Dualitate coerentă - Coherent duality

În matematică, dualitatea coerentă este oricare dintre o serie de generalizări ale dualității Serre , care se aplică snopilor coerenți , în geometria algebrică și teoria complexă a varietății , precum și unele aspecte ale algebrei comutative care fac parte din teoria „locală”.

Rădăcinile istorice ale teoriei stau în ideea sistemului liniar adiacent al unui sistem liniar de divizori în geometria algebrică clasică. Acest lucru a fost re-exprimat, odată cu apariția teoriei snopului , într-un mod care a făcut mai evidentă o analogie cu dualitatea Poincaré . Apoi, conform unui principiu general, punctul de vedere relativ al lui Grothendieck , teoria lui Jean-Pierre Serre a fost extinsă la un morfism adecvat ; Dualitatea serului a fost recuperată ca fiind cazul morfismului unei varietăți proiective non-singulare (sau varietate completă ) până la un punct. Teoria rezultată este acum numită uneori dualitate Serre-Grothendieck-Verdier și este un instrument de bază în geometria algebrică. Un tratament al acestei teorii, Residues and Duality (1966) de Robin Hartshorne , a devenit o referință. O scădere concretă a fost reziduul Grothendieck .

Pentru a trece dincolo de morfisme adecvate, ca și pentru versiunile dualității Poincaré care nu sunt pentru varietăți închise , necesită o versiune a conceptului de suport compact . Acest lucru a fost abordat în SGA2 în termeni de cohomologie locală și dualitate locală Grothendieck ; și ulterior. Dualitatea Greenlees-mai , formulată pentru prima dată în 1976 de către Ralf Strebel și în 1978 de către Eben Matlis , face parte din examinarea în continuare a acestui domeniu.

Punct de vedere al funcționarului adjunct

Functoare de imagine pentru snopi
imagine directă f ∗
imagine inversă f ∗
imagine directă cu suport compact f !
imagine inversă excepțională Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoreme de schimbare a bazei
v t e

În timp ce dualitatea Serre folosește un pachet de linii sau un snop inversabil ca snop dualizant , teoria generală (se pare) nu poate fi atât de simplă. (Mai precis, se poate, dar la costul de impunere a inelului Gorenstein condiție.) Într - un viraj caracteristic, Grothendieck reformulate dualitate generală coerentă ca existența unui Adjoint drept functor , numit răsucite sau excepționale functor imagine inversă , la o mai mare directă imagine cu functor de suport compact . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Imaginile directe superioare sunt o formă de cohomologie a snopilor în acest caz cu suport adecvat (compact); acestea sunt grupate într-un singur functor prin intermediul formulării de categorie derivată a algebrei omologice (introdusă având în vedere acest caz). Dacă este corect, atunci este o corelație dreaptă la functorul de imagine inversă . Teorema existență pentru imaginea inversă răsucită este numele dat dovada existenței pentru ceea ce ar fi counit pentru comonad de- a căutat pentru adăugire, și anume o transformare naturală${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

care este notat cu (Hartshorne) sau (Verdier). Aspectul teoriei cel mai apropiat de sensul clasic, după cum sugerează notația, este că dualitatea este definită prin integrare. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

Pentru a fi mai precis, există ca un funcționor exact de la o categorie derivată de covoare cvasi-coerente pe , la categoria analogă pe , ori de câte ori ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

este un morfism propriu sau cvasiproiectiv al schemelor noetheriene, de dimensiune finită Krull . Din aceasta se poate deriva restul teoriei: complexele dualizante se retrag , simbolul reziduului Grothendieck , snopul dualizant în cazul Cohen – Macaulay . ${\ displaystyle f ^ {!}}$

Pentru a obține o afirmație într-un limbaj mai clasic, dar mai larg decât dualitatea Serre, Hartshorne ( Geometria Algebră ) folosește funcția Ext a snopilor ; acesta este un fel de trambulină către categoria derivată.

Afirmația clasică a dualității Grothendieck pentru un morfism proiectiv sau adecvat al schemelor noetheriene de dimensiune finită, găsită în Hartshorne ( Reziduuri și dualitate ) este următorul cvasi-izomorfism ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}$

pentru un complex mărginit deasupra de -module cu cohomologie cvasi-coerentă și un delimitat sub complex de -module cu cohomologie coerentă. Aici sunt snopi de omomorfisme. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Construcția pseudofunctorului utilizând complexe rigide de dualizare${\ displaystyle f ^ {!}}$

De-a lungul anilor, au apărut mai multe abordări pentru construirea pseudofunctorului. O abordare de succes destul de recentă se bazează pe noțiunea de complex rigid dualizant. Această noțiune a fost definită pentru prima dată de Van den Bergh într-un context necomutativ. Construcția se bazează pe o variantă a cohomologiei Hochschild derivate ( cohomologia Shukla): Să fie un inel comutativ și să fie o algebră comutativă . Există un functor care duce un complex de cochain la un obiect din categoria derivată . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming este noetherian, un complex dualizant rigid față de este, prin definiție, o pereche în care este un complex dualizant peste care are o dimensiune plană finită și unde este un izomorfism în categoria derivată . Dacă există un astfel de complex dualizant rigid, atunci acesta este unic într-un sens puternic. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ to RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Presupunând că este o localizare a unui tip finit -algebră, existența unui complex dualizant rigid față de a fost demonstrată pentru prima dată de Yekutieli și Zhang presupunând că este un inel regulat noetherian cu dimensiune finită Krull, iar de Avramov , Iyengar și Lipman presupunând că este un inel Gorenstein de dimensiune finită Krull și este de dimensiune plană finită peste . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Dacă este o schemă de tip finit , se pot lipi complexele rigide de dualizare pe care le au piesele sale afine și se poate obține un complex de dualizare rigid . Odată ce se stabilește o existență globală a unui complex rigid dualizant, dată fiind o hartă a schemelor de peste , se poate defini , unde pentru o schemă , am stabilit . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Exemple complexe dualizante

Complex dualizant pentru o varietate proiectivă

Complexul dualizant pentru o varietate proiectivă este dat de complex ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Avion care intersectează o linie

Luați în considerare varietatea proiectivă

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ right) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ right)}$

Putem calcula folosind o rezoluție de snopi liberi la nivel local. Acest lucru este dat de complex ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ la 0}$

De vreme ce avem asta ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}}$

Acesta este complexul

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Vezi si

• Dualitate mai verzi

Note

Referințe

• Greenlees, JPC; Mai, J. Peter (1992), " Funcții derivate ale completării I -adice și omologiei locale", Journal of Algebra , 149 (2): 438-453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 20-48
• Neeman, Amnon (1996), „Teorema dualității Grothendieck prin tehnicile lui Bousfield și reprezentabilitatea Brown”, Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Schimbarea bazei pentru imaginea inversă răsucită a snopilor coerenți", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , pp. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, O abordare algebrică a simbolului reziduurilor lui Grothendieck (PDF)