Ecuație diferențială - Differential equation

Vizualizarea transferului de căldură într-o carcasă a pompei, creată prin rezolvarea ecuației căldurii . Căldura este generată intern în carcasă și este răcită la limită, asigurând o distribuție a temperaturii în stare stabilă .

În matematică, o ecuație diferențială este o ecuație care leagă una sau mai multe funcții și derivatele lor . În aplicații, funcțiile reprezintă în general mărimi fizice, derivatele reprezintă ratele lor de schimbare, iar ecuația diferențială definește o relație între cele două. Astfel de relații sunt comune; prin urmare, ecuațiile diferențiale joacă un rol proeminent în multe discipline, inclusiv inginerie , fizică , economie și biologie .

În principal studiul ecuațiilor diferențiale constă în studiul soluțiilor lor (ansamblul funcțiilor care satisfac fiecare ecuație) și a proprietăților soluțiilor lor. Doar cele mai simple ecuații diferențiale sunt rezolvabile prin formule explicite; cu toate acestea, multe proprietăți ale soluțiilor unei ecuații diferențiale date pot fi determinate fără a le calcula exact.

Adesea, atunci când o expresie în formă închisă pentru soluții nu este disponibilă, soluțiile pot fi aproximate numeric folosind computere. Teoria sistemelor dinamice pune accent pe calitativ analiza sistemelor descrise de ecuații diferențiale, în timp ce multe metode numerice au fost dezvoltate pentru a determina soluții cu un anumit grad de precizie.

Istorie

Ecuațiile diferențiale au apărut pentru prima dată odată cu invenția calculului de către Newton și Leibniz . În capitolul 2 al lucrării sale din 1671, Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , Isaac Newton a enumerat trei tipuri de ecuații diferențiale:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {dy} {dx}} = f (x) \\ [5pt] & {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y) \\ [5pt] & x_ {1} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} = y \ end {aliniat}}}$

În toate aceste cazuri, y este o funcție necunoscută a lui x (sau a lui x ₁ și x ₂ ), iar f este o funcție dată.

El rezolvă aceste exemple și altele folosind serii infinite și discută despre non-unicitatea soluțiilor.

Jacob Bernoulli a propus ecuația diferențială Bernoulli în 1695. Aceasta este o ecuație diferențială obișnuită a formei

${\ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,}$

pentru care anul următor Leibniz a obținut soluții prin simplificarea acesteia.

Din punct de vedere istoric, problema unei coarde vibrante precum cea a unui instrument muzical a fost studiată de Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli și Joseph-Louis Lagrange . În 1746, d'Alembert a descoperit ecuația de undă unidimensională , iar în decurs de zece ani Euler a descoperit ecuația de undă tridimensională.

Ecuația Euler-Lagrange a fost dezvoltat în 1750. de Euler și Lagrange în legătură cu studiile lor de tautochrone problemei. Aceasta este problema determinării unei curbe pe care o particulă ponderată va cădea la un punct fix într-o perioadă fixă ​​de timp, independent de punctul de plecare. Lagrange a rezolvat această problemă în 1755 și a trimis soluția lui Euler. Ambii au dezvoltat în continuare metoda Lagrange și au aplicat-o mecanicii , ceea ce a condus la formularea mecanicii Lagrangiene .

În 1822, Fourier și-a publicat lucrarea despre fluxul de căldură în Théorie analytique de la chaleur (Teoria analitică a căldurii), în care și-a bazat raționamentul pe legea răcirii lui Newton , și anume că fluxul de căldură între două molecule adiacente este proporțional cu diferența extrem de mică a temperaturilor lor. Această carte conținea propunerea lui Fourier a ecuației sale de căldură pentru difuzia conductivă a căldurii. Această ecuație diferențială parțială este acum predată fiecărui student la fizică matematică.

