Dispersie (valuri de apă) - Dispersion (water waves)

In dinamica fluidelor , dispersie a undelor de apă , în general , se referă la o dispersie de frecvență , ceea ce înseamnă că undele de diferite lungimi de undă de călătorie la diferite viteze de fază . Undele de apă, în acest context, sunt unde care se propagă pe suprafața apei , cu gravitația și tensiunea superficială ca forțe de refacere . Ca urmare, apa cu o suprafață liberă este considerată în general a fi un mediu dispersiv .

Pentru o anumită adâncime a apei, undele gravitaționale de suprafață - adică undele care apar la interfața aer-apă și gravitația ca singură forță care o readuce la planeitate - se propagă mai repede odată cu creșterea lungimii de undă . Pe de altă parte, pentru o anumită lungime de undă (fixă), undele gravitaționale din apa mai adâncă au o viteză de fază mai mare decât în apa mai puțin adâncă . Spre deosebire de comportamentul undelor gravitaționale, undele capilare (adică forțate doar de tensiunea superficială) se propagă mai repede pentru lungimi de undă mai scurte.

Pe lângă dispersia de frecvență, undele de apă prezintă și dispersie în amplitudine. Acesta este un efect neliniar , prin care undele de amplitudine mai mare au o viteză de fază diferită de undele de amplitudine mică.

Dispersia frecvenței pentru undele gravitaționale de suprafață

Această secțiune este despre dispersia frecvenței pentru unde pe un strat fluid forțat de gravitație și conform teoriei liniare. Pentru efectele tensiunii superficiale asupra dispersiei frecvenței, a se vedea efectele tensiunii superficiale în teoria undelor aeriene și unde capilare .

Propagarea și dispersia undelor

Unda sinusoidală.

Cea mai simplă undă de propagare sub formă neschimbată este o undă sinusoidală . O undă sinusoidală cu elevația suprafeței apei η (x, t) este dată de:

${\ displaystyle \ eta (x, t) = a \ sin \ left (\ theta (x, t) \ right), \,}$

unde a este amplitudinea (în metri) și θ = θ (x, t) este funcția de fază (în radiani ), în funcție de poziția orizontală (  x  , în metri) și de timpul (  t  , în secunde ):

${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - {\ frac {t} {T}} \ right) = kx- \ omega t,}$   cu     și   ${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}},}$

Unde:

• λ este lungimea de undă (în metri),
• T este perioada (în secunde),
• k este numărul de undă (în radiani pe metru) și
• ω este frecvența unghiulară (în radiani pe secundă).

Fazele caracteristice ale unui val de apă sunt:

• trecerea zero în sus la θ = 0 ,
• creasta valului la θ =  ½  π ,
• trecerea zero descendentă la θ = π și
• undei jgheabul la θ = 1½ π .

O anumită fază se repetă după un număr întreg m multiplu de 2π : sin ( θ ) = sin ( θ + m • 2π ).

Esențial pentru valurile de apă și alte fenomene de undă din fizică , este că undele de propagare libere de amplitudine diferită de zero există numai atunci când frecvența unghiulară ω și numărul de undă k (sau echivalent lungimea de undă λ și perioada T ) satisfac o relație funcțională : dispersia frecvenței relație

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k). \,}$

Relația de dispersie are două soluții: ω = + Ω (k) și ω = −Ω (k) , corespunzătoare undelor care se deplasează în direcția x pozitivă sau negativă . Relația de dispersie va depinde, în general, de mai mulți alți parametri în plus față de numărul de undă k . Pentru undele gravitaționale, conform teoriei liniare, acestea sunt accelerația prin gravitație g și adâncimea apei h . Relația de dispersie pentru aceste unde este:

o ecuație implicită cu tanh care denotă funcția tangentă hiperbolică .

O fază de undă inițială θ = θ _{0 se} propagă în funcție de spațiu și timp . Poziția sa ulterioară este dată de:

${\ displaystyle x = {\ frac {\ lambda} {T}} \, t + {\ frac {\ lambda} {2 \ pi}} \, \ theta _ {0} = {\ frac {\ omega} {k }} \, t + {\ frac {\ theta _ {0}} {k}}.}$

Aceasta arată că faza se mișcă cu viteza:

${\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {\ Omega (k)} {k}},}$

care se numește viteza de fază.

