Unda capilară - Capillary wave

${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho '}$

${\ displaystyle \ nabla \ phi}$

${\ displaystyle \ nabla \ phi '}$

${\ displaystyle \ phi (x, y, z, t)}$

${\ displaystyle \ phi '(x, y, z, t)}$

Sunt implicate trei contribuții la energie: energia potențială datorată

${\ displaystyle V_ {g}}$

${\ displaystyle V_ {st}}$

${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle V_ {g}}$

${\ displaystyle \ rho gz}$

${\ displaystyle \ rho 'gz}$

${\ displaystyle z = \ eta (x, y, t)}$

${\ displaystyle V _ {\ mathrm {g}} = \ iint dx \, dy \; \ int _ {0} ^ {\ eta} dz \; (\ rho - \ rho ') gz = {\ frac {1} {2}} (\ rho - \ rho ') g \ iint dx \, dy \; \ eta ^ {2},}$

presupunând că poziția medie a interfeței este la . ${\ displaystyle z = 0}$

O creștere a suprafeței cauzează o creștere proporțională a energiei datorită tensiunii superficiale:

${\ displaystyle V _ {\ mathrm {st}} = \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ dreapta) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ approx {\ frac {1} {2} } \ sigma \ iint dx \, dy \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right],}$

unde prima egalitate este aria din această reprezentare (a lui Monge ), iar a doua se aplică valorilor mici ale derivatelor (suprafețe nu prea aspre).

Ultima contribuție implică energia cinetică a fluidului:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} dz \; \ rho \, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi \ right | ^ {2} + \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} dz \; \ rho '\, \ left | \ mathbf {\ nabla} \ Phi' \ right | ^ {2} \ dreapta].}$

Se folosește ca fluidul să fie incompresibil, iar fluxul său să fie irotațional (deseori, aproximări sensibile). Ca rezultat, ambele și trebuie să satisfacă

${\ displaystyle \ phi (x, y, z, t)}$

${\ displaystyle \ phi '(x, y, z, t)}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}$   și   ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi '= 0.}$

Aceste ecuații pot fi rezolvate cu condițiile limită adecvate: și trebuie să dispară bine de la suprafață (în cazul „apei adânci”, care este cel pe care îl considerăm). ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi '}$

Folosind identitatea lui Green și presupunând că deviațiile cotei de suprafață sunt mici (deci integrările z pot fi aproximate prin integrarea până la în loc de ), energia cinetică poate fi scrisă ca: ${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z = \ eta}$

${\ displaystyle T \ approx {\ frac {1} {2}} \ iint dx \, dy \; \ left [\ rho \, \ Phi \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \; - \; \ rho '\, \ Phi' \, {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} \ right] _ {{\ text {at}} z = 0}.}$

Pentru a găsi relația de dispersie, este suficient să se ia în considerare o undă sinusoidală pe interfață, care se propagă în direcția x :

${\ displaystyle \ eta = a \, \ cos \, (kx- \ omega t) = a \, \ cos \, \ theta,}$

cu amplitudine și

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ theta = kx- \ omega t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$   și     la . ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi '} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}}}$${\ displaystyle z = 0}$

Pentru a aborda problema găsirii potențialelor, se poate încerca separarea variabilelor , atunci când ambele câmpuri pot fi exprimate ca:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (x, y, z, t) & = + {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {+ | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta, \\\ Phi '(x, y, z, t) & = - {\ frac {1} {| k |}} {\ text {e}} ^ {- | k | z} \, \ omega a \, \ sin \, \ theta. \ end {align}}}$

Apoi contribuțiile la energia undei, integrate orizontal pe o lungime de undă în direcția

${\ displaystyle \ lambda = 2 \ pi / k}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ text {g}} & = {\ frac {1} {4}} (\ rho - \ rho ') ga ^ {2} \ lambda, \\ V _ {\ text {st}} & = {\ frac {1} {4}} \ sigma k ^ {2} a ^ {2} \ lambda, \\ T & = {\ frac {1} {4}} (\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} a ^ {2} \ lambda. \ end {align}}}$

Relația de dispersie poate fi acum obținută din Lagrangian , cu suma energiilor potențiale prin gravitație și tensiune superficială : ${\ displaystyle L = TV}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V_ {g}}$${\ displaystyle V_ {st}}$

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {4}} \ left [(\ rho + \ rho ') {\ frac {\ omega ^ {2}} {| k |}} - (\ rho - \ rho ') g- \ sigma k ^ {2} \ right] a ^ {2} \ lambda.}$

Pentru undele sinusoidale și teoria undelor liniare, Lagrangianul mediat de fază este întotdeauna de formă , astfel încât variația față de singurul parametru liber , dă relația de dispersie . În cazul nostru este doar expresia dintre paranteze, astfel încât relația de dispersie este: ${\ displaystyle L = D (\ omega, k) a ^ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle D (\ omega, k) = 0}$${\ displaystyle D (\ omega, k)}$

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = | k | \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho'}} \, g + {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho '}} \, k ^ {2} \ right),}$

la fel ca mai sus.

Ca rezultat, energia medie a undei pe unitate de zonă orizontală ,, este: ${\ displaystyle (T + V) / \ lambda}$

${\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {1} {2}} \, \ left [(\ rho - \ rho ') \, g + \ sigma k ^ {2} \ right] \, a ^ {2}.}$

Ca de obicei în mișcările valurilor liniare, potențialul și energia cinetică sunt egale ( echipartiție deține): . ${\ displaystyle T = V}$