Exemplu

În mecanica clasică , mișcarea unui corp este descrisă de poziția și viteza acestuia, deoarece valoarea timpului variază. Legile lui Newton permit ca aceste variabile să fie exprimate dinamic (date fiind poziția, viteza, accelerația și diferitele forțe care acționează asupra corpului) ca o ecuație diferențială pentru poziția necunoscută a corpului în funcție de timp.

În unele cazuri, această ecuație diferențială (numită ecuație de mișcare ) poate fi rezolvată în mod explicit.

Un exemplu de modelare a unei probleme din lumea reală folosind ecuații diferențiale este determinarea vitezei unei mingi care cade prin aer, luând în considerare doar gravitația și rezistența la aer. Accelerația mingii către sol este accelerația datorată gravitației minus decelerarea datorată rezistenței aerului. Gravitatea este considerată constantă, iar rezistența aerului poate fi modelată ca fiind proporțională cu viteza mingii. Aceasta înseamnă că accelerația mingii, care este o derivată a vitezei sale, depinde de viteză (iar viteza depinde de timp). Găsirea vitezei în funcție de timp implică rezolvarea unei ecuații diferențiale și verificarea validității acesteia.

Tipuri

Ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în mai multe tipuri. În afară de descrierea proprietăților ecuației în sine, aceste clase de ecuații diferențiale pot ajuta la informarea alegerii abordării unei soluții. Distincțiile utilizate în mod obișnuit includ dacă ecuația este obișnuită sau parțială, liniară sau neliniară și omogenă sau eterogenă. Această listă este departe de a fi exhaustivă; există multe alte proprietăți și subclase de ecuații diferențiale care pot fi foarte utile în contexte specifice.

Ecuații diferențiale ordinare

O ecuație diferențială obișnuită ( ODE ) este o ecuație care conține o funcție necunoscută a unei variabile reale sau complexe x , derivatele sale și unele funcții date ale lui x . Funcția necunoscută este în general reprezentată printr - o variabilă (deseori notată y ), care, prin urmare, depinde pe x . Astfel x este deseori numită variabila independentă a ecuației. Termenul „ obișnuit ” este utilizat în contrast cu termenul ecuație diferențială parțială , care poate fi referitor la mai multe variabile independente.

Ecuațiile diferențiale liniare sunt ecuațiile diferențiale care sunt liniare în funcția necunoscută și derivatele sale. Teoria lor este bine dezvoltată și, în multe cazuri, se pot exprima soluțiile lor în termeni de integrale .

Majoritatea ODE-urilor întâlnite în fizică sunt liniare. Prin urmare, cele mai multe funcții speciale pot fi definite ca soluții de ecuații diferențiale liniare (vezi Funcția holonomică ).

Deoarece, în general, soluțiile unei ecuații diferențiale nu pot fi exprimate printr-o expresie în formă închisă , metodele numerice sunt frecvent utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale pe un computer.

Ecuații diferențiale parțiale

O ecuație diferențială parțială ( PDE ) este o ecuație diferențială care conține funcții multivariabile necunoscute și derivatele lor parțiale . (Acest lucru este în contrast cu ecuațiile diferențiale obișnuite , care tratează funcțiile unei singure variabile și derivatele acestora.) PDE-urile sunt utilizate pentru a formula probleme care implică funcții ale mai multor variabile și sunt fie rezolvate în formă închisă, fie utilizate pentru a crea un computer relevant model .

PDE-urile pot fi utilizate pentru a descrie o mare varietate de fenomene din natură, cum ar fi sunetul , căldura , electrostatica , electrodinamica , fluxul fluidelor , elasticitatea sau mecanica cuantică . Aceste fenomene fizice aparent distincte pot fi formalizate în mod similar în termeni de PDE. La fel cum ecuațiile diferențiale obișnuite modelează adesea sisteme dinamice unidimensionale , ecuațiile diferențiale parțiale modelează deseori sisteme multidimensionale . Ecuațiile diferențiale parțiale stochastice generalizează ecuațiile diferențiale parțiale pentru modelarea aleatoriei .

