Felix Hausdorff - Felix Hausdorff

Felix Hausdorff
Hausdorff 1913-1921.jpg
Născut ( 1868-11-08 )8 noiembrie 1868
Decedat 26 ianuarie 1942 (26-01 1942)(73 de ani)
Naţionalitate limba germana
Alma Mater Universitatea din Leipzig
Cunoscut pentru
Soț (soți) Charlotte Hausdorff (1873-1942)
Cariera științifică
Câmpuri Matematică
Instituții Universitatea din Bonn , Universitatea din Greifswald , Universitatea din Leipzig
Teză Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
Consilier doctoral

Felix Hausdorff (8 noiembrie 1868 - 26 ianuarie 1942) a fost un matematician german care este considerat unul dintre fondatorii topologiei moderne și care a contribuit semnificativ la teoria mulțimilor , teoria descriptivă a mulțimilor , teoria măsurilor și analiza funcțională .

Viața a devenit dificilă pentru Hausdorff și familia sa după Kristallnacht în 1938. În anul următor a inițiat eforturi pentru a emigra în Statele Unite, dar nu a reușit să facă aranjamente pentru a primi o bursă de cercetare. La 26 ianuarie 1942, Felix Hausdorff, împreună cu soția și cumnata sa, au murit prin sinucidere luând o supradoză de veronal , mai degrabă decât respectând ordinele germane de a se muta în tabăra Endenich și acolo suferă implicațiile probabile, despre care nu-și făcea iluzii.

Viaţă

Copilărie și tinerețe

Tatăl lui Hausdorff, negustorul evreu Louis Hausdorff (1843–1896), s-a mutat în toamna anului 1870 cu tânăra sa familie la Leipzig și a lucrat de-a lungul timpului la diferite companii, inclusiv la o fabrică de lenjerie și bumbac. El a fost un om educat și a devenit morenu la vârsta de 14 ani. Există mai multe tratate din stiloul său, inclusiv o lungă lucrare despre traducerile aramaice ale Bibliei din perspectiva legii talmudice .

Mama lui Hausdorff, Hedwig (1848–1902), care este menționată și în diferite documente ca Johanna, provine din familia evreiască Tietz. Dintr-o altă ramură a acestei familii a venit Hermann Tietz , fondatorul primului magazin universal și ulterior coproprietar al lanțului de magazine universale numit „Hermann Tietz”. În perioada dictaturii naziste, numele a fost „Arianizat” pentru Hertie .

Din 1878 până în 1887, Felix Hausdorff a urmat Școala Nicolai din Leipzig, o unitate care avea reputația de focar al educației umaniste. A fost un elev excelent, lider de clasă timp de mulți ani și a recitat adesea poezii auto-scrise latine sau germane la serbările școlare. La absolvirea din 1887 (cu doi Oberprimen), el a fost singurul care a atins cea mai înaltă notă.

Alegerea subiectului nu a fost ușoară pentru Hausdorff. Magda Dierkesmann, care a fost adesea oaspete în casa lui Hausdorff ca studentă la Bonn în anii 1926–1932, a raportat în 1967 că:

Talentul său muzical versatil a fost atât de mare încât doar insistența tatălui său l-a făcut să renunțe la planul său de a studia muzica și de a deveni compozitor.

S-a luat decizia de a studia științele în liceu.

Diplomă, doctorat și abilitare

Din perioada de vară 1887 până la semestrul de vară 1891 Hausdorff a studiat matematică și astronomie , în principal în orașul său natal Leipzig, întrerupt de un semestru în Freiburg (semestrul de vară 1888) și Berlin (semestrul de iarnă 1888/1889). Mărturia supraviețuitoare a altor studenți îl arată ca un tânăr interesat extrem de versatil, care, pe lângă prelegerile matematice și astronomice, a participat la prelegeri de fizică , chimie și geografie , precum și prelegeri despre filosofie și istoria filozofiei , precum și despre probleme de limbă , literatură și științe sociale . La Leipzig a auzit prelegeri despre istoria muzicii de la muzicologul Paul. Dragostea sa timpurie pentru muzică a durat o viață întreagă; în casa lui Hausdorff au avut loc seri muzicale impresionante cu proprietarul la pian, conform declarațiilor martorilor făcute de diverși participanți. Chiar și ca student la Leipzig, a fost un admirator și cunoscător al muzicii lui Richard Wagner .

