Cub - Cube
Hexahron regulat | |
---|---|
(Faceți clic aici pentru model rotativ) |
|
Tip | Solid platonic |
cod scurt | 4 = |
Elemente |
F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2) |
Fețele laterale | 6 {4} |
Notare Conway | C |
Simboluri Schläfli | {4,3} |
t {2,4} sau {4} × {} tr {2,2} sau {} × {} × {} |
|
Configurarea feței | V3.3.3.3 |
Simbolul Wythoff | 3 | 2 4 |
Diagrama Coxeter | |
Simetrie | O h , B 3 , [4,3], (* 432) |
Grup de rotație | O , [4,3] + , (432) |
Referințe | U 06 , C 18 , W 3 |
Proprietăți | zonoedru regulat , convex |
Unghi diedru | 90 ° |
4.4.4 ( Figura Vertex ) |
Octahedron ( poliedru dual ) |
Net |
În geometrie , un cub este un obiect solid tridimensional mărginit de șase fețe pătrate , fațete sau laturi, cu trei întâlniri la fiecare vârf .
Cubul este singurul hexaedru regulat și este unul dintre cele cinci solide platonice . Are 6 fețe, 12 margini și 8 vârfuri.
Cubul este, de asemenea, un paralelipiped pătrat , un cuboid echilateral și un romboedru drept . Este o prismă pătrată regulată în trei orientări și un trapezohedron trigonal în patru orientări.
Cubul este dual cu octaedrul . Are simetrie cubică sau octaedrică .
Cubul este singurul poliedru convex ale cărui fețe sunt toate pătrate .
Proiecții ortogonale
Cubul are patru speciale proiecții ortogonale , centrate, pe un vârf, margini, față și normal la ei figura nod . Primul și al treilea corespund planurilor A 2 și B 2 Coxeter .
Centrat de | Față | Vertex |
---|---|---|
Avioane Coxeter |
B 2 |
A 2 |
Simetrie proiectivă |
[4] | [6] |
Vedere înclinată |
Tiglă sferică
Cubul poate fi, de asemenea, reprezentat ca o placă sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică . Această proiecție este conformă , păstrând unghiuri, dar nu zone sau lungimi. Liniile drepte de pe sferă sunt proiectate ca arcuri circulare pe plan.
Proiecție ortografică | Proiecție stereografică |
---|
Coordonatele carteziene
Pentru un cub centrat la origine, cu margini paralele cu axele și cu o lungime a muchiei de 2, coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt
- (± 1, ± 1, ± 1)
în timp ce interiorul constă din toate punctele ( x 0 , x 1 , x 2 ) cu −1 < x i <1 pentru toate i .
Ecuația în
În geometria analitică , suprafața unui cub cu centrul ( x 0 , y 0 , z 0 ) și lungimea muchiei de 2a este locusul tuturor punctelor ( x , y , z ) astfel încât
Un cub poate fi considerat și cazul limitativ al unui superelipsoid 3D, deoarece toți cei trei exponenți se apropie de infinit.
Formule
Pentru un cub cu lungimea muchiei :
suprafață | volum | ||
diagonală a feței | diagonală spațială | ||
raza sferei circumscrise | raza sferei tangente la margini | ||
raza sferei inscripționate | unghiuri între fețe (în radiani ) |
Deoarece volumul unui cub este a treia putere a laturilor sale , puterile a treia sunt numite cuburi , prin analogie cu pătratele și a doua puteri.
Un cub are cel mai mare volum dintre cuboizi (cutii dreptunghiulare) cu o suprafață dată . De asemenea, un cub are cel mai mare volum dintre cuboizi cu aceeași dimensiune liniară totală (lungime + lățime + înălțime).
