Legea inducției lui Faraday - Faraday's law of induction

Experimentul lui Faraday care arată inducția între bobinele de sârmă: bateria lichidă (dreapta) furnizează un curent care curge prin bobina mică ( A ), creând un câmp magnetic. Când bobinele sunt staționare, nu este indus curent. Dar când bobina mică este mutată în sau în afara bobinei mari ( B ), fluxul magnetic prin bobina mare se schimbă, inducând un curent care este detectat de galvanometru ( G ).

Legea inducției Faraday (pe scurt, legea Faraday ) este o lege de bază a electromagnetismului care prezice modul în care un câmp magnetic va interacționa cu un circuit electric pentru a produce o forță electromotivă (CEM) - un fenomen cunoscut sub numele de inducție electromagnetică . Este principiul fundamental de funcționare al transformatoarelor , inductoarelor și al multor tipuri de motoare electrice , generatoare și solenoide .

Ecuația Maxwell-Faraday (enumerate ca una dintre ecuațiile lui Maxwell ) descrie faptul că un spațiu variabil (și , de asemenea , posibil de timp variind, în funcție de modul în care un câmp magnetic variază în timp) , câmpul electric însoțește întotdeauna un câmp magnetic variabil în timp, în timp ce Legea lui Faraday afirmă că există EMF (forța electromotivă, definită ca lucrarea electromagnetică efectuată pe o sarcină unitară atunci când a parcurs o rundă a unei bucle conductoare) pe bucla conductivă atunci când fluxul magnetic prin suprafața închisă de buclă variază în timp.

Legea lui Faraday fusese descoperită și un aspect al acesteia (transformatorul EMF) a fost formulat ca ecuația Maxwell – Faraday ulterior. Ecuația legii Faraday poate fi derivată prin ecuația Maxwell – Faraday (descriind EMF transformator) și forța Lorentz (descriind EMF mișcării). Forma integrală a ecuației Maxwell – Faraday descrie doar transformatorul EMF, în timp ce ecuația legii lui Faraday descrie atât transformatorul EMF, cât și EMF-ul motional.

Istorie

O diagramă a aparatului cu inel de fier al lui Faraday. Fluxul magnetic în schimbare al bobinei din stânga induce un curent în bobina din dreapta.

Inducția electromagnetică a fost descoperită independent de Michael Faraday în 1831 și Joseph Henry în 1832. Faraday a fost primul care a publicat rezultatele experimentelor sale. În prima demonstrație experimentală a inducției electromagnetice a lui Faraday (29 august 1831), el a înfășurat două fire în jurul laturilor opuse ale unui inel de fier ( tor ) (un aranjament similar cu un transformator toroidal modern ). Pe baza evaluării sale asupra proprietăților descoperite recent ale electro-magneților, el se aștepta ca atunci când curentul să înceapă să curgă într-un fir, un fel de undă să circule prin inel și să provoace un efect electric pe partea opusă. A conectat un fir la un galvanometru și l-a urmărit în timp ce conecta celălalt fir la o baterie. Într-adevăr, a văzut un curent tranzitoriu (pe care l-a numit „val de electricitate”) când a conectat firul la baterie și un altul când l-a deconectat. Această inducție s-a datorat schimbării fluxului magnetic care a avut loc atunci când bateria a fost conectată și deconectată. În decurs de două luni, Faraday găsise alte câteva manifestări ale inducției electromagnetice. De exemplu, a văzut curenți tranzitori când a alunecat rapid un magnet de bară în și dintr-o bobină de fire și a generat un curent constant ( DC ) prin rotirea unui disc de cupru lângă magnetul barei cu un cablu electric glisant („discul lui Faraday ").

Discul Faraday, primul generator electric , un tip de generator homopolar .

Michael Faraday a explicat inducția electromagnetică folosind un concept pe care l-a numit linii de forță . Cu toate acestea, oamenii de știință de atunci au respins pe scară largă ideile sale teoretice, în principal pentru că nu au fost formulate matematic. O excepție a fost James Clerk Maxwell , care în 1861–62 a folosit ideile lui Faraday ca bază a teoriei sale electromagnetice cantitative. În lucrările lui Maxwell, aspectul care variază în timp al inducției electromagnetice este exprimat ca o ecuație diferențială la care Oliver Heaviside a făcut referire ca legea Faraday, chiar dacă este diferită de versiunea originală a legii Faraday și nu descrie EMF-ul mișcării . Versiunea lui Heaviside (a se vedea ecuația Maxwell – Faraday de mai jos ) este forma recunoscută astăzi în grupul de ecuații cunoscut sub numele de ecuațiile lui Maxwell .

