Cohomologie De Rham - De Rham cohomology

Câmp vectorial care corespunde unei forme diferențiale pe planul perforat care este închis, dar nu exact, arătând că cohomologia de Rham a acestui spațiu este non-banală.

În matematică , cohomologia de Rham (numită după Georges de Rham ) este un instrument aparținând atât topologiei algebrice, cât și topologiei diferențiale , capabil să exprime informații topologice de bază despre varietățile netede într-o formă adaptată în mod special calculului și reprezentării concrete a claselor de cohomologie . Este o teorie a cohomologiei bazată pe existența formelor diferențiale cu proprietăți prescrise.

Fiecare formă exactă este închisă, dar inversul nu este neapărat adevărat. Pe de altă parte, există o relație între eșecul exactității și existența „găurilor”. Grupurile de cohomologie De Rham sunt un set de invarianți ai varietăților netede care fac relația menționată cantitativă și vor fi discutate în acest articol.

Conceptul de integrare pe forme are o importanță fundamentală în topologia diferențială, geometrie și fizică și, de asemenea, dă unul dintre cele mai importante exemple de cohomologie , și anume cohomologia de Rham , care (aproximativ vorbind) măsoară exact măsura în care teorema fundamentală a calculul eșuează în dimensiuni superioare și pe varietăți generale.
-  Terence Tao , forme diferențiale și integrare

Definiție

Complexul de Rham este complexul cochain de forme diferențiale pe o varietate netedă M , cu derivată exterioară ca diferențial:

unde Ω 0 ( M ) este spațiul funcțiilor netede pe M , Ω 1 ( M ) este spațiul formelor 1 și așa mai departe. Formele care sunt imaginea altor forme sub derivata exterioară , plus funcția constantă 0 în Ω 0 ( M ) , se numesc exacte și formele a căror derivată exterioară este 0 sunt numite închise (vezi Formele diferențiale închise și exacte ); relația d 2 = 0 spune apoi că formele exacte sunt închise.

În schimb, formele închise nu sunt neapărat exacte. Un caz ilustrativ este un cerc ca o varietate și forma 1 care corespunde derivatei unghiului dintr-un punct de referință din centrul său, scris de obicei ca (descris la formele diferențiale închise și exacte ). Nu există nici o funcție θ definită pe întregul cerc astfel încât dθ să fie derivată; creșterea de 2 π în a merge o dată în jurul cercului în direcția pozitivă implică o funcție multivalorată θ . Eliminarea unui punct al cercului înlătură acest lucru, schimbând în același timp topologia colectorului.

Ideea din spatele cohomologiei de Rham este de a defini clase de echivalență a formelor închise pe o varietate. Se clasifică două forme închise α , β ∈ Ω k ( M ) drept cohomologe dacă diferă printr-o formă exactă, adică dacă α - β este exactă. Această clasificare induce o relație de echivalență pe spațiul formelor închise în Ω k ( M ) . Se definește apoi grupul de cohomologie k -th de Rham ca fiind setul de clase de echivalență, adică setul de forme închise în Ω k ( M ) modulo formele exacte.

Rețineți că, pentru orice distribuitor M compus din m componente deconectate, fiecare dintre ele fiind conectat , avem acest lucru

Acest lucru rezultă din faptul că orice funcție netedă pe M cu derivatul zero , peste tot este constant separat pe fiecare dintre componentele conectate ale M .

Cohomologia De Rham a fost calculată

S-ar putea găsi adesea cohomologiile generale de Rham ale unei varietăți folosind faptul de mai sus despre cohomologia zero și o secvență Mayer-Vietoris . Un alt fapt util este că cohomologia de Rham este un invariant de homotopie . Deși calculul nu este dat, următoarele sunt cohomologiile de Rham calculate pentru unele obiecte topologice comune :

N -sphere

Pentru n -sfera , și, de asemenea, atunci când sunt luate împreună cu un produs de intervale deschise, avem următoarele. Fie n > 0, m ≥ 0 și I să fie un interval real deschis. Atunci

N -torus

-Torus este produsul cartezian: . În mod similar, permițând aici, obținem

Putem găsi, de asemenea, generatoare explicite pentru cohomologia de Rham a torului folosind direct forme diferențiale. Având în vedere un coeficient multiplu și o formă diferențială, putem spune că este -invariant dacă i se dă orice difeomorfism indus de , avem . În special, retragerea oricărei forme este -invariantă. De asemenea, retragerea este un morfism injectiv. În cazul nostru , formele diferențiale sunt -invariante din moment ce . Dar, observați că for nu este o formă invariantă . Acest lucru cu injectivitatea implică asta

Deoarece inelul de cohomologie al unui tor este generat de , luarea produselor exterioare ale acestor forme oferă toți reprezentanții expliciți pentru cohomologia de Rham a unui tor.

Spațiul euclidian străpuns

Spațiul euclidian străpuns este pur și simplu cu originea eliminată.

Banda Möbius

Putem deduce din faptul că banda Möbius , M , poate fi deformată retractată în sfera 1 (adică cercul real al unității), că:

Teorema lui De Rham

Stokes Teorema este o expresie a dualității între de Rham coomologia și omologia a lanțurilor . Se spune că împerecherea formelor și lanțurilor diferențiale, prin integrare, dă un omomorfism de la cohomologia de Rham la grupurile de cohomologie singulară Teorema lui De Rham , demonstrată de Georges de Rham în 1931, afirmă că pentru o varietate lină M , această hartă este de fapt un izomorfism .

