celorlalte formule simple pentru zonă decurg din metoda disecției . Aceasta implică tăierea unei forme în bucăți, ale cărei suprafețe trebuie să fie suma ariei formei originale.

O diagramă care arată cum un paralelogram poate fi rearanjat în formă de dreptunghi.

De exemplu, orice paralelogram poate fi împărțit într-un trapez și un triunghi dreptunghiular , așa cum se arată în figura din stânga. Dacă triunghiul este mutat pe cealaltă parte a trapezului, atunci figura rezultată este un dreptunghi. Rezultă că aria paralelogramului este aceeași cu aria dreptunghiului:

A = bh  (paralelogram).
Un paralelogram împărțit în două triunghiuri egale.

Cu toate acestea, același paralelogram poate fi, de asemenea, tăiat de-a lungul unei diagonale în două triunghiuri congruente , așa cum se arată în figura din dreapta. Rezultă că aria fiecărui triunghi este jumătate din aria paralelogramului:

 (triunghi).

Argumente similare pot fi folosite pentru a găsi formule de suprafață pentru trapez și poligoane mai complicate .

Zona formelor curbate

Cercuri

Un cerc împărțit în mai multe sectoare poate fi rearanjat aproximativ pentru a forma un paralelogram
Un cerc poate fi împărțit în sectoare care se rearanjează pentru a forma un paralelogram aproximativ .

Formula pentru aria unui cerc (denumită mai corect zona închisă de un cerc sau zona unui disc ) se bazează pe o metodă similară. Având în vedere un cerc cu raza r , este posibil să partiționăm cercul în sectoare , așa cum se arată în figura din dreapta. Fiecare sector are o formă aproximativ triunghiulară, iar sectoarele pot fi rearanjate pentru a forma un paralelogram aproximativ. Înălțimea acestui paralelogram este r , iar lățimea este jumătate din circumferința cercului sau π r . Astfel, aria totală a cercului este π r 2 :

A = π r 2  (cerc).

Deși disecția utilizată în această formulă este doar aproximativă, eroarea devine din ce în ce mai mică pe măsură ce cercul este partiționat în tot mai multe sectoare. Limita zonelor de paralelograme aproximative este exact π r 2 , care este zona cercului.

Acest argument este de fapt o simplă aplicare a ideilor de calcul . În cele mai vechi timpuri, metoda epuizării era utilizată în mod similar pentru a găsi aria cercului, iar această metodă este acum recunoscută ca un precursor al calculului integral . Folosind metode moderne, aria unui cerc poate fi calculată folosind o integrală definită :

Elipsele

Formula pentru aria închisă de o elipsă este legată de formula unui cerc; pentru o elipsă cu axe semi-majore și semi-minore x și y formula este:

Suprafață

O sferă albastră în interiorul unui cilindru de aceeași înălțime și rază
Arhimede a arătat că suprafața unei sfere este exact de patru ori aria unui disc plat de aceeași rază, iar volumul închis de sferă este exact 2/3 din volumul unui cilindru de aceeași înălțime și rază.

Cele mai multe formule de bază pentru suprafață pot fi obținute prin tăierea suprafețelor și aplatizarea lor. De exemplu, dacă suprafața laterală a unui cilindru (sau orice prismă ) este tăiată longitudinal, suprafața poate fi aplatizată într-un dreptunghi. În mod similar, dacă se face o tăietură de-a lungul părții laterale a unui con , suprafața laterală poate fi aplatizată într-un sector al unui cerc, iar aria rezultată poate fi calculată.

Formula pentru suprafața unei sfere este mai dificil de derivat: deoarece o sferă are curbură gaussiană diferită de zero , nu poate fi aplatizată. Formula pentru suprafața unei sfere a fost obținută pentru prima dată de Arhimede în lucrarea Sa despre sferă și cilindru . Formula este:

A = 4 πr 2  (sferă),

unde r este raza sferei. La fel cu formula pentru zona unui cerc, orice derivare a acestei formule folosește inerent metode similare cu calculul .