Legea lui Lenz , formulată de Emil Lenz în 1834, descrie „fluxul prin circuit” și dă direcția EMF indus și a curentului rezultat din inducția electromagnetică (elaborată în exemplele de mai jos).

Legea lui Faraday

Curentul alternativ curge prin solenoidul din stânga, producând un câmp magnetic în schimbare. Acest câmp determină, prin inducție electromagnetică, să curgă un curent electric în bucla firului din dreapta.

Cea mai răspândită versiune a legii Faraday prevede:

Forța electromotoare din jurul unei căi închise este egală cu negativul ratei de timp a schimbării fluxului magnetic închis de cale.

Enunț matematic

Definiția integralei de suprafață se bazează pe împărțirea suprafeței Σ în elemente de suprafață mici. Fiecare element este asociat cu un vector d A de mărime egală cu aria elementului și cu direcția normală față de element și îndreptată „spre exterior” (în raport cu orientarea suprafeței).

Pentru o buclă de sârmă într-un câmp magnetic , fluxul magnetic Φ B este definit pentru orice suprafață Σ a cărei limită este bucla dată. Deoarece bucla de sârmă se poate mișca, scriem Σ ( t ) pentru suprafață. Fluxul magnetic este integralul suprafeței :

unde d A este un element de suprafață a suprafeței în mișcare Σ ( t ) , B este câmpul magnetic și B · d A este un produs punct vector care reprezintă elementul de flux prin d A . În termeni mai vizuali, fluxul magnetic prin bucla de sârmă este proporțional cu numărul de linii de câmp magnetic care trec prin buclă.

Când fluxul se schimbă - pentru că B se schimbă, sau pentru că bucla de sârmă este mișcată sau deformată, sau ambele - legea de inducție a lui Faraday spune că bucla de sârmă dobândește un EMF , definit ca energia disponibilă dintr-o încărcare unitară care a călătorit o dată în jurul bucla de sârmă. (Unele surse afirmă definiția în mod diferit. Această expresie a fost aleasă pentru compatibilitatea cu ecuațiile relativității speciale.) În mod echivalent, este tensiunea care ar fi măsurată prin tăierea firului pentru a crea un circuit deschis și atașarea unui voltmetru la cabluri.

Legea lui Faraday afirmă că EMF este dat și de rata de schimbare a fluxului magnetic:

unde este forța electromotivă (CEM) și Φ B este fluxul magnetic .

Direcția forței electromotoare este dată de legea lui Lenz .

Legile inducției curenților electrici în formă matematică au fost stabilite de Franz Ernst Neumann în 1845.

Legea lui Faraday conține informații despre relațiile dintre mărimi și direcțiile variabilelor sale. Cu toate acestea, relațiile dintre direcții nu sunt explicite; sunt ascunse în formula matematică.

O regulă a mâinii stângi pentru legea lui Faraday. Semnul lui ΔΦ B , schimbarea fluxului, se găsește pe baza relației dintre câmpul magnetic B , zona buclei A și normalul n la acea zonă, așa cum este reprezentat de degetele mâinii stângi. Dacă ΔΦ B este pozitivă, direcția EMF este aceeași cu cea a degetelor curbate (vârfuri de săgeată galbene). Dacă ΔΦ B este negativ, direcția EMF este împotriva vârfurilor săgeții.

Este posibil să aflăm direcția forței electromotoare (EMF) direct din legea Faraday, fără a invoca legea lui Lenz. O regulă pentru mâna stângă ajută la realizarea acestui lucru, după cum urmează:

  • Aliniați degetele curbate ale mâinii stângi cu bucla (linia galbenă).
  • Întindeți degetul mare. Degetul mare întins indică direcția lui n (maro), normală către zona închisă de buclă.
  • Găsiți semnul lui ΔΦ B , schimbarea fluxului. Determinați fluxurile inițiale și finale (a căror diferență este ΔΦ B ) față de n normal , așa cum este indicat de degetul mare întins.
  • Dacă schimbarea fluxului, ΔΦ B , este pozitivă, degetele curbate arată direcția forței electromotoare (vârfurile săgeții galbene).
  • Dacă ΔΦ B este negativ, direcția forței electromotoare este opusă direcției degetelor curbate (opusă vârfurilor de săgeată galbene).