Mai exact, luați în considerare harta

definit după cum urmează: pentru orice , să fiu eu ( ω ) elementul care acționează după cum urmează:

Teorema lui de Rham afirmă că acesta este un izomorfism între cohomologia de Rham și cohomologia singulară.

Produsul exterior conferă suma directă a acestor grupuri cu o structură inelară . Un rezultat suplimentar al teoremei este că cele două inele de cohomologie sunt izomorfe (sub formă de inele gradate ), unde produsul analog pe cohomologie singulară este produsul de cupă .

Izomorfismul lui Sheaf-theoretic de Rham

De Rham Coomologia este izomorf cu coomologia Čech , în cazul în care este fascicolul de grupuri abeliene determinate de pentru toate seturile deschise conectate , și pentru mulțimi deschise , astfel încât , morfismul de grup este dat de harta de identitate pe și în cazul în care este un bun capac deschis of (adică toate seturile deschise din capacul deschis sunt contractibile la un punct și toate intersecțiile finite ale seturilor sunt fie goale, fie contractibile la un punct). Cu alte cuvinte, este sheaf-ul constant dat de sheafification-ul atribuirii constante a presheaf-ului .

Într-un alt mod, dacă este un colector compact C m +1 de dimensiune , atunci pentru fiecare , există un izomorfism

unde partea stângă este grupul de cohomologie de-Rham și partea dreaptă este cohomologia Čech pentru snopul constant cu fibre

Dovadă

Să denotăm șirul de germeni de -form pe (cu șirul de funcții aprins ). După lema Poincaré , următoarea succesiune de snopi este exactă (în categoria snopilor):

Această secvență se împarte acum în secvențe scurte exacte

Fiecare dintre acestea induce o secvență exactă lungă în cohomologie. Întrucât șirul de funcții pe o varietate admite partiții de unitate , coaja-coșul dispare pentru . Deci, lungele secvențe de cohomologie exacte se separă în cele din urmă într-un lanț de izomorfisme. La un capăt al lanțului se află cohomologia Čech și la celălalt se află cohomologia de Rham.

Idei conexe

Cohomologia de Rham a inspirat multe idei matematice, inclusiv cohomologia Dolbeault , teoria Hodge și teorema indexului Atiyah-Singer . Cu toate acestea, chiar și în contexte mai clasice, teorema a inspirat o serie de evoluții. În primul rând, teoria Hodge demonstrează că există un izomorfism între cohomologia constând din forme armonice și cohomologia de Rham constând din forme închise modulo forme exacte. Aceasta se bazează pe o definiție adecvată a formelor armonice și a teoremei Hodge. Pentru detalii suplimentare, a se vedea teoria Hodge .

Forme armonice

Dacă M este o varietate Riemanniană compactă , atunci fiecare clasă de echivalență conține exact o formă armonică . Adică, fiecare membru al unei clase de echivalență date de forme închise poate fi scris ca

în cazul în care este exactă și este armonic: .

Orice funcție armonică pe un distribuitor Riemannian compact conectat este o constantă. Astfel, acest element reprezentativ particular poate fi înțeles ca fiind un extremum (un minim) al tuturor formelor echivalente din punct de vedere cohomologic pe varietate. De exemplu, pe un 2 - torusului , se poate imagina o constantă 1 forma a ca una în care toate „parul“ este pieptănat îngrijit în aceeași direcție (și toate „păr“ având aceeași lungime). În acest caz, există două pieptănări cohomologic distincte; toate celelalte sunt combinații liniare. În special, acest lucru implică faptul că primul număr Betti al unui 2- toro este de două. Mai general, pe un tor-dimensional , se pot lua în considerare diferitele pieptănări ale -formelor pe tor. Există alege astfel de canură care pot fi folosite pentru a forma vectori de bază pentru ; numărul Betti -lea pentru grupul de coomologie Rham pentru -torus este astfel alege .

Mai precis, pentru un colector diferențial M , se poate echipa cu o metrică Riemanniană auxiliară . Apoi laplacianul este definit de

cu derivatul exterior și codifferential . Laplacianul este un operator diferențial liniar omogen (în gradare ) care acționează asupra algebrei exterioare a formelor diferențiale : putem privi acțiunea sa asupra fiecărei componente de grad separat.

În cazul în care este compact și orientat , dimensiunea a nucleului actoricească laplaciană la spațiul k -forms este apoi egală (de teorie Hodge ) la cea a grupului de coomologie Rham în grad : picamere laplaciană dintr - un unic armonic formă în fiecare clasă de cohomologie a formelor închise . În special, spațiul tuturor formelor armonice de pe este izomorf pentru Dimensiunea fiecărui astfel de spațiu este finită și este dată de numărul - Betti .

Descompunerea Hodge

Să fie un compact orientată spre colector Riemanniană . De descompunere Hodge afirma ca orice forma a in mod unic imparte in suma trei L 2 componente:

unde este exact, este co-exact și este armonic.

Unul spune că o formă este co-închisă dacă și co-exactă dacă pentru o formă , și că este armonică dacă Laplacianul este zero ,. Aceasta urmează notând că formele exacte și coexacte sunt ortogonale; complementul ortogonal constă atunci din forme atât închise, cât și co-închise: adică din forme armonice. Aici, ortogonalitatea este definită în raport cu produsul interior L 2 pe :

Prin utilizarea spațiilor sau distribuțiilor Sobolev , descompunerea poate fi extinsă, de exemplu, la o varietate Riemanniană completă (orientată sau nu).

Vezi si

Citații

Referințe

linkuri externe