Formule generale

Zonele figurilor bidimensionale

Zona triunghiului
  • Un triunghi : (unde B este orice latură și h este distanța de la linia pe care se află B până la celălalt vârf al triunghiului). Această formulă poate fi utilizată dacă se cunoaște înălțimea h . Dacă lungimile celor trei laturi sunt cunoscute atunci se poate folosi formula lui Heron : unde a , b , c sunt laturile triunghiului și este jumătate din perimetrul său. Dacă sunt date un unghi și cele două laturi incluse, aria este unde C este unghiul dat și a și b sunt laturile sale incluse. Dacă triunghiul este grafic pe un plan de coordonate, se poate utiliza o matrice și se simplifică la valoarea absolută a . Această formulă este, de asemenea, cunoscută sub numele de formula șiretului și este o modalitate ușoară de a rezolva aria unui triunghi de coordonate prin înlocuirea celor 3 puncte (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) și (x 3 , y 3 ) . Formula șiretului poate fi, de asemenea, utilizată pentru a găsi zonele altor poligoane atunci când vârfurile lor sunt cunoscute. O altă abordare pentru un triunghi de coordonate este utilizarea calculului pentru a găsi aria.
  • Un poligon simplu construit pe o rețea de puncte la distanță egală (adică, puncte cu coordonate întregi ) astfel încât toate vârfurile poligonului să fie puncte de rețea:, unde i este numărul de puncte de rețea din interiorul poligonului și b este numărul de puncte limită . Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Pick .

Zona în calcul

O diagramă care arată aria dintre o curbă dată și axa x
Integrarea poate fi considerată ca măsurând aria sub o curbă, definită de f ( x ), între două puncte (aici a și b ).
O diagramă care arată aria dintre două funcții
Aria dintre două grafice poate fi evaluată prin calcularea diferenței dintre integralele celor două funcții
  • Aria dintre o curbă cu valoare pozitivă și axa orizontală, măsurată între două valori a și b (b este definită ca fiind cea mai mare dintre cele două valori) pe axa orizontală, este dată de integralul de la a la b al funcției care reprezintă curba:
unde este curba cu valoarea y mai mare.
  • O zonă delimitată de o funcție exprimată în coordonate polare este:
  • Zona delimitată de o curbă parametrică cu puncte finale este dată de integralele de linie :
sau componenta z a
(Pentru detalii, a se vedea teorema lui Green § Calculul suprafeței .) Acesta este principiul dispozitivului mecanic planimetric .

Aria delimitată între două funcții pătratice

Pentru a găsi aria delimitată dintre două funcții pătratice , scădem una din cealaltă pentru a scrie diferența ca

unde f ( x ) este limita superioară pătratică și g ( x ) este limita inferioară pătratică. Definiți discriminantul pentru f ( x ) - g ( x ) ca

Prin simplificarea formulei integrale dintre graficele a două funcții (așa cum este dat în secțiunea de mai sus) și folosind formula lui Vieta , putem obține

Cele de mai sus rămân valabile dacă una dintre funcțiile de limitare este liniară în loc de pătratică.

Suprafața figurilor tridimensionale

  • Cone : , unde r este raza bazei circulare, iar h este înălțimea. Aceasta poate fi, de asemenea, rescrisă ca sau unde r este raza și l este înălțimea înclinată a conului. este zona de bază în timp ce este suprafața laterală a conului.
  • cub : , unde s este lungimea unei muchii.
  • cilindru : , unde r este raza unei baze și h este înălțimea. 2 r poate fi rescrisă ca d , unde d este diametrul.
  • prisma : 2B + Ph, unde B este aria unei baze, P este perimetrul unei baze și h este înălțimea prismei.
  • piramidă : , unde B este aria bazei, P este perimetrul bazei, iar L este lungimea pantei.
  • prisme rectangulare : , unde este lungimea, w este lățimea, iar h este înălțimea.

Formula generală pentru suprafața

Formula generală pentru suprafața graficului unei funcții continuu diferențiate unde și este o regiune în planul xy cu limita netedă:

O formulă și mai generală pentru aria graficului unei suprafețe parametrice în forma vectorială unde este o funcție vectorială continuu diferențiată este:

Lista formulelor

Formule comune suplimentare pentru zonă:
Formă Formulă Variabile
Dreptunghi Rechteck-ab.svg
Triunghi Dreieck-allg-bh.svg
Triunghi Dreieck-allg-w.svg
Triunghi

( Formula Heron )

Dreieck-allg.svg
Triunghi isoscel Dreieck-gsch.svg
Triunghi regulat

( triunghi echilateral )

Dreieck-gseit.svg
Romb / Zmeu Raute-de.svg
Paralelogram Parallelog-aha.svg
Trapez Trapez-abcdh.svg
Hexagon regulat Hexagon-a.svg
Octogon regulat Oktagon-a.svg
Poligon regulat

( laturi)





Oktagon-arR.svg

( perimetru ) incircle radius circumcircle radius



Cerc

( diametru )

Kreis-r-tab.svg
Sector circular Cerc arc.svg
Elipsă Ellipse-ab-tab.svg
Integral hochkant = 0,2
Suprafață
Sferă
Kugel-1-tab.svg
Cuboid Quader-1-tab.svg
cilindru

(incl. jos și sus)

Zylinder-1-tab.svg
Con

(incl. partea de jos)

Kegel-1-tab.svg
Torus Torus-1-tab.svg
Suprafața revoluției

(rotație în jurul axei x)

Vase-1-tab.svg

Calculele de mai sus arată cum să găsiți zonele multor forme comune .