Pentru o bobină de sârmă strânsă , compusă din N spire identice, fiecare cu același Φ B , legea de inducție a lui Faraday afirmă că

unde N este numărul de ture ale firului și Φ B este fluxul magnetic printr-o singură buclă.

Ecuația Maxwell – Faraday

O ilustrare a teoremei lui Kelvin – Stokes cu suprafața Σ , limita sa Σ și orientarea n setată de regula din dreapta .

Ecuația Maxwell – Faraday afirmă că un câmp magnetic care variază în timp însoțește întotdeauna un câmp electric care variază spațial (posibil, de asemenea, în timp), neconservativ , și viceversa. Ecuația Maxwell – Faraday este

(în unități SI ) unde ∇ × este operatorul curlului și din nou E ( r , t ) este câmpul electric și B ( r , t ) este câmpul magnetic . Aceste câmpuri pot fi în general funcții ale poziției r și ale timpului t .

Ecuația Maxwell – Faraday este una dintre cele patru ecuații Maxwell și, prin urmare, joacă un rol fundamental în teoria electromagnetismului clasic . De asemenea, poate fi scris într-o formă integrală prin teorema Kelvin – Stokes , reproducând astfel legea lui Faraday:

unde, așa cum se indică în figură, Σ este o suprafață delimitată de conturul închis Σ , d l este un element vector infinitesimal al conturului ∂Σ și d A este un element vector infinitesimal al suprafeței Σ . Direcția sa este ortogonală față de acea suprafață, magnitudinea este zona unui petic infinitezimal de suprafață.

Ambele d l și d A au o ambiguitate de semn; pentru a obține semnul corect, se utilizează regula din dreapta , așa cum se explică în articolul teorema Kelvin – Stokes . Pentru o suprafață plană Σ , un element de cale pozitivă d l de curbă Σ este definit de regula din dreapta ca una care indică cu degetele mâinii drepte când degetul mare indică în direcția normalului n spre suprafață Σ .

Linie integrală în jurul : sigma se numește circulație . O circulație diferită de zero a E este diferită de comportamentul câmpului electric generat de sarcini statice. Un câmp E generat de sarcină poate fi exprimat ca gradientul unui câmp scalar care este o soluție la ecuația lui Poisson și are o integrală de cale zero. Vezi teorema gradientului .

Ecuația integrală este adevărată pentru orice cale Σ prin spațiu și orice suprafață Σ pentru care acea cale este o graniță.

Dacă suprafața Σ nu se schimbă în timp, ecuația poate fi rescrisă:

Integrala de suprafață din partea dreaptă este expresia explicită a fluxului magnetic Φ B prin Σ .

Câmpul electric electric indus de un flux magnetic în schimbare, componenta solenoidală a câmpului electric general, poate fi aproximat în limita nerelativistă prin ecuația integrală a volumului

Dovadă

Cele patru ecuații Maxwell (inclusiv ecuația Maxwell – Faraday), împreună cu legea forței Lorentz, sunt o bază suficientă pentru a obține totul în electromagnetismul clasic . Prin urmare, este posibil să „dovedim” legea lui Faraday începând cu aceste ecuații.

Punctul de plecare este derivatul în timp al fluxului printr-o suprafață arbitrară Σ (care poate fi mutată sau deformată) în spațiu:

(prin definitie). Această derivată de timp total poate fi evaluată și simplificată cu ajutorul ecuației Maxwell – Faraday și a unor identități vectoriale; detaliile sunt în caseta de mai jos:

Luați în considerare derivata în timp a fluxului magnetic printr-o limită închisă (buclă) care se poate mișca sau se poate deforma. Zona delimitată de buclă este notată ca Σ ( t ) ), atunci derivata în timp poate fi exprimată ca

Integrala se poate schimba în timp din două motive: integrandul se poate schimba sau regiunea de integrare se poate schimba. Acestea se adaugă liniar, prin urmare:

unde t 0 este orice timp fix dat. Vom arăta că primul termen din partea dreaptă corespunde EMF-ului transformatorului, al doilea EMF-ului cu mișcare (de la forța magnetică Lorentz pe purtătorii de sarcină datorită mișcării sau deformării buclei conductoare în câmpul magnetic). Primul termen din partea dreaptă poate fi rescris utilizând forma integrală a ecuației Maxwell – Faraday:

Apoi, analizăm al doilea termen pe partea dreaptă:

Zona măturată de un element vector d l al unei bucle Σ în timpul d t când s-a deplasat cu viteza v l .
Dovada acestui lucru este puțin mai dificilă decât primul termen; mai multe detalii și abordări alternative pentru probă pot fi găsite în referințe. Pe măsură ce bucla se mișcă și / sau se deformează, aceasta mătură o suprafață (vezi figura corectă). Pe măsură ce o mică parte a buclei d l se mișcă cu viteza v l într-un timp scurt d t , ea mătură o zonă al cărei vector este d A mătura = v l d t × d l (rețineți că acest vector este orientat spre afară din afișat în figura din dreapta). Prin urmare, schimbarea fluxului magnetic prin buclă datorită deformării sau mișcării buclei în timpul d t este

Aici, sunt utilizate identitățile produselor triple scalare . Prin urmare,

unde v l este viteza unei părți a buclei Σ .

Îmbinând aceste rezultate,

Rezultatul este:

unde ∂Σ este granița (bucla) suprafeței Σ și v l este viteza unei părți a graniței.

În cazul unei bucle conductoare, EMF (forța electromotivă) este lucrarea electromagnetică efectuată pe o sarcină unitară atunci când a circulat o dată în jurul buclei, iar această lucrare este realizată de forța Lorentz . Prin urmare, EMF este exprimat ca

unde este EMF și v este viteza de încărcare unitară.

Într-o vedere macroscopică, pentru încărcări pe un segment al buclei, v constă în două componente în medie; una este viteza sarcinii de-a lungul segmentului v t , iar cealaltă este viteza segmentului v l (bucla este deformată sau mișcată). v t nu contribuie la munca efectuată asupra sarcinii, deoarece direcția lui v t este aceeași cu direcția lui . Matematic,

deoarece este perpendicular pe ca și sunt de-a lungul aceleiași direcții. Acum putem vedea că, pentru bucla conductivă, EMF este aceeași cu derivata în timp a fluxului magnetic prin buclă, cu excepția semnului de pe ea. Prin urmare, ajungem acum la ecuația legii lui Faraday (pentru bucla conductivă) ca.

unde . Cu ruperea acestei integrale, este pentru transformatorul EMF (datorită unui câmp magnetic care variază în timp) și este pentru EMF mișcării (datorită forței magnetice Lorentz pe sarcini prin mișcarea sau deformarea buclei în câmpul magnetic).

EMF pentru circuite fără fir subțire

Este tentant să generalizăm legea lui Faraday pentru a afirma: Dacă ∂Σ este orice buclă închisă arbitrară în spațiu, atunci derivata totală a timpului fluxului magnetic prin Σ este egală cu CEM din jurul ∂Σ . Această afirmație, totuși, nu este întotdeauna adevărată și motivul nu provine doar din motivul evident că EMF este nedefinit în spațiul gol atunci când nu este prezent niciun conductor. După cum sa menționat în secțiunea anterioară, legea lui Faraday nu este garantată să funcționeze decât dacă viteza curbei abstracte ∂Σ se potrivește cu viteza reală a materialului care conduce electricitatea. Cele două exemple ilustrate mai jos arată că adesea se obțin rezultate incorecte atunci când mișcarea lui ∂Σ este divizată de mișcarea materialului.

Se pot analiza exemple ca acestea având grijă ca calea ∂Σ să se miște cu aceeași viteză ca materialul. Alternativ, se poate calcula întotdeauna corect EMF combinând legea forței Lorentz cu ecuația Maxwell – Faraday:

unde „este foarte important să observăm că (1) [ v m ] este viteza conductorului ... nu viteza elementului de cale d l și (2) în general, derivata parțială în raport cu timpul nu poate fi mutat în afara integralei deoarece zona este o funcție a timpului. "

Legea și relativitatea lui Faraday

Două fenomene

Legea lui Faraday este o ecuație unică care descrie două fenomene diferite: EMF mișcat generat de o forță magnetică pe un fir în mișcare (vezi forța Lorentz ) și EMF transformator generat de o forță electrică datorită unui câmp magnetic în schimbare (descris de Maxwell –Ecuția Faraday ).

James Clerk Maxwell a atras atenția asupra acestui fapt în lucrarea sa din 1861 Despre liniile fizice ale forței . În a doua jumătate a părții II a acelei lucrări, Maxwell oferă o explicație fizică separată pentru fiecare dintre cele două fenomene.