Ecuații diferențiale neliniare

O ecuație diferențială neliniară este o ecuație diferențială care nu este o ecuație liniară în funcția necunoscută și derivatele sale (liniaritatea sau neliniaritatea în argumentele funcției nu sunt luate în considerare aici). Există foarte puține metode de rezolvare exactă a ecuațiilor diferențiale neliniare; cele cunoscute depind de obicei de ecuația care are simetrii particulare . Ecuațiile diferențiale neliniare pot prezenta un comportament foarte complicat pe intervale extinse de timp, caracteristic haosului . Chiar și întrebările fundamentale de existență, unicitate și extensibilitate a soluțiilor pentru ecuații diferențiale neliniare și bună-poziționare a problemelor valorii inițiale și de graniță pentru PDE neliniare sunt probleme grele și rezolvarea lor în cazuri speciale este considerată a fi un avans semnificativ în matematică. teoria (cf. Navier – Stokes existență și netezime ). Cu toate acestea, dacă ecuația diferențială este o reprezentare corect formulată a unui proces fizic semnificativ, atunci se așteaptă să aibă o soluție.

Ecuațiile diferențiale liniare apar frecvent ca aproximări la ecuațiile neliniare. Aceste aproximări sunt valabile numai în condiții restricționate. De exemplu, ecuația oscilatorului armonic este o aproximare la ecuația neliniară a pendulului valabilă pentru oscilații de mică amplitudine (vezi mai jos).

Ordinea ecuației

Ecuațiile diferențiale sunt descrise prin ordinea lor, determinată de termenul cu cele mai mari derivate . O ecuație care conține doar derivate primare este o ecuație diferențială de ordinul întâi , o ecuație care conține a doua derivată este o ecuație diferențială de ordinul doi și așa mai departe. Ecuațiile diferențiale care descriu fenomenele naturale au aproape întotdeauna numai derivate de ordinul întâi și al doilea, dar există unele excepții, cum ar fi ecuația filmului subțire , care este o ecuație diferențială parțială de ordinul patru.

Exemple

În primul grup de exemple u este o funcție necunoscută a lui x , iar c și ω sunt constante care se presupune că sunt cunoscute. Două clasificări largi ale ecuațiilor diferențiale ordinare și parțiale constau în a face distincția între ecuațiile diferențiale liniare și neliniare și între ecuațiile diferențiale omogene și cele eterogene .

• Ecuația diferențială ordinară a coeficientului constant liniar heterogen de primul ordin:

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = cu + x ^ {2}.}$

• Ecuație diferențială liniară ordinară omogenă de ordinul doi:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} - x {\ frac {du} {dx}} + u = 0.}$

• Ecuație diferențială obișnuită coeficient constant constant liniar de ordinul doi omogen care descrie oscilatorul armonic :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + \ omega ^ {2} u = 0.}$

• Ecuație diferențială ordinară neliniară de ordinul întâi heterogenă:

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = u ^ {2} +4.}$

• Ecuație diferențială ordinară neliniară de ordinul doi (datorită funcției sinusoidale) care descrie mișcarea unui pendul de lungime L :

${\ displaystyle L {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + g \ sin u = 0.}$

În următorul grup de exemple, funcția necunoscută u depinde de două variabile x și t sau x și y .

• Ecuație diferențială parțială liniară de ordinul întâi omogenă:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + t {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0.}$

• Ecuație diferențială parțială parțială de tip eliptic a coeficientului constant liniar de ordinul doi omogen, ecuația Laplace :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 .}$

• Ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul III omogenă:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = 6u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial ^ {3} u} {\ partial x ^ {3}}}.}$

Existența soluțiilor

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale nu este ca rezolvarea ecuațiilor algebrice . Nu numai că soluțiile lor sunt adesea neclare, dar dacă soluțiile sunt unice sau există, sunt și subiecte de interes notabile.