Punct în spațiu
Pentru un cub a cărui sferă de circumscripție are raza R și pentru un punct dat în spațiul său tridimensional cu distanțe d i de cele opt vârfuri ale cubului, avem:
Dublarea cubului
Dublarea cubului , sau problema Delian , a fost problema pusă de matematicienii greci antici de a folosi doar o busolă și o linie pentru a începe cu lungimea marginii unui cub dat și pentru a construi lungimea marginii unui cub cu dublul volumul cubului original. Nu au reușit să rezolve această problemă și, în 1837, Pierre Wantzel a dovedit că este imposibil, deoarece rădăcina cubică a lui 2 nu este un număr construibil .
Culoare uniformă și simetrie
Cubul are trei culori uniforme, denumite prin culorile fețelor pătrate din jurul fiecărui vârf: 111, 112, 123.
Cubul are patru clase de simetrie, care pot fi reprezentate prin colorarea tranzitivă a vârfurilor fețelor. Cea mai înaltă simetrie octaedrică O h are toate fețele de aceeași culoare. Diedru simetrie D 4h provine din cubul fiind o prismă, cu toate cele patru laturi fiind aceeași culoare. Subseturile prismatice D 2d au aceeași culoare ca și precedentul și D 2h are culori alternante pentru laturile sale pentru un total de trei culori, asociat cu laturi opuse. Fiecare formă de simetrie are un simbol Wythoff diferit .
Nume | Hexahron regulat |
Prisma pătrată | Trapezoprism dreptunghiular |
Cuboid dreptunghiular |
Prisma rombică |
Trapezohedron trigonal |
---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama Coxeter |
||||||
Simbolul Schläfli |
{4,3} | {4} × {} rr {4,2} |
s 2 {2,4} | {} 3 tr {2,2} |
{} × 2 {} | |
Simbolul Wythoff |
3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Simetrie | O h [4,3] (* 432) |
D 4h [4,2] (* 422) |
D 2d [4,2 + ] (2 * 2) |
D 2h [2,2] (* 222) |
D 3d [6,2 + ] (2 * 3) |
|
Ordinea de simetrie |
24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Imagine ( colorare uniformă ) |
(111) |
(112) |
(112) |
(123) |
(112) |
(111), (112) |
Relații geometrice
Un cub are unsprezece plase (una arătată mai sus): adică există unsprezece moduri de a aplatiza un cub gol prin tăierea a șapte margini. Pentru a colora cubul astfel încât să nu existe două fețe adiacente să aibă aceeași culoare, ar fi nevoie de cel puțin trei culori.
Cubul este celula singurului placaj regulat al spațiului euclidian tridimensional . Este, de asemenea, unic printre solidele platonice prin faptul că are fețe cu un număr par de laturi și, în consecință, este singurul membru al acelui grup care este un zonoedru (fiecare față are simetrie punctuală).
Cubul poate fi tăiat în șase piramide pătrate identice . Dacă aceste piramide pătrate sunt apoi atașate la fețele unui al doilea cub, se obține un dodecaedru rombic (cu perechi de triunghiuri coplanare combinate în fețe rombice).
Alte dimensiuni
Analogul unui cub în spațiul euclidian cu patru dimensiuni are un nume special - teseract sau hipercub . Mai corect, un hipercub (sau cub n- dimensional sau pur și simplu n- cub) este analogul cubului în spațiul euclidian n- dimensional și un teseract este hipercubul de ordinul 4. Un hipercub se mai numește și politop de măsură .
Există analogi ai cubului și în dimensiuni mai mici: un punct în dimensiunea 0, un segment de linie într-o dimensiune și un pătrat în două dimensiuni.
Poliedre înrudite
Coeficientul cubului de către harta antipodală dă un poliedru proiectiv , hemicubul .
Dacă cubul original are lungimea muchiei 1, poliedrul său dual (un octaedru ) are lungimea muchiei .