În semestrele ulterioare ale studiilor sale, Hausdorff a fost aproape de Heinrich Bruns (1848-1919). Bruns a fost profesor de astronomie și director al observatorului de la Universitatea din Leipzig. Sub el, Hausdorff a absolvit în 1891 cu o lucrare despre teoria refracției astronomice a luminii în atmosferă. Au urmat două publicații pe același subiect, iar în 1895 a urmat și abilitarea sa cu o teză despre absorbția luminii în atmosferă. Aceste lucrări astronomice timpurii ale lui Hausdorff nu au câștigat importanță - în ciuda excelenței lor matematice. În primul rând, ideea de bază a lui Bruns nu s-a dovedit viabilă (au existat nevoi de observații de refracție în apropierea orizontului astronomic, ceea ce - așa cum ar putea arăta Julius Bauschinger puțin mai târziu - în principiu nu poate fi obținut cu precizia necesară). Pe de altă parte, progresul în măsurarea directă a datelor atmosferice ( ascensiunile cu baloane meteo ) a făcut de atunci precizia minuțioasă a acestor date din observațiile de refracție. În perioada dintre doctorat și abilitare, Hausdorff a îndeplinit cerința militară voluntară de un an și a lucrat timp de doi ani ca computer uman la observatorul din Leipzig.

Docent în Leipzig

Odată cu abilitarea sa, Hausdorff a devenit lector la Universitatea din Leipzig și a început o predare extinsă într-o varietate de domenii matematice. Pe lângă predare și cercetare în matematică, a mers cu înclinațiile sale literare și filosofice. Un om cu interese variate, educat, extrem de sensibil și sofisticat în gândire, simțire și experiență, a frecventat în perioada sa de la Leipzig cu un număr de scriitori celebri, artiști și editori precum Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger și Frank Wedekind . Anii 1897 până în 1904 marchează punctul culminant al creativității sale literare și filosofice, timp în care au fost publicate 18 dintre cele 22 de lucrări pseudonime ale sale, inclusiv o carte de poezie, o piesă, o carte epistemologică și un volum de aforisme.

Hausdorff s-a căsătorit cu Charlotte Goldschmidt în 1899, fiica medicului evreu Siegismund Goldschmidt. Mama ei vitregă a fost celebrul profesor sufragist și preșcolar Henriette Goldschmidt. Singurul copil al lui Hausdorff, fiica Lenore (Nora), s-a născut în 1900; a supraviețuit erei național-socialismului și s-a bucurat de o viață lungă, murind la Bonn în 1991.

Prima catedră

În decembrie 1901, Hausdorff a fost numit profesor asociat adjunct la Universitatea din Leipzig. Afirmația adesea repetată conform căreia Hausdorff a primit un apel de la Göttingen și a respins-o nu poate fi verificată și este probabil greșită. Când a aplicat la Leipzig, Dean Kirchner a fost condus la votul foarte pozitiv al colegilor săi, scris de Heinrich Bruns, însoțit încă de următoarele cuvinte:

Cu toate acestea, facultatea se consideră obligată să raporteze Ministerului Regal, că cererea de mai sus din a doua noiembrie a acestui an a avut loc ședința facultății nu a fost acceptată de toți, dar cu 22 de voturi pentru și 7. Minoritatea s-a opus, deoarece Dr. Hausdorff este al credinței mozaice.