Suprafețele poligoanelor neregulate (și, prin urmare, arbitrare) pot fi calculate folosind „ formula Surveyor ” (formula șiretului).

Relația dintre zonă și perimetru

Inegalitatea isoperimetric afirmă că, pentru o curbă închisă a lungimii L (astfel încât regiunea se înconjoară are perimetru L ) și pentru zona A din regiune pe care le cuprinde,

iar egalitatea se menține dacă și numai dacă curba este un cerc . Astfel, un cerc are cea mai mare suprafață din orice figură închisă cu un perimetru dat.

La cealaltă extremă, o figură cu perimetrul dat L ar putea avea o suprafață arbitrar mică, așa cum este ilustrat de un romb care este „răsturnat” în mod arbitrar, astfel încât două dintre unghiurile sale sunt aproape arbitrare de 0 ° și celelalte două sunt aproape arbitrare la 180 °.

Pentru un cerc, raportul ariei cu circumferința (termenul pentru perimetrul unui cerc) este egal cu jumătate din raza r . Acest lucru poate fi văzut din formula zonei πr 2 și formula circumferinței 2 πr .

Aria unui poligon regulat este jumătate din perimetrul său de apotemă (unde apotema este distanța de la centru la cel mai apropiat punct de pe orice parte).

Fractale

Dublarea lungimilor de margine ale unui poligon multiplică aria acestuia cu patru, care este două (raportul dintre lungimea laterală nouă și cea veche) ridicată la puterea a două (dimensiunea spațiului în care se află poligonul). Dar dacă lungimile unidimensionale ale unui fractal trasat în două dimensiuni sunt toate dublate, conținutul spațial al fractalului se scalează cu o putere de două care nu este neapărat un număr întreg. Această putere se numește dimensiunea fractală a fractalului.

Bisectoare de zonă

Există o infinitate de linii care bisectează aria unui triunghi. Trei dintre ele sunt medianele triunghiului (care leagă punctele medii ale laturilor cu vârfurile opuse), iar acestea sunt concurente la centroidul triunghiului ; într-adevăr, acestea sunt singurele bisectoare care trec prin centroid. Orice linie printr-un triunghi care împarte atât triunghiul, cât și perimetrul său în jumătate trece prin incinerul triunghiului (centrul incercului său ). Există unul, doi sau trei dintre aceștia pentru orice triunghi dat.

Orice linie prin punctul de mijloc al unui paralelogram împarte zona.

Toate bisectoarele de zonă ale unui cerc sau ale altei elipse trec prin centru, iar orice coardă prin centru bisectează zona. În cazul unui cerc, acestea sunt diametrele cercului.

Optimizare

Având în vedere un contur de sârmă, suprafața cu cea mai mică suprafață ("umplere") este o suprafață minimă . Exemple cunoscute includ bule de săpun .

Întrebarea zonei de umplere a cercului Riemannian rămâne deschisă.

Cercul are cea mai mare suprafață din orice obiect bidimensional având același perimetru.

Un poligon ciclic (unul înscris într-un cerc) are cea mai mare zonă a oricărui poligon cu un număr dat de laturi de aceleași lungimi.

O versiune a inegalității izoperimetrice pentru triunghiuri afirmă că triunghiul cu cea mai mare zonă dintre toți cei cu un perimetru dat este echilateral .

Triunghiul celei mai mari suprafețe dintre toate cele înscrise într-un cerc dat este echilateral; iar triunghiul celei mai mici zone dintre toate cele circumscrise în jurul unui cerc dat este echilateral.

Raportul dintre aria cercului și aria unui triunghi echilateral ,, este mai mare decât cel al oricărui triunghi neechilateral.

Raportul ariei cu pătratul perimetrului unui triunghi echilateral este mai mare decât cel al oricărui alt triunghi.

Vezi si

Referințe

linkuri externe