Bispectru - Bispectrum

În matematică , în zona analizei statistice , bispectrul este o statistică utilizată pentru a căuta interacțiuni neliniare.

Definiții

Transformata Fourier a de ordinul doi cumulant , adică autocorelație funcția, este tradițional spectrul de putere .

Transformata Fourier a lui C ₃ ( t ₁ ,  t ₂ ) ( funcția generatoare cumulant de ordinul III ) se numește bispectru sau densitate bispectrală .

Calcul

Aplicarea teoremei convoluției permite calcularea rapidă a bispectrului:, unde denotă transformata Fourier a semnalului și conjugatul acestuia. ${\ displaystyle B (f_ {1}, f_ {2}) = F (f_ {1}) \ cdot F (f_ {2}) \ cdot F ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) }$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F ^ {*}}$

Aplicații

Bispectrul și bicoherența pot fi aplicate în cazul interacțiunilor neliniare ale unui spectru continuu de unde de propagare într-o singură dimensiune.

S-au efectuat măsurători bispectrale pentru monitorizarea semnalelor EEG . S-a mai arătat că bispectra caracterizează diferențele dintre familiile de instrumente muzicale.

În seismologie , semnalele au rareori o durată adecvată pentru a face estimări bispectrale sensibile din mediile de timp.

Analiza bispectrală descrie observațiile făcute la două lungimi de undă. Este adesea folosit de oamenii de știință pentru a analiza structura elementară a unei atmosfere planetare, analizând cantitatea de lumină reflectată și primită prin diferite filtre de culoare . Prin combinarea și îndepărtarea a două filtre, se poate extrage mult din doar două filtre. Prin interpolare computerizată modernă , poate fi creat un al treilea filtru virtual pentru a recrea fotografii color adevărate care, deși nu sunt deosebit de utile pentru analiza științifică, sunt populare pentru afișarea publică în manuale și campanii de strângere de fonduri.

Analiza bispectrală poate fi, de asemenea, utilizată pentru a analiza interacțiunile dintre modelele de undă și mareele de pe Pământ.

O formă de analiză bispectrală numită indicele bispectral se aplică formelor de undă EEG pentru a monitoriza profunzimea anesteziei.

Bifaza (faza polispectrului) poate fi utilizată pentru detectarea cuplajelor de fază, reducerea zgomotului analizei semnalelor polarmonice (în special vorbirea).

Generalizări

Bispectra se încadrează în categoria spectrelor de ordin superior sau polispectre și oferă informații suplimentare spectrului de putere. Polispectrul de ordinul trei (bispectru) este cel mai ușor de calculat și, prin urmare, cel mai popular.

O statistică definită în mod analog este coerența bispectrală sau bicoherența .

Trispectru

Transformata Fourier a lui C4 (t1, t2, t3) (funcția generatoare de cumulanți de ordinul patru) se numește trispectru sau densitate trispectrală .

Trispectrul T (f1, f2, f3) se încadrează în categoria spectrelor de ordin superior sau polispectre și oferă informații suplimentare spectrului de putere. Trispectrul este o construcție tridimensională. În simetriile de trispectrum permit un set mult sprijin redus care urmează să fie definite, conținute în următoarele vârfuri, unde 1 este frecvența Nyquist . (0,0,0) (1 / 2,1 / 2, -1 / 2) (1 / 3,1 / 3,0) (1 / 2,0,0) (1 / 4,1 / 4, 1/4). Planul care conține punctele (1 / 6,1 / 6,1 / 6) (1 / 4,1 / 4,0) (1 / 2,0,0) împarte acest volum într-o regiune interioară și exterioară. Un semnal staționar va avea puterea zero (statistic) în regiunea exterioară. Suportul trispectrum este împărțit în regiuni de planul identificat mai sus și de planul (f1, f2). Fiecare regiune are cerințe diferite în ceea ce privește lățimea de bandă a semnalului necesară pentru valori diferite de zero.

În același mod în care contribuțiile identifică bispectrum la un semnal de asimetrici în funcție de triplete de frecvență, contribuțiile identifică trispectrum la un semnal de aplatizării ca o funcție de frecvență cvadrupleți.

Trispectrul a fost utilizat pentru a investiga domeniile de aplicabilitate a estimării fazei maxime a kurtozei utilizate în deconvoluția datelor seismice pentru a găsi structura stratului.

Referințe

• Mendel JM (1991). „Tutorial despre statistici de ordin superior (spectre) în procesarea semnalului și teoria sistemului: rezultate teoretice și unele aplicații”. Proc. IEEE . 79 (3): 278-305. doi : 10.1109 / 5.75086 .
• HOSA - Casetă de instrumente de analiză spectrală de comandă superioară : O cutie de instrumente MATLAB pentru analiza spectrală și polispectrală și distribuții de frecvență de timp. Documentația explică polispectrele în detaliu.