Acest citat subliniază antisemitismul nedisimulat prezent, care a avut în special o revoltă bruscă după Gründerkrach în 1873 în întregul Reich german. Leipzig a fost un centru al mișcării antisemite, în special în rândul studenților. Acesta poate fi motivul pentru care Hausdorff nu s-a simțit în largul său la Leipzig. Un alt motiv a fost probabil stresul datorat posturii ierarhice a profesorilor de la Leipzig.

După abilitare, Hausdorff a scris o altă lucrare despre optică , despre geometria non-euclidiană și despre sistemele de numere hipercomplexe , precum și două lucrări despre teoria probabilităților . Cu toate acestea, domeniul său principal de lucru a devenit în curând teoria mulțimilor, în special teoria mulțimilor ordonate . A fost inițial un interes filosofic, care l-a determinat în jurul anului 1897 să studieze opera lui Georg Cantor . Deja, în semestrul de vară al anului 1901, Hausdorff a ținut o prelegere despre teoria mulțimilor. Aceasta a fost una dintre primele prelegeri despre teoria mulțimilor; Prelegerile lui Ernst Zermelo în Colegiul Göttingen în semestrul de iarnă din 1900/1901 au fost puțin mai devreme. În acel an, a publicat prima sa lucrare cu privire la tipurile de comenzi în care a examinat o generalizare a ordonărilor bine numite tipuri de ordine gradate , unde o ordine liniară este gradată dacă niciunul dintre segmentele sale nu are același tip de ordine . El a generalizat teorema Cantor – Bernstein , care spunea că colecția de tipuri de ordine numărabile are cardinalitatea continuumului și a arătat că colecția tuturor tipurilor gradate ale unei cardinalități idempotente m are o cardinalitate de 2 m .

Pentru semestrul de vară 1910, Hausdorff a fost numit profesor la Universitatea din Bonn . La Bonn, a început o prelegere despre teoria mulțimilor, pe care a repetat-o ​​în semestrul de vară 1912, revizuită și extinsă în mod substanțial.

În vara anului 1912 a început să lucreze și la Magnum Opus, cartea Bazele teoriei mulțimilor . A fost finalizat la Greifswald, unde Hausdorff fusese numit pentru semestrul de vară ca profesor titular în 1913 și a fost eliberat în aprilie 1914.

Universitatea din Greifswald a fost cea mai mică dintre universitățile prusace. De asemenea, institutul matematic era mic; în semestrul de vară 1916 și semestrul de iarnă 1916/17 Hausdorff a fost singurul matematician din Greifswald. Acest lucru a adus cu sine că era aproape pe deplin ocupat în predarea cursurilor de bază. A fost o îmbunătățire substanțială a situației sale academice când Hausdorff a fost numit în 1921 la Bonn. Aici putea să dezvolte o predare tematică pe scară largă și să țină întotdeauna cursuri despre ultimele cercetări. El a ținut o prelegere deosebit de remarcabilă despre teoria probabilităților (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) în semestrul de vară 1923, în care a fundamentat această teorie în teoria axiomatică a măsurii-teoretică, iar aceasta s-a produs cu zece ani înainte de „Basic” al lui AN Kolmogorov concepte ale teoriei probabilității "(retipărit integral în lucrările colectate, Volumul V). La Bonn, Hausdorff a avut Eduard Study , iar mai târziu cu Otto Toeplitz , matematicieni remarcabili, precum și colegi și prieteni.

Sub dictatura nazistă și sinucidere

Național Socialist doctrina de stat partidului stabilit anti-semitism și confiscarea puterii. Hausdorff nu a fost inițial preocupat de „ Legea pentru restabilirea funcției publice profesionale ”, adoptată în 1933, deoarece era funcționar german dinainte de 1914. Cu toate acestea, nu a fost complet cruțat, întrucât una dintre prelegerile sale a fost întreruptă de Studenți naziști. Și-a oprit cursul de calcul III al semestrului de iarnă din 1934/1935 începând cu 20 noiembrie. În acea perioadă, a avut loc o sesiune de lucru a Uniunii Naționale Socialiste Studențești Germane (NSDStB) la Universitatea din Bonn, care a ales ca „rasă și etnie” ca temă pentru semestru. Presupunerea este că acest eveniment este legat de anularea clasei lui Hausdorff, pentru că altfel niciodată, în lunga sa carieră de profesor universitar, nu a oprit un curs.

