Conjectura lui Blattner - Blattner's conjecture
În matematică , conjectura lui Blattner sau formula lui Blattner este o descriere a reprezentărilor discrete în serie ale unui grup general semisimplu G în ceea ce privește reprezentările lor restrânse la un subgrup compact K maxim (așa-numitele tipuri K ). Este numit după Robert James Blattner , în ciuda faptului că nu a fost formulat ca o presupunere de către el.
Afirmație
Formula lui Blattner spune că, dacă o reprezentare discretă în serie cu caracter infinitesimal λ este limitată la un subgrup compact maxim K , atunci reprezentarea lui K cu greutatea cea mai mare μ are loc cu multiplicitate
Unde
- Q este numărul de moduri în care un vector poate fi scris ca o sumă de rădăcini pozitive necompacte
- W K este grupul Weyl al lui K
- ρ c este jumătate din suma rădăcinilor compacte
- ρ n este jumătate din suma rădăcinilor necompacte
- ε este caracterul semn al W K .
Formula lui Blattner este ceea ce se obține prin restricționarea formală a formei caracterului Harish-Chandra pentru o reprezentare discretă a seriei la torul maxim al unui grup compact maxim. Problema în demonstrarea formulei Blattner este că aceasta dă caracterul doar pe elementele regulate ale torului maxim și trebuie, de asemenea, să-i controlăm comportamentul asupra elementelor singulare. Pentru reprezentări ireductibile nediscrete, restricția formală a formei caracterului lui Harish-Chandra nu trebuie să dea descompunerea sub subgrupul compact maxim: de exemplu, pentru reprezentările principale ale seriei SL 2 caracterul este identic zero pe elementele non-singular ale subgrup compact maxim, dar reprezentarea nu este zero pe acest subgrup. În acest caz, caracterul este o distribuție pe subgrupul compact maxim cu sprijin pe elementele singulare.
Istorie
Harish-Chandra a atribuit oral conjectura lui Robert James Blattner ca o întrebare pe care Blattner a ridicat-o, nu ca o conjectură făcută de Blattner. Blattner nu a publicat-o sub nicio formă. A apărut pentru prima dată în tipar în Schmid (1968 , teorema 2), unde a fost menționată pentru prima dată sub denumirea de „Conjectura lui Blattner”, în ciuda faptului că rezultatele acelei lucrări au fost obținute fără cunoștința întrebării lui Blattner și, în ciuda faptului că Blattner nu a făcut o astfel de conjectură. Okamoto și Ozeki (1967) au menționat un caz special al acestuia puțin mai devreme.
Schmid (1972) a dovedit formula lui Blattner în unele cazuri speciale. Schmid (1975a) a arătat că formula lui Blattner a dat o limită superioară pentru multiplicitățile reprezentărilor K , Schmid (1975b) a dovedit conjectura lui Blattner pentru grupuri al căror spațiu simetric este Hermitian, iar Hecht și Schmid (1975) au dovedit conjectura lui Blattner pentru grupurile semisimple liniare. Conjectura (formula) lui Blattner a fost dovedită și de Enright (1979) prin metode infinitesimale care erau total noi și complet diferite de cele ale lui Hecht și Schmid (1975). O parte din impulsul lucrării Enright (1979) a venit din mai multe surse: de la Enright și Varadarajan (1975) , Wallach (1976) , Enright și Wallach (1978) . În Enright (1979) se dau formule de multiplicitate și pentru așa-numitele reprezentări de serie discret-simulate. Enright (1978) și-a folosit ideile pentru a obține rezultate privind construcția și clasificarea modulelor ireductibile Harish-Chandra ale oricărei algebre Lie semi-simple.
Referințe
- Enright, Thomas J; Varadarajan, VS (1975), „Despre o caracterizare infinitesimală a seriei discrete.”, Annals of Mathematics , 102 (1): 1–15, doi : 10.2307 / 1970970 , JSTOR 1970970 , MR 0476921
- Enright, Thomas J; Wallach, Nolan R (1978), "Seria fundamentală de reprezentări ale unei algebre Lie semi-simple", Acta Mathematica , 140 (1-2): 1-32, doi : 10.1007 / bf02392301 , MR 0476814
- Enright, Thomas J (1978), „Despre construcția algebrică și clasificarea modulelor Harish-Chandra”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 75 (3): 1063–1065, Bibcode : 1978PNAS .. .75.1063E , doi : 10.1073 / pnas.75.3.1063 , MR 0480871 , PMC 411407 , PMID 16592507
- Enright, Thomas J (1979), „Despre seria fundamentală a unei algebre Lie semi- simple : formele lor de ireductibilitate, rezoluții și multiplicitate”, Annals of Mathematics , 110 (1): 1-82, doi : 10.2307 / 1971244 , JSTOR 1971244 , MR 0541329
- Hecht, Henryk; Schmid, Wilfried (1975), „O dovadă a conjecturii lui Blattner”, Inventiones Mathematicae , 31 (2): 129–154, doi : 10.1007 / BF01404112 , ISSN 0020-9910 , MR 0396855 , S2CID 123048659
- Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), "La pătrat-integrabile ∂ spații -cohomology atașate spații simetrice Hermitian" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 95-110, ISSN 0030-6126 , MR 0229260
- Schmid, Wilfried (1968), „Multiple complexe omogene și reprezentări ale grupurilor de minciuni semisimple”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 59 (1): 56–59, Bibcode : 1968PNAS ... 59. ..56S , doi : 10.1073 / pnas.59.1.56 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 58599 , MR 0225930 , PMC 286000 , PMID 16591593
- Schmid, Wilfried (1970), „Despre realizarea seriei discrete ale unui grup Lie semi-simplu.”, Rice University Studies , 56 (2): 99–108 , ISSN 0035-4996 , MR 0277668
- Schmid, Wilfried (1975a), „Unele proprietăți ale reprezentărilor pătrate-integrabile ale grupurilor de Lie semi-simple”, Annals of Mathematics , Second Series, 102 (3): 535-564, doi : 10.2307 / 1971043 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971043 , MR 0579165
- Schmid, Wilfried (1975b), "Despre caracterele seriei discrete. Cazul simetric hermitian", Inventiones Mathematicae , 30 (1): 47–144, Bibcode : 1975InMat..30 ... 47S , doi : 10.1007 / BF01389847 , ISSN 0020-9910 , MR 0396854 , S2CID 120935812
- Wallach, Nolan R (1976), "On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4 (1): 81–101, doi : 10.24033 / asens.1304 , MR 0422518