O referință la aceste două aspecte ale inducției electromagnetice este făcută în unele manuale moderne. După cum afirmă Richard Feynman:

Deci, „regula fluxului” conform căreia emf-ul într-un circuit este egal cu rata de schimbare a fluxului magnetic prin circuit se aplică indiferent dacă fluxul se schimbă deoarece câmpul se schimbă sau pentru că circuitul se mișcă (sau ambele) ...

Totuși, în explicația noastră a regulii, am folosit două legi complet distincte pentru cele două cazuri - v × B  pentru „mișcări de circuit” și ∇ × E = −∂ t B pentru „schimbări de câmp”.

Nu cunoaștem niciun alt loc în fizică unde un principiu general atât de simplu și precis necesită pentru înțelegerea sa reală o analiză în termenii a două fenomene diferite .

-  Richard P. Feynman, Prelegerile Feynman despre fizică

Explicație bazată pe formalismul în patru dimensiuni

În cazul general, explicația aspectului EMF mișcării prin acțiunea forței magnetice asupra sarcinilor din firul în mișcare sau în circuitul care își schimbă zona nu este satisfăcătoare. De fapt, sarcinile din fir sau din circuit ar putea fi complet absente, atunci va dispărea efectul de inducție electromagnetică în acest caz? Această situație este analizată în articol, în care, atunci când scriem ecuațiile integrale ale câmpului electromagnetic într-o formă covariantă în patru dimensiuni, în legea lui Faraday apare derivata totală a timpului fluxului magnetic prin circuit în locul derivatei temporale parțiale. . Astfel, inducția electromagnetică apare fie atunci când câmpul magnetic se schimbă în timp, fie când zona circuitului se schimbă. Din punct de vedere fizic, este mai bine să vorbim nu despre EMF de inducție, ci despre intensitatea câmpului electric indus , care apare în circuit atunci când fluxul magnetic se schimbă. În acest caz, contribuția la schimbarea câmpului magnetic se face prin termen , unde este potențialul vector. Dacă zona circuitului se schimbă în cazul câmpului magnetic constant, atunci o parte a circuitului se mișcă în mod inevitabil, iar câmpul electric apare în această parte a circuitului în cadrul de referință în mișcare K 'ca urmare a transformării Lorentz a câmpul magnetic , prezent în cadrul de referință staționar K, care trece prin circuit. Prezența câmpului în K 'este considerată ca urmare a efectului de inducție în circuitul în mișcare, indiferent dacă sarcinile sunt prezente sau nu în circuit. În circuitul conductor, câmpul provoacă mișcarea sarcinilor. În cadrul de referință K, pare a fi aspectul EMF al inducției , al cărui gradient, sub formă de , luat de-a lungul circuitului, pare să genereze câmpul .

Opinia lui Einstein

Reflecția asupra acestei dihotomii aparente a fost una dintre căile principale care l-au determinat pe Albert Einstein să dezvolte relativitatea specială :

Se știe că electrodinamica lui Maxwell - așa cum se înțelege de obicei în prezent - atunci când este aplicată corpurilor în mișcare, duce la asimetrii care nu par a fi inerente fenomenelor. Luați, de exemplu, acțiunea electrodinamică reciprocă a unui magnet și a unui conductor.

Fenomenul observabil aici depinde doar de mișcarea relativă a conductorului și a magnetului, în timp ce viziunea obișnuită face o distincție clară între cele două cazuri în care fie unul, fie celălalt dintre aceste corpuri este în mișcare. Căci dacă magnetul este în mișcare și conductorul în repaus, apare în vecinătatea magnetului un câmp electric cu o anumită energie definită, producând un curent în locurile în care sunt situate părțile conductorului.

Dar dacă magnetul este staționar și conductorul este în mișcare, nu există câmp electric în vecinătatea magnetului. Cu toate acestea, în conductor, găsim o forță electromotivă, la care în sine nu există energie corespunzătoare, dar care dă naștere - presupunând egalitatea mișcării relative în cele două cazuri discutate - la curenți electrici de aceeași cale și intensitate ca și cei produși de forțele electrice din primul caz.

Exemple de acest fel, împreună cu încercări nereușite de a descoperi orice mișcare a pământului în raport cu „mediul ușor”, sugerează că fenomenele electrodinamicii, precum și ale mecanicii, nu posedă proprietăți corespunzătoare ideii de odihnă absolută.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

linkuri externe