Disc (matematică) - Disk (mathematics)

Discul cu circumferința (C) în negru, diametrul (D) în cian, raza (R) în roșu și centrul (O) în magenta.

În geometrie , un disc (și disc ortografiat ) este regiunea într-un plan delimitat de un cerc . Se spune că un disc este închis dacă conține cercul care îi constituie granița și este deschis dacă nu.

Formule

În coordonatele carteziene , discul deschis de centru și rază R este dat de formulă ${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} <R ^ {2} \}}$

în timp ce discul închis cu același centru și rază este dat de

${\ displaystyle {\ overline {D}} = \ {(x, y) \ in {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} \ leq R ^ {2} \}.}$

Zona unui disc închis sau deschis al razei R este π R ² ( a se vedea zona a unui disc ).

Proprietăți

Discul are simetrie circulară .

Discul deschis și discul închis nu sunt echivalente topologic (adică nu sunt homeomorfe ), deoarece au proprietăți topologice diferite unele de altele. De exemplu, fiecare disc închis este compact, în timp ce fiecare disc deschis nu este compact. Cu toate acestea, din punctul de vedere al topologiei algebrice, ele împărtășesc multe proprietăți: ambele sunt contractabile și deci homotopia este echivalentă cu un singur punct. Acest lucru implică faptul că lor grupuri fundamentale sunt triviale, și toate grupurile de omologie sunt banale , cu excepția celui 0th, care este izomorf cu Z . Caracteristica Euler a unui punct (și deci și a unui disc închis sau deschis) este 1.

Fiecare hartă continuă de pe discul închis la sine are cel puțin un punct fix (nu este necesar ca harta să fie bijectivă sau chiar surjectivă ); acesta este cazul n = 2 al teoremei punctului fix Brouwer . Afirmația este falsă pentru discul deschis:

Luați în considerare, de exemplu, funcția care mapează fiecare punct al discului de unitate deschisă la un alt punct de pe discul de unitate deschisă din dreapta celui dat. Dar pentru discul închis, acesta fixează fiecare punct de pe semicerc${\ displaystyle f (x, y) = \ left ({\ frac {x + {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {2}}, y \ right)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1, x> 0.}$

Vezi si

• Unitatea de disc , un disc cu raza unu
• Annulus (matematică) , regiunea dintre două cercuri concentrice
• Ball (matematică) , termenul obișnuit pentru analogul tridimensional al unui disc
• Algebra discului , un spațiu de funcții pe un disc
• Discul ortocentroid , care conține anumite centre ale unui triunghi

Referințe