Pentru problemele de valoare inițială de ordinul întâi, teorema existenței Peano oferă un set de circumstanțe în care există o soluție. Având în vedere orice punct din planul xy, definiți o regiune dreptunghiulară , astfel încât și este în interiorul . Dacă ni se dă o ecuație diferențială și condiția că atunci când , atunci există local o soluție la această problemă dacă și sunt amândouă continue . Această soluție există la un anumit interval cu centrul său la . Soluția poate să nu fie unică. (A se vedea ecuația diferențială ordinară pentru alte rezultate.) ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z = [l, m] \ times [n, p]}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x, y)}$${\ displaystyle y = b}$${\ displaystyle x = a}$${\ displaystyle g (x, y)}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle a}$

Cu toate acestea, acest lucru ne ajută doar cu probleme de valoare inițială de prim ordin . Să presupunem că am avut o problemă liniară a valorii inițiale de ordinul n:

${\ displaystyle f_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + \ cdots + f_ {1} (x) {\ frac {dy} {dx}} + f_ {0} (x) y = g (x)}$

astfel încât

${\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0}, y '(x_ {0}) = y' _ {0}, y '' (x_ {0}) = y '' _ {0}, \ ldots}$

Pentru orice diferit de zero , dacă și sunt continue pe un anumit interval care conține , este unic și există. ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$${\ displaystyle \ {f_ {0}, f_ {1}, \ ldots \}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle y}$

Concepte conexe

• O ecuație diferențială de întârziere (DDE) este o ecuație pentru o funcție a unei singure variabile, denumită de obicei timp , în care derivata funcției la un anumit moment este dată în termeni de valori ale funcției în timpuri anterioare.
• O ecuație integro-diferențială (IDE) este o ecuație care combină aspecte ale unei ecuații diferențiale și a unei ecuații integrale .
• O ecuație diferențială stocastică (SDE) este o ecuație în care cantitatea necunoscută este un proces stocastic și ecuația implică unele procese stochastice cunoscute, de exemplu, procesul Wiener în cazul ecuațiilor de difuzie.
• O ecuație diferențială parțială stocastică (SPDE) este o ecuație care generalizează SDE pentru a include procesele de zgomot spațiu-timp, cu aplicații în teoria câmpului cuantic și mecanica statistică .
• O ecuație algebrică diferențială (DAE) este o ecuație diferențială care cuprinde termeni diferențiali și algebrici, dat sub formă implicită.

Conexiunea la ecuațiile diferenței

Teoria ecuațiilor diferențiale este strâns legată de teoria ecuațiilor diferenței , în care coordonatele presupun doar valori discrete, iar relația implică valori ale funcției sau funcțiilor necunoscute și valorilor la coordonatele din apropiere. Multe metode pentru a calcula soluții numerice ale ecuațiilor diferențiale sau a studia proprietățile ecuațiilor diferențiale implică aproximarea soluției unei ecuații diferențiale prin soluția unei ecuații diferențiale corespunzătoare.

Aplicații

Studiul ecuațiilor diferențiale este un domeniu larg în matematică pură și aplicată , fizică și inginerie . Toate aceste discipline sunt preocupate de proprietățile ecuațiilor diferențiale de diferite tipuri. Matematica pură se concentrează pe existența și unicitatea soluțiilor, în timp ce matematica aplicată accentuează justificarea riguroasă a metodelor de aproximare a soluțiilor. Ecuațiile diferențiale joacă un rol important în modelarea practic a fiecărui proces fizic, tehnic sau biologic, de la mișcarea cerească, până la proiectarea podurilor, până la interacțiunile dintre neuroni. Ecuațiile diferențiale, cum ar fi cele utilizate pentru rezolvarea problemelor din viața reală, nu pot fi neapărat direct rezolvabile, adică nu au soluții de formă închisă . În schimb, soluțiile pot fi aproximate folosind metode numerice .

Multe legi fundamentale ale fizicii și chimiei pot fi formulate ca ecuații diferențiale. În biologie și economie , ecuațiile diferențiale sunt utilizate pentru a modela comportamentul sistemelor complexe. Teoria matematică a ecuațiilor diferențiale s-a dezvoltat mai întâi împreună cu științele în care au apărut ecuațiile și în care rezultatele au găsit aplicabilitate. Cu toate acestea, diverse probleme, care provin uneori în domenii științifice destul de distincte, pot da naștere la ecuații diferențiale identice. Ori de câte ori se întâmplă acest lucru, teoria matematică din spatele ecuațiilor poate fi privită ca un principiu unificator din spatele diverselor fenomene. De exemplu, luați în considerare propagarea luminii și a sunetului în atmosferă și a undelor de pe suprafața unui iaz. Toate acestea pot fi descrise prin aceeași ecuație diferențială parțială de ordinul doi , ecuația undelor , care ne permite să ne gândim la lumină și sunet ca la forme de unde, la fel ca undele familiare din apă. Conducerea căldurii, a cărei teorie a fost dezvoltată de Joseph Fourier , este guvernată de o altă ecuație diferențială parțială de ordinul doi, ecuația căldurii . Se pare că multe procese de difuzie , deși aparent diferite, sunt descrise de aceeași ecuație; Black-Scholes ecuație în domeniul finanțelor este, de exemplu, în legătură cu ecuația de căldură.

Numărul de ecuații diferențiale care au primit un nume, în diferite domenii științifice, este un martor al importanței subiectului. Vezi Lista ecuațiilor diferențiale numite .

Software

Unele software CAS pot rezolva ecuații diferențiale. Aceste software CAS și comenzile lor merită menționate:

• Arțar : dsolve
• Mathematica : DSolve []
• SageMath : desolve ()
• Xcas : desolve (y '= k * y, y)

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

• Abbott, P .; Neill, H. (2003). Învățați-vă calculul . pp. 266-277.
• Blanchard, P .; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). Ecuații diferențiale . Thompson.
• Boyce, W .; DiPrima, R .; Meade, D. (2017). Ecuații diferențiale elementare și probleme ale valorii limită . Wiley.
• Coddington, EA; Levinson, N. (1955). Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare . McGraw-Hill.
• Ince, EL (1956). Ecuații diferențiale ordinare . Dover.
• Johnson, W. (1913). Un tratat privind ecuațiile diferențiale ordinare și parțiale . John Wiley și Sons.În colecția istorică de matematică a Universității din Michigan
• Polianină, AD; Zaitsev, VF (2003). Manual de soluții exacte pentru ecuații diferențiale ordinare (ediția a II-a). Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Porter, RI (1978). „XIX ecuații diferențiale”. Analiză elementară suplimentară .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice . Providența : Societatea Americană de Matematică . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Daniel Zwillinger (12 mai 2014). Manual de ecuații diferențiale . Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

linkuri externe

• Medii legate de ecuații diferențiale la Wikimedia Commons
• Prelegeri despre ecuații diferențiale MIT Open CourseWare Video
• Note online / ecuații diferențiale Paul Dawkins, Universitatea Lamar
• Ecuații diferențiale , matematică SOS
• Introducere în modelarea prin ecuații diferențiale Introducere în modelare prin intermediul ecuațiilor diferențiale, cu observații critice.
• Asistent matematic pe instrumentul Web ODE simbolic, folosind Maxima
• Soluții exacte de ecuații diferențiale ordinare
• Colecție de modele ODE și DAE de sisteme fizice Modele MATLAB
• Note privind Diffy Qs: ecuații diferențiale pentru ingineri Un manual introductiv despre ecuații diferențiale de Jiri Lebl de la UIUC
• Khan Academy Lista de redare video despre ecuații diferențiale Subiecte abordate într-un curs de primul an în ecuații diferențiale.
• MathDiscuss Lista de redare video cu ecuații diferențiale