Conjectura lui Blattner - Blattner's conjecture

În matematică , conjectura lui Blattner sau formula lui Blattner este o descriere a reprezentărilor discrete în serie ale unui grup general semisimplu G în ceea ce privește reprezentările lor restrânse la un subgrup compact K maxim (așa-numitele tipuri K ). Este numit după Robert James Blattner , în ciuda faptului că nu a fost formulat ca o presupunere de către el.

Afirmație

Formula lui Blattner spune că, dacă o reprezentare discretă în serie cu caracter infinitesimal λ este limitată la un subgrup compact maxim K , atunci reprezentarea lui K cu greutatea cea mai mare μ are loc cu multiplicitate

Unde

Q este numărul de moduri în care un vector poate fi scris ca o sumă de rădăcini pozitive necompacte
W K este grupul Weyl al lui K
ρ c este jumătate din suma rădăcinilor compacte
ρ n este jumătate din suma rădăcinilor necompacte
ε este caracterul semn al W K .

Formula lui Blattner este ceea ce se obține prin restricționarea formală a formei caracterului Harish-Chandra pentru o reprezentare discretă a seriei la torul maxim al unui grup compact maxim. Problema în demonstrarea formulei Blattner este că aceasta dă caracterul doar pe elementele regulate ale torului maxim și trebuie, de asemenea, să-i controlăm comportamentul asupra elementelor singulare. Pentru reprezentări ireductibile nediscrete, restricția formală a formei caracterului lui Harish-Chandra nu trebuie să dea descompunerea sub subgrupul compact maxim: de exemplu, pentru reprezentările principale ale seriei SL 2 caracterul este identic zero pe elementele non-singular ale subgrup compact maxim, dar reprezentarea nu este zero pe acest subgrup. În acest caz, caracterul este o distribuție pe subgrupul compact maxim cu sprijin pe elementele singulare.

Istorie

Harish-Chandra a atribuit oral conjectura lui Robert James Blattner ca o întrebare pe care Blattner a ridicat-o, nu ca o conjectură făcută de Blattner. Blattner nu a publicat-o sub nicio formă. A apărut pentru prima dată în tipar în Schmid (1968 , teorema 2), unde a fost menționată pentru prima dată sub denumirea de „Conjectura lui Blattner”, în ciuda faptului că rezultatele acelei lucrări au fost obținute fără cunoștința întrebării lui Blattner și, în ciuda faptului că Blattner nu a făcut o astfel de conjectură. Okamoto și Ozeki (1967) au menționat un caz special al acestuia puțin mai devreme.

Schmid (1972) a dovedit formula lui Blattner în unele cazuri speciale. Schmid (1975a) a arătat că formula lui Blattner a dat o limită superioară pentru multiplicitățile reprezentărilor K , Schmid (1975b) a dovedit conjectura lui Blattner pentru grupuri al căror spațiu simetric este Hermitian, iar Hecht și Schmid (1975) au dovedit conjectura lui Blattner pentru grupurile semisimple liniare. Conjectura (formula) lui Blattner a fost dovedită și de Enright (1979) prin metode infinitesimale care erau total noi și complet diferite de cele ale lui Hecht și Schmid (1975). O parte din impulsul lucrării Enright (1979) a venit din mai multe surse: de la Enright și Varadarajan (1975) , Wallach (1976) , Enright și Wallach (1978) . În Enright (1979) se dau formule de multiplicitate și pentru așa-numitele reprezentări de serie discret-simulate. Enright (1978) și-a folosit ideile pentru a obține rezultate privind construcția și clasificarea modulelor ireductibile Harish-Chandra ale oricărei algebre Lie semi-simple.

Referințe