La 31 martie 1935, după ce unii mergeau înainte și înapoi, Hausdorff a primit în sfârșit statutul de emerit. Nu s-au dat cuvinte de mulțumire pentru 40 de ani de muncă de succes în sistemul de învățământ superior german. A lucrat neobosit și a publicat, pe lângă ediția extinsă a lucrării sale despre teoria mulțimilor, șapte lucrări despre topologie și teoria descriptivă a mulțimilor, toate publicate în reviste poloneze: una în Studia Mathematica , celelalte în Fundamenta Mathematicae .

Nachlass-ul său arată că Hausdorff încă lucra matematic în aceste vremuri din ce în ce mai dificile și în urma dezvoltărilor actuale de interes. El a fost susținut în mod altruist în acest moment de Erich Bessel-Hagen , un prieten loial familiei Hausdorff care a obținut cărți și reviste de la Biblioteca institutului, în care Hausdorff nu mai avea voie să intre ca evreu.

Despre umilințele la care au fost expuși în special Hausdorff și familia sa după Kristallnacht în 1938, se știe multe și din multe surse diferite, cum ar fi din scrisorile lui Bessel-Hagen.

Degeaba, Hausdorff i-a cerut matematicianului Richard Courant în 1939 o bursă de cercetare pentru a putea emigra în SUA.

Prima pagină a scrisorii sale de adio către Hans Wollstein

La mijlocul anului 1941, evreii de la Bonn au început să fie deportați la Mănăstirea „La Adorație perpetuă” din Endenich , de unde fuseseră expulzate călugărițele. Transporturile către lagărele morții din est au avut loc mai târziu. După ce lui Hausdorff, soției sale și sorei sale, Edith Pappenheim (care locuia cu ei) li s-a ordonat în ianuarie 1942 să se mute în tabăra Endenich, au murit prin sinucidere la 26 ianuarie 1942, luând o supradoză de veronal . Locul lor final de odihnă este situat pe cimitirul Poppelsdorfer din Bonn. Între plasarea lor în tabere temporare și sinuciderea sa, el i-a dat Nachlass scris de mână egiptologului și preotului Hans Bonnet , care a salvat cât mai mult posibil, în ciuda distrugerii casei sale de o bombă.

Este posibil ca unii dintre colegii săi evrei să se fi făcut iluzii cu privire la tabăra Endenich, dar nu și Hausdorff. E. Neuenschwander a descoperit în moșia Bessel-Hagen scrisoarea de rămas bun pe care Hausdorff i-a scris-o avocatului său Hans Wollstein, care era și el evreu. Iată începutul și sfârșitul scrisorii:

Piatra funerară a lui Hausdorff din Bonn-Poppelsdorf

Dragă prietenă Wollstein!

Dacă primiți aceste rânduri, noi (trei) am rezolvat problema într-un mod diferit - în felul în care ați încercat în mod constant să ne descurajăm. Sentimentul de siguranță pe care l-ați prezis pentru noi odată ce am depăși dificultățile mișcării, încă ne eludează; dimpotrivă, Endenich nu poate fi nici măcar sfârșitul!

Ceea ce s-a întâmplat în ultimele luni împotriva evreilor evocă o teamă justificată că nu ne vor lăsa să trăim pentru a vedea o situație mai suportabilă.

După ce a mulțumit prietenilor și, cu mare calm, și-a exprimat ultimele dorințe cu privire la înmormântarea și voința sa, Hausdorff scrie:

Îmi pare rău că ți-am făcut încă mai mult efort dincolo de moarte și sunt convins că faci ceea ce poți face (ceea ce poate că nu este prea mult). Iartă-ne dezertarea noastră! Vă dorim dvs. și tuturor prietenilor noștri să experimentați momente mai bune.