Viteza de fază

Dispersia undelor gravitaționale pe o suprafață fluidă. Viteza de fază și grup împărțită la viteza de fază în apă de mică adâncime √ gh în funcție de adâncimea relativă h / λ . Linii albastre (A): viteza fazei; Linii roșii (B): viteza grupului; Linia punctată neagră (C): faza și viteza grupului √ gh valabile în apele puțin adânci. Linii trasate: relație de dispersie valabilă în profunzime arbitrară. Linii punctate (albastru și roșu): limite de apă adâncă.

Dispersia undelor gravitaționale pe o suprafață fluidă. Viteza fazei și a grupului împărțită la viteza de fază a apei profunde √ gλ  / (2 π ) în funcție de adâncimea relativă h  /  λ . Linii albastre (A): viteza fazei; Linii roșii (B): viteza grupului; Linia punctată neagră (C): faza și viteza grupului √ gh valabile în apele puțin adânci. Linii trasate: relație de dispersie valabilă în profunzime arbitrară. Linii punctate (albastru și roșu): limite de apă adâncă.

O undă sinusoidală , cu mică amplitudine de suprafață și cu o lungime de undă constantă , se propagă cu viteza de fază , numită și celeritate sau viteză de fază. În timp ce viteza de fază este un vector și are o direcție asociată, celeritatea sau viteza de fază se referă doar la magnitudinea vitezei de fază. Conform teoriei liniare pentru unde forțate de gravitație, viteza de fază depinde de lungimea de undă și de adâncimea apei. Pentru o adâncime fixă ​​a apei, valurile lungi (cu lungime de undă mare) se propagă mai repede decât valurile mai scurte.

În figura din stânga, se poate observa că undele de apă puțin adâncă , cu lungimi de undă λ mult mai mari decât adâncimea apei h , se deplasează cu viteza de fază

${\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {gh}} \ qquad \ scriptstyle {\ text {(apă puțin adâncă),}} \,$

cu g accelerația prin gravitație și c _p viteza de fază. Deoarece această viteză a fazei de apă mică este independentă de lungimea de undă, undele de apă mică nu au dispersie de frecvență.

Folosind o altă normalizare pentru aceeași relație de dispersie a frecvenței, figura din dreapta arată că pentru o lungime de undă fixă λ viteza de fază c _p crește odată cu creșterea adâncimii apei. Până când, în apă adâncă cu adâncimea apei h mai mare de jumătate din lungimea de undă λ (deci pentru h / λ> 0,5 ), viteza de fază c _p este independentă de adâncimea apei:

${\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {\ frac {g \ lambda} {2 \ pi}}} = {\ frac {g} {2 \ pi}} T \ qquad \ scriptstyle {\ text {(deep apă),}}}$

cu T valul perioadei ( reciprocă a frecvenței f , T = 1 / f ). Deci, în apele adânci, viteza fazei crește cu lungimea de undă și cu perioada.

Deoarece viteza de fază satisface c _p  = λ / T = λf , lungimea de undă și perioada (sau frecvența) sunt legate. De exemplu, în apele adânci:

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {g} {2 \ pi}} T ^ {2} \ qquad \ scriptstyle {\ text {(deep water).}}}$

Caracteristicile de dispersie pentru adâncimea intermediară sunt date mai jos.

Viteza grupului

Dispersia frecvenței în grupuri bicromatice de unde gravitaționale pe suprafața apelor adânci. Pătratul roșu se mișcă cu viteza de fază , iar cercurile verzi se propagă cu viteza grupului.

Mai Mult ...

În acest caz de apă adâncă, viteza de fază este de două ori viteza grupului. Pătratul roșu depășește două cercuri verzi, atunci când se deplasează de la stânga la dreapta figurii. Undele noi par să apară în spatele unui grup de unde, cresc în amplitudine până când se află în centrul grupului și dispar în fața grupului de unde. Pentru undele de suprafață ale gravitației, viteza particulelor de apă este mult mai mică decât viteza de fază, în majoritatea cazurilor.

Interferența a două unde sinusoidale cu lungimi de undă ușor diferite, dar aceeași amplitudine și direcție de propagare, are ca rezultat un model de ritm , numit grup de unde. După cum se poate vedea în animație, grupul se mișcă cu o viteză de grup c _g diferită de viteza de fază c _p , datorită dispersiei de frecvență.

Viteza grupului este reprezentată de liniile roșii (marcate cu B ) în cele două figuri de mai sus. În apele de mică adâncime, viteza de grup este egală cu viteza de fază a apei de mică adâncime. Acest lucru se datorează faptului că valurile de apă superficială nu sunt dispersive. În apele adânci, viteza grupului este egală cu jumătate din viteza de fază: c _g  = ½ c _p .

Viteza grupului se dovedește, de asemenea, a fi viteza de transport a energiei. Aceasta este viteza cu care energia medie a undei este transportată orizontal într-un câmp de undă cu bandă îngustă .

În cazul unei viteze de grup diferite de viteza de fază, o consecință este că numărul de unde numărate într-un grup de unde este diferit atunci când este numărat dintr-un instantaneu în spațiu la un anumit moment, de la când este numărat în timp de la cota de suprafață măsurată la o poziție fixă. Luați în considerare un grup de unde de lungime Λ _g și durata grupului de τ _g . Viteza grupului este:

${\ displaystyle c_ {g} = {\ frac {\ Lambda _ {g}} {\ tau _ {g}}}.}$

Numărul de unde pe grup, observat în spațiu la un anumit moment (linia albastră superioară), este diferit de numărul de unde pe grup văzut în timp la o poziție fixă ​​(linia portocalie inferioară), datorită dispersiei de frecvență.

Mai Mult ...
Pentru cazul prezentat, un grup bicromatic de unde gravitaționale pe suprafața apei adânci, viteza grupului este jumătate din viteza de fază. În acest exemplu, există 5 cu 3 / cu 4 valuri între două noduri de grup val în spațiu, în timp ce există 11 1 / cu 2 valuri între două noduri de grup val în timp.

Valurile de furtună din Pacificul de Nord , văzute de la steaua nobilă NOAA M / V , iarna 1989.

Numărul de unde dintr-un grup de unde, măsurat în spațiu la un anumit moment este: Λ _g  / λ . In timp ce este măsurată la o locație fixă în timp, numărul de valuri într - un grup este: τ _g  / T . Deci raportul dintre numărul de unde măsurate în spațiu și cele măsurate în timp este:

${\ displaystyle {\ tfrac {\ text {Nr. de unde în spațiu}} {\ text {Nr. valurilor în timp}}} = {\ frac {\ Lambda _ {g} / \ lambda} {\ tau _ {g} / T}} = {\ frac {\ Lambda _ {g}} {\ tau _ { g}}} \ cdot {\ frac {T} {\ lambda}} = {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}}.}$

Deci, în apele adânci, cu c _g = ½ c _p , un grup de unde are de două ori mai multe valuri în timp decât are în spațiu.

Cota suprafeței apei η (x, t) , în funcție de poziția orizontală x și timpul t , pentru un grup de unde bicromatice cu modulație completă poate fi formulată matematic ca:

${\ displaystyle \ eta = a \, \ sin \ left (k_ {1} x- \ omega _ {1} t \ right) + a \, \ sin \ left (k_ {2} x- \ omega _ {2 } t \ right),}$

cu:

• un val amplitudinea fiecărei componente de frecvență în metri,
• k ₁ și k ₂ numărul de undă al fiecărei componente val, în radiani pe metru, și
• ω ₁ și ω ₂ frecvența unghiulară a fiecărei componente val, în radiani pe secundă.

Atât ω _{1 cât} și k ₁ , precum și ω ₂ și k ₂ , trebuie să satisfacă relația de dispersie:

${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k_ {1}) \,}$   și   ${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k_ {2}). \,}$

Folosind identități trigonometrice , cota suprafeței este scrisă ca:

${\ displaystyle \ eta = \ left [2 \, a \, \ cos \ left ({\ frac {k_ {1} -k_ {2}} {2}} x - {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}} t \ right) \ right] \; \ cdot \; \ sin \ left ({\ frac {k_ {1} + k_ {2}} {2}} x- {\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} t \ right).}$

Partea dintre paranteze pătrate este amplitudinea lent variabilă a grupului, cu numărul de undă al grupului ½ (k ₁  - k ₂  ) și frecvența unghiulară a grupului ½ (ω ₁  - ω ₂  ) . Ca rezultat, viteza grupului este, pentru limita k ₁  → k ₂  :

${\ displaystyle c_ {g} = \ lim _ {k_ {1} \, \ to \, k_ {2}} {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {k_ {1} -k_ {2}}} = \ lim _ {k_ {1} \, \ to \, k_ {2}} {\ frac {\ Omega (k_ {1}) - \ Omega (k_ {2})} { k_ {1} -k_ {2}}} = {\ frac {{\ text {d}} \ Omega (k)} {{\ text {d}} k}}.}$

Grupurile de unde pot fi discernute numai în cazul unui semnal cu bandă îngustă, cu diferența de undă k ₁  - k ₂ mică comparativ cu numărul mediu de undă ½ (k ₁  + k ₂ ) .

Modele de unde multi-componente

Dispersia în frecvență a undelor gravitaționale de suprafață pe apă adâncă. Se prezintă suprapunerea (linia albastru închis) a trei componente de undă sinusoidală (liniile albastru deschis).

Mai Mult ...

Pentru cele trei componente, respectiv 22 (jos), 25 (mijloc) și 29 (sus) lungimile de undă se încadrează într-un domeniu orizontal de 2.000 de metri lungime. Componenta cu cea mai scurtă lungime de undă (sus) se propagă cel mai lent. Amplitudinile de undă ale componentelor sunt respectiv 1, 2 și 1 metru. Diferențele în lungimea de undă și viteza de fază a componentelor au ca rezultat un model în schimbare al grupurilor de unde , datorită amplificării în care componentele sunt în fază și reducerii în cazul în care sunt în antifază.

Efectul dispersiei de frecvență este că undele se deplasează în funcție de lungimea de undă, astfel încât proprietățile de fază spațială și temporală ale undei de propagare sunt în continuă schimbare. De exemplu, sub acțiunea gravitației, undele de apă cu o lungime de undă mai lungă călătoresc mai repede decât cele cu o lungime de undă mai mică.

În timp ce două unde sinusoidale suprapuse, numite undă bicromatică, au un înveliș care se deplasează neschimbat, trei sau mai multe componente ale undei sinusoidale duc la un model în schimbare al undelor și al anvelopei lor. O stare a mării - adică valuri reale pe mare sau ocean - poate fi descrisă ca o suprapunere a multor unde sinusoidale cu lungimi de undă, amplitudini, faze inițiale și direcții de propagare diferite. Fiecare dintre aceste componente se deplasează cu propria sa viteză de fază, în conformitate cu relația de dispersie. De statistici ale unei astfel de suprafață o poate fi descrisă de ei spectru de putere .

Relația de dispersie

În tabelul de mai jos, este dată relația de dispersie ω ² = [ Ω (k) ] ² între frecvența unghiulară ω = 2π / T și numărul de undă k = 2π / λ , precum și vitezele de fază și grup.

Dispersia frecvenței undelor gravitaționale pe suprafața apei adânci, a apei de mică adâncime și la adâncimea intermediară, conform teoriei undelor liniare
cantitate	simbol	unități	apă adâncă ( h > ½ λ )	apă puțin adâncă ( h <0,05 λ )	adâncime intermediară (toate λ și h )
relația de dispersie	${\ displaystyle \ displaystyle \ Omega (k)}$	rad / s	${\ displaystyle {\ sqrt {gk}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \, g} {\ lambda}}}}$	${\ displaystyle k {\ sqrt {gh}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} {\ sqrt {gh}}}$	${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ sqrt {gk \, \ tanh \ left (kh \ right)}} \, \\ [1.2ex] & = {\ sqrt {{\ frac {2 \ pi g } {\ lambda}} \ tanh \ left ({\ frac {2 \ pi h} {\ lambda}} \ right)}} \, \ end {align}}}$
viteza de fază	${\ displaystyle \ displaystyle c_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}$	Domnișoară	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} = {\ frac {g} {\ omega}} = {\ frac {g} {2 \ pi}} T}$	${\ displaystyle {\ sqrt {gh}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \ tanh \ left (kh \ right)}}}$
viteza grupului	${\ displaystyle \ displaystyle c_ {g} = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial k}}}$	Domnișoară	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {g} {\ omega}} = {\ frac {g} {4 \ pi}} T}$	${\ displaystyle {\ sqrt {gh}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} c_ {p} \ left (1 + {\ frac {2kh} {\ sinh \ left (2kh \ right)}} \ right)}$
raport	${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}}}$	-	${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle \ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ frac {2kh} {\ sinh \ left (2kh \ right)}} \ right)}$
lungime de undă	${\ displaystyle \ displaystyle \ lambda}$	m	${\ displaystyle {\ frac {g} {2 \ pi}} T ^ {2}}$	${\ displaystyle T {\ sqrt {gh}}}$	pentru perioada dată T , soluția:   ${\ displaystyle \ displaystyle \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2 \ pi g} {\ lambda}} \ tanh \ left ({\ frac {2 \ pi h} {\ lambda}} \ right)}$

Apa adâncă corespunde cu adâncimi de apă mai mari de jumătate din lungimea de undă , care este situația obișnuită în ocean. În apele adânci, valurile de perioadă mai lungă se propagă mai repede și își transportă energia mai repede. Viteza grupului de apă adâncă este jumătate din viteza de fază . În apele puțin adânci , pentru lungimi de undă mai mari de douăzeci de ori adâncimea apei, așa cum se găsește destul de des în apropierea coastei, viteza grupului este egală cu viteza fazei.

Istorie

Relația de dispersie liniară completă a fost găsită pentru prima dată de Pierre-Simon Laplace , deși au existat unele erori în soluția sa pentru problema undelor liniare. Teoria completă pentru undele de apă liniare, inclusiv dispersia, a fost derivată de George Biddell Airy și publicată în 1840. O ecuație similară a fost găsită și de Philip Kelland în același timp (dar făcând unele greșeli în derivarea sa a teoriei undelor) .

Limita apei de mică adâncime (cu h / λ mică ), ω ² = gh k ² , a fost derivată de Joseph Louis Lagrange .

Efecte de tensiune superficială

Dispersia undelor gravitaționale-capilare pe suprafața apelor adânci. Viteza fazei și a grupului împărțită la o funcție a lungimii de undă relative inverse . Linii albastre (A): viteza fazei, Linii roșii (B): viteza grupului. Linii trasate: relația de dispersie pentru undele gravitaționale-capilare. Linii punctate: relația de dispersie pentru undele gravitaționale din apele adânci. Linii liniuțe: relație de dispersie valabilă pentru valurile capilare de adâncime. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{4}] {g \ sigma / \ rho}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ lambda}} {\ sqrt {\ sigma / (\ rho g)}}}$

În cazul undelor gravitaționale-capilare, unde tensiunea superficială afectează undele, relația de dispersie devine:

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ left (gk + {\ frac {\ sigma} {\ rho}} k ^ {3} \ right) \ tanh (kh),}$

cu σ tensiunea superficială (în N / m).

Pentru o interfață apă-aer (cu σ = 0,074 N / m și ρ = 1000 kg / m³ ) undele pot fi aproximate ca unde capilare pure - dominate de efecte de tensiune superficială - pentru lungimi de undă mai mici de 0,4 cm (0,2 in). Pentru lungimi de undă de peste 7 cm (3 in) undele sunt la o bună aproximare unde de gravitație de suprafață pure , cu efecte de tensiune superficială foarte mici.

Undele interfaciale

Mișcarea undelor pe interfața dintre două straturi de fluide omogene inviscide de densitate diferită, limitată între limite rigide orizontale (în partea de sus și de jos). Mișcarea este forțată de gravitație. Stratul superior are adâncimea medie h ' și densitatea ρ' , în timp ce stratul inferior are adâncimea medie h și densitatea ρ . Amplitudinea undei este a , lungimea de undă este notată cu λ .

Pentru două straturi omogene de fluide, cu grosime medie h sub interfață și h ′ deasupra - sub acțiunea gravitațională și delimitată deasupra și dedesubt de pereți rigizi orizontali - este prevăzută relația de dispersie ω ²  = Ω ² ( k ) pentru undele gravitaționale de:

${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) = {\ frac {g \, k (\ rho - \ rho ')} {\ rho \, \ coth (kh) + \ rho' \, \ coth (kh ')}},}$

unde din nou ρ și ρ ′ sunt densitățile sub și deasupra interfeței, în timp ce coth este funcția cotangentă hiperbolică . Pentru cazul ρ ′ este zero, aceasta se reduce la relația de dispersie a undelor gravitaționale de suprafață pe apă cu adâncime finită h .

Când adâncimea celor două straturi fluide devine foarte mare ( h → ∞, h ′ → ∞), cotangenții hiperbolici din formula de mai sus se apropie de valoarea unuia. Atunci:

${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) = {\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho'}} \, g \, k.}$

Efecte neliniare

Apă de adâncime mică

Efectele de dispersie a amplitudinii apar, de exemplu, în unitatea solitară : o singură cocoașă de apă care călătorește cu viteză constantă în apă puțin adâncă, cu un pat orizontal. Rețineți că undele solitare sunt aproape solitone , dar nu exact - după interacțiunea a două unde solitare (care se ciocnesc sau depășesc), ele s-au schimbat puțin în amplitudine și un rest oscilator este lăsat în urmă. Soluția cu un singur soliton a ecuației Korteweg – de Vries , a înălțimii valului H în adâncimea apei h departe de creasta valului, se deplasează cu viteza:

${\ displaystyle c_ {p} = c_ {g} = {\ sqrt {g (h + H)}}.}$

Deci, pentru această undă gravitațională neliniară, adâncimea totală a apei sub creasta undei determină viteza, unde mai mari mergând mai repede decât valurile inferioare. Rețineți că soluțiile de unde solitare există doar pentru valori pozitive ale H , unde de gravitate solitară de depresie nu există.

Apă adâncă

Relația de dispersie liniară - neafectată de amplitudinea undei - este corectă și pentru undele neliniare la ordinul al doilea al expansiunii teoriei perturbării , cu ordinele în ceea ce privește abruptitatea undei ka (unde a este amplitudinea undei ). Pentru al treilea ordin și pentru apa adâncă, relația de dispersie este

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ left [1+ (ka) ^ {2} \ right],}$   asa de   ${\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} \, \ left [1 + {\ tfrac {1} {2}} \, (ka) ^ {2} \ right ] + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ right).}$

Aceasta implică faptul că valurile mari călătoresc mai repede decât cele mici de aceeași frecvență. Acest lucru se observă numai atunci când abruptitatea valului ka este mare.

Valuri pe un curent mediu: schimbare Doppler

Undele de apă pe un debit mediu (deci o undă într-un mediu în mișcare) experimentează o schimbare Doppler . Să presupunem că relația de dispersie pentru un mediu nemiscat este:

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k), \,}$

cu k numărul de undă. Apoi pentru un mediu cu viteza medie vector V , relația de dispersie cu deplasarea Doppler devine:

${\ displaystyle \ left (\ omega - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {V} \ right) ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k),}$

unde k este vectorul de număr de undă, legat de k ca: k = | k |. Produsul punct k • V este egal cu: k • V = kV cos α , cu V lungimea vectorului vitezei medii V : V = | V |. Și α unghiul dintre direcția de propagare a undei și direcția medie de curgere. Pentru unde și curent în aceeași direcție, k • V = kV .

Vezi si

Alte articole despre dispersie

• Ecuație diferențială parțială dispersivă
• Unda capilară

Modele de undă de apă dispersoare

• Teoria valului aerisit
• Ecuația Benjamin – Bona – Mahony
• Aproximare Boussinesq (valuri de apă)
• Unda cnoidală
• Ecuația Camassa – Holm
• Ecuația Davey – Stewartson
• Ecuația Kadomtsev – Petviashvili (cunoscută și sub numele de ecuația KP)
• Ecuația Korteweg – de Vries (cunoscută și ca ecuația KdV)
• Principiul variațional al lui Luca
• Ecuația Schrödinger neliniară
• Ecuații de apă puțin adâncă
• Teoria undelor lui Stokes
• Unda trohoidală
• Turbulența valurilor
• Ecuația Whitham

Note

Referințe

linkuri externe

• Aspectele matematice ale undelor dispersive sunt discutate pe Dispersive Wiki .