Cubul este un caz special în diferite clase de poliedre generale:
Nume | Lungimi de margine egale? | Unghiuri egale? | Unghiuri drepte? |
---|---|---|---|
cub | da | da | da |
Romboedru | da | da | Nu |
Cuboid | Nu | da | da |
Paralelipiped | Nu | da | Nu |
hexaedru cu față patrulateră | Nu | Nu | Nu |
Vârfurile unui cub pot fi grupate în două grupuri de patru, fiecare formând un tetraedru regulat ; mai general, acest lucru este denumit demicub . Aceste două formează împreună un compus regulat , octangula stella . Intersecția celor două formează un octaedru regulat. Simetriile unui tetraedru regulat corespund cu cele ale unui cub care mapează fiecare tetraedru la sine; celelalte simetrii ale cubului le mapează pe cele două între ele.
Un astfel de tetraedru regulat are un volum de 1/3de cea a cubului. Spațiul rămas este format din patru tetraedre neregulate egale cu un volum de1/6 din cea a cubului, fiecare.
Redresate cub este cuboctahedron . Dacă colțurile mai mici sunt tăiate, obținem un poliedru cu șase fețe octogonale și opt fețe triunghiulare. În special putem obține octogonuri obișnuite ( cub trunchiat ). Rhombicuboctahedron este obținut prin tăierea ambelor colțuri și muchii la cantitatea corectă.
Un cub poate fi înscris într-un dodecaedru astfel încât fiecare vârf al cubului să fie un vârf al dodecaedrului și fiecare margine să fie o diagonală a uneia dintre fețele dodecaedrului; luarea tuturor acestor cuburi dă naștere compusului obișnuit de cinci cuburi.
Dacă două colțuri opuse ale unui cub sunt trunchiate la adâncimea celor trei vârfuri conectate direct la ele, se obține un octaedru neregulat. Opt dintre aceste octaedre neregulate pot fi atașate fețelor triunghiulare ale unui octaedru regulat pentru a obține cuboctaedrul.
Cubul este legat topologic de o serie de poliedre sferice și plăci cu figuri de vârf de ordinul 3 .
* n 32 mutație de simetrie a plăcilor regulate: { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferic | Euclidian | Hiperb compact. | Paraco. | Hiperbolic necompact | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Cuboctaedrul este unul dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cub și octaedru regulat.
Poliedre octaedrice uniforme | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
|||||||
{4,3} | t {4,3} |
r {4,3} r {3 1,1 } |
t {3,4} t {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
h {4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t {3,3} |
s {3,4} s {3 1,1 } |
= |
= |
= |
= sau |
= sau |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Dualele la poliedre uniforme | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Cubul este legat topologic ca parte a secvenței de placări regulate, care se extinde în planul hiperbolic : {4, p}, p = 3,4,5 ...
* n 42 mutație de simetrie a plăcilor regulate: {4, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferic | Euclidian | Hiperbolic compact | Paracompact | ||||||||
{4,3} |
{4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} ... |
{4, ∞} |
Cu simetrie diedrică, Dih 4 , cubul este înrudit topologic într-o serie de poliedre uniforme și plăcuțe 4.2n.2n, care se extind în planul hiperbolic:
* n 42 mutație de simetrie a plăcilor trunchiate: 4,2 n .2 n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie * n 42 [n, 4] |
Sferic | Euclidian | Hiperbolic compact | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] |
* 342 [3,4] |
* 442 [4,4] |
* 542 [5,4] |
* 642 [6,4] |
* 742 [7,4] |
* 842 [8,4] ... |
* ∞42 [∞, 4] |
||||
Cifre trunchiate |
|||||||||||
Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
cifre n-kis |
|||||||||||
Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Toate aceste figuri au simetrie octaedrică .
Cubul face parte dintr-o secvență de poliedre rombice și plăci cu [ n , 3] simetrie de grup Coxeter . Cubul poate fi văzut ca un hexaedru rombic în care rombii sunt pătrate.
Mutații de simetrie ale plăcilor duale cvasiregulare: V (3.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* n32 | Sferic | Euclidian | Hiperbolic | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Gresie | |||||||||||
Conf. | V (3.3) 2 | V (3.4) 2 | V (3.5) 2 | V (3.6) 2 | V (3.7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 |
Cubul este o prismă pătrată :
Numele prismei | Prisma digonală | (Trigonal) Prisma triunghiulară |
(Tetragonal) Prisma pătrată |
Prisma pentagonală | Prisma hexagonală | Prisma heptagonală | Prisma octogonală | Prisma enneagonală | Prisma decagonală | Prisma Hendecagonală | Prisma dodecagonală | ... | Prisma apirogonală |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Imagine poliedru | ... | ||||||||||||
Imagine cu plăci sferice | Imagine cu plăci plate | ||||||||||||
Configurare Vertex. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | ∞.4.4 |
Diagrama Coxeter | ... |
Ca trapezohedron trigonal , cubul este legat de familia de simetrie diedrică hexagonală.
Poliedre sferice diedre hexagonale uniforme | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie : [6,2] , (* 622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2 * 3) | ||||||||||||
{6,2} | t {6,2} | r {6,2} | t {2,6} | {2,6} | rr {6,2} | tr {6,2} | sr {6,2} | s {2,6} | ||||||
Dualuri la uniforme | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Compus din trei cuburi |
Compus din cinci cuburi |
În faguri uniforme și policora
Este un element de 9 din 28 faguri uniformi conveși :
Este, de asemenea, un element de cinci policore uniforme în patru dimensiuni :
Tesseract |
Cantelat cu 16 celule |
Teseract runcinat |
Cantitruncated 16-cell |
Runcitruncated cu 16 celule |
Grafic cubic
Grafic cubic | |
---|---|
Numit după | Î 3 |
Vârfuri | 8 |
Margini | 12 |
Rază | 3 |
Diametru | 3 |
Circumferinţă | 4 |
Automorfisme | 48 |
Număr cromatic | 2 |
Proprietăți | Hamiltonian , regulat , simetric , distanță-regulat , distanță-tranzitiv , 3-vârf conectat , bipartit , grafic plan |
Tabel de grafice și parametri |
Scheletul cubului (nodurile și muchiile) formează un grafic , cu 8 noduri și 12 muchii. Este un caz special al graficului hipercub . Este unul dintre cele 5 grafice platonice , fiecare un schelet al solidului său platonic .
O extensie este graficul Hamming tridimensional k -ary , care pentru k = 2 este graficul cub. Graficele de acest fel apar în teoria procesării paralele în computere.
Vezi si
Referințe
linkuri externe
- Weisstein, Eric W. „Cub” . MathWorld .
- Cub: Model interactiv de poliedru *
- Volumul unui cub , cu animație interactivă
- Cube (site-ul lui Robert Webb)
Familie | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poligon regulat | Triunghi | Pătrat | p-gon | Hexagon | Pentagon | |||||||
Poliedru uniform | Tetraedru | Octahedron • Cub | Demicube | Dodecaedru • Icosaedru | ||||||||
Policoron uniform | Pentachoron | 16-celule • Tesseract | Demitesseract | 24 de celule | 120 de celule • 600 de celule | |||||||
5-politop uniform | 5-simplex | 5-ortoplex • 5-cub | 5-demicub | |||||||||
6-politop uniform | 6-simplex | 6-ortoplex • 6-cub | 6-demicub | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7-politop uniform | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cub | 7-demicube | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
8-politop uniform | 8-simplex | 8-ortoplex • 8-cub | 8-demicube | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9-politop uniform | 9-simplex | 9-ortoplex • 9-cub | 9-demicube | |||||||||
10-politop uniform | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cub | 10-demicube | |||||||||
Uniforme n - polytope | n - simplex | n - ortoplex • n - cub | n - demicub | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politop pentagonal | |||||||
Subiecte: Familii de politopi • Politop regulat • Lista politopilor și compușilor obișnuiți |