Ești cu adevărat devotat

Felix Hausdorff

Din păcate, această dorință nu a fost îndeplinită. Avocatul lui Hausdorff, Wollstein, a fost ucis la Auschwitz .

Hausdorffstraße (Bonn)

Biblioteca lui Hausdorff a fost vândută de ginerele său și singurul moștenitor, Arthur König. Nachlassul scris de mână a fost adoptat de un prieten de familie, egiptologul Bonn Bonn Bonnet, pentru depozitare. Acum se află în biblioteca universitară și de stat din Bonn. Nachlaß este catalogată.

Muncă și recepție

Hausdorff ca filosof și scriitor (Paul Mongré)

Volumul de aforisme al lui Hausdorff, publicat în 1897, a fost prima sa lucrare publicată sub pseudonimul Paul Mongré. Se intitulează Sant 'Ilario. Gânduri din peisajul Zaratustrei . Subtitlul lui Sant 'Ilario, „Gânduri din peisajul Zaratustrei”, joacă mai întâi faptul că Hausdorff și-a finalizat cartea în timpul unei șederi de recuperare de pe Genova pe coasta Liguriei și că în aceeași zonă, Friedrich Nietzsche a scris primele două părți din Astfel spunea Zarathustra; face aluzie și la apropierea sa spirituală de Nietzsche. Într-un articol despre Sant 'Ilario din ziarul săptămânal Die Zukunft , Hausdorff și-a recunoscut in expressis verbis datoria față de Nietzsche.

Hausdorff nu încerca să copieze sau chiar să depășească Nietzsche. „De imitația Nietzsche nici o urmă”, spune o recenzie contemporană. El îl urmărește pe Nietzsche într-o încercare de a elibera gândirea individuală, de a-și lua libertatea de a pune sub semnul întrebării standardele învechite. Hausdorff a menținut distanța critică față de lucrările târzii ale lui Nietzsche. În eseul său despre cartea Voința de putere, compilat din note lăsate în Arhiva Nietzsche, spune:

În Nietzsche strălucește un fanatic. Morala sa de reproducere, ridicată pe fundamentele noastre biologice și fiziologice actuale ale cunoașterii: ar putea fi un scandal istoric mondial împotriva căruia Inchiziția și procesele vrăjitoare se estompează în aberații inofensive.

Standardul său critic l-a luat de la Nietzsche însuși,

Din Nietzsche amabil, modest, înțelegător și din spiritul liber al scepticului Nietzsche rece, fără dogme, nesistematic ...

În 1898 a apărut - tot sub pseudonimul Paul Mongré - experimentul epistemologic al lui Hausdorff Haosul în selecția cosmică . Critica metafizicii prezentată în această carte a avut punctul său de plecare în confruntarea lui Hausdorff cu ideea lui Nietzsche de recurență eternă. În cele din urmă ajunge să distrugă orice fel de metafizică. Din lumea în sine, din nucleul transcendent al lumii - așa cum a exprimat Hausdorff - nu știm nimic și nu știm nimic. Trebuie să presupunem „lumea însăși” ca nedeterminată și nedeterminabilă, ca un simplu haos. Lumea experienței noastre, cosmosul nostru este rezultatul selecției, selecției pe care am făcut-o întotdeauna instinctiv în funcție de posibilitățile noastre de înțelegere și de a face mai multe. Din acel haos s-ar vedea și alte ordine, alte Kosmoi, în mod imaginabil. În orice caz, din lumea cosmosului nostru nu puteți concluziona existența unei lumi transcendente.

În 1904, în revista The New Rundschau, a apărut piesa de teatru a lui Hausdorff, piesa de teatru cu un act Doctorul în onoarea sa . Este o satiră brută asupra duelului și asupra conceptelor tradiționale de onoare și nobilime ale corpului de ofițeri prusaci, care în societatea burgheză în curs de dezvoltare erau din ce în ce mai anacronice. Doctorul în cinstea lui a fost cel mai mare succes literar al lui Hausdorff. În 1914–1918 au avut loc numeroase spectacole în mai mult de treizeci de orașe. Mai târziu, Hausdorff a scris un epilog al piesei, dar nu a fost interpretat în acel moment. Abia în 2006, acest epilog a avut premiera la reuniunea anuală a Societății germane de matematică de la Bonn.

Pe lângă lucrările menționate mai sus, Hausdorff a scris numeroase eseuri care au apărut în unele dintre cele mai importante reviste literare ale vremii, precum și o carte de poezii, Ecstasy (1900). Unele dintre poeziile sale au fost musicate de compozitorul austriac Joseph Marx .

Teoria seturilor ordonate

Intrarea lui Hausdorff într-un studiu aprofundat al seturilor ordonate a fost determinată parțial de problema continuum a lui Cantor: ce loc ocupă numărul cardinal în serie . Într-o scrisoare către Hilbert din 29 septembrie 1904, el vorbește despre această problemă, „a afectat aproape ca o monomanie”. El a văzut în set o nouă strategie de atacare a problemei. Cantor bănuise , dar arătase doar . este „numărul” posibilelor ordonări de bine ale unui set numărabil  ; apăruse acum ca „numărul” tuturor comenzilor posibile de o asemenea sumă. Prin urmare, era firesc să studiem sisteme care sunt mai speciale decât ordinele generale, dar mai generale decât ordonările bine. Hausdorff a făcut exact acest lucru în primul său volum din 1901 cu publicarea studiilor teoretice ale „seturilor gradate”. Știm din rezultatele lui Kurt Gödel și Paul Cohen , că această strategie pentru a rezolva problema continuumului este la fel de ineficientă ca și strategia lui Cantor, care avea ca scop generalizarea principiului Cantor – Bendixson pentru seturi închise la seturi generale nenumărate.

În 1904 Hausdorff a publicat recursiunea numită după el:

Pentru fiecare ordinal nelimitat pe care îl avem

Această formulă a fost, împreună cu noțiunea ulterioară de cofinalitate introdusă de Hausdorff, baza pentru toate rezultatele ulterioare pentru exponențierea lui Aleph . Cunoașterea excelentă a lui Hausdorff asupra problemelor acestui tip de secvență a fost, de asemenea, împuternicită de eforturile sale de a descoperi eroarea din prelegerea lui Julius König la Congresul internațional al matematicienilor din 1904 la Heidelberg . Acolo König susținuse că continuumul nu poate fi bine ordonat, așa că cardinalitatea lui nu este Aleph și, prin urmare, a provocat o mare agitație. Afirmația conform căreia Hausdorff a clarificat greșeala are o pondere specială, deoarece o literatură istorică a trasat o imagine falsă pentru mai mult de 50 de ani din evenimentele de la Heidelberg.

În anii 1906–1909, Hausdorff și-a făcut lucrarea fundamentală pe seturi ordonate. Doar câteva puncte pot fi atinse pe scurt. O importanță fundamentală pentru întreaga teorie este conceptul de cofinalitate introdus de Hausdorff. Un ordinal se numește regulat dacă este cofinal cu orice ordinal mai mic; altfel este singular. Întrebarea lui Hausdorff dacă există numere regulate cu index un ordinal limită, a fost punctul de plecare pentru teoria cardinalilor inaccesibili. Hausdorff observase deja că astfel de numere, dacă există, trebuie să aibă o „dimensiune exorbitantă”.

De o importanță fundamentală este următoarea teoremă a lui Hausdorff: pentru fiecare mulțime densă ordonată nelimitată există două numere inițiale regulate determinate în mod unic, astfel încât să fie cofinală cu și coinițială cu (* Denotă ordinea inversă). Această teoremă oferă, de exemplu, o tehnică de caracterizare a elementelor și golurilor din seturi ordonate. Astfel, Hausdorff a folosit caracterele gap și caracterele element introduse de el.

Dacă este un set predeterminat de caractere (elemente și caractere gap), se pune întrebarea dacă există seturi ordonate al căror set de caractere este exact . Se poate găsi cu ușurință o condiție necesară pentru . Hausdorff a reușit să arate că această condiție este, de asemenea, suficientă. Pentru aceasta este nevoie de un rezervor bogat de seturi ordonate; Hausdorff a creat acest lucru cu teoria sa despre produse și puteri generale. În acest rezervor se găsesc astfel de structuri interesante precum tipurile normale Hausdorff , în legătură cu care Hausdorff a formulat prima dată ipoteza continuumului generalizat . Seturile lui Hausdorff au constituit punctul de plecare pentru studiul teoriei modelului important al structurii saturate .

Produsele generale și puterile cardinalităților lui Hausdorff l-au condus la conceptul de set parțial ordonat. La întrebarea dacă orice subset ordonat al unui set parțial ordonat este conținut într-un subset maxim ordonat a fost răspuns pozitiv de Hausdorff folosind teorema bine ordonată. Acesta este principiul maxim al lui Hausdorff . Rezultă nu numai din teorema bine ordonată (sau din (echivalentă cu această) axiomă de alegere), dar este, după cum s-a dovedit, chiar și axioma de alegere sunt echivalente.

Deja, în 1908, Arthur Moritz Schoenflies a constatat în a doua parte a raportului său despre teoria mulțimilor, că teoria mai nouă a mulțimilor ordonate (adică cea care a avut loc după prelungirile lui Cantor) s-a datorat aproape exclusiv lui Hausdorff.

„Magnum Opus”: „Principiile teoriei mulțimilor”

Conform noțiunilor anterioare, teoria mulțimilor a inclus nu numai teoria generală a mulțimilor și teoria seturilor de puncte, ci și teoria dimensiunii și a măsurii. Opera lui Hausdorff a fost primul manual care a prezentat toată teoria mulțimilor în acest sens larg, sistematic și cu dovezi complete. Hausdorff era conștient de cât de ușor mintea umană poate greși, în timp ce caută și rigoare și adevăr. Așa că a propus în prefața lucrării:

Privilegiul uman al erorii de a face o utilizare cât mai economică posibil.

Această carte a depășit cu mult portretizarea sa magistrală a cunoscutului. De asemenea, conținea o serie de contribuții originale importante ale autorului, care pot fi doar sugerate în cele ce urmează.

Primele șase capitole tratează conceptele de bază ale teoriei generale a mulțimilor. La început, Hausdorff prezintă o algebră detaliată cu câteva concepte noi pionierate (lanțuri de diferențe, inele de set și câmpuri de set, - și- sisteme). Aceste paragrafe introductive despre seturi și conexiunile lor includeau, de exemplu, noțiunea modernă de funcții a setului-teoretic. Apoi a urmat în capitolele 3 până la 5 teoria clasică a numerelor cardinale, tipurilor de ordine și ordinali. În al șaselea capitol „Relații între mulțimi ordonate și bine ordonate” Hausdorff prezintă, printre altele, cele mai importante rezultate ale propriei sale cercetări asupra mulțimilor ordonate.

În capitolele despre „seturi de puncte” - capitolele topologice - Hausdorff a dezvoltat pentru prima dată, pe baza axiomelor de vecinătate cunoscute, o teorie sistematică a spațiilor topologice, unde în plus a adăugat axioma de separare numită ulterior după el. Această teorie reiese dintr-o sinteză cuprinzătoare a abordărilor anterioare ale altor matematicieni și din propriile reflecții ale lui Hausdorff asupra problemei spațiului. Conceptele și teoremele teoriei clasice a mulțimilor punctuale sunt - în măsura posibilului - transferate la cazul general și astfel fac parte din topologia generală sau teoretică a seturilor nou creată. Dar Hausdorff nu numai că a efectuat această „lucrare de traducere”, dar a dezvoltat și o metodă de construcție de bază a topologiei ca nucleație (interior, nucleu dens în sine) și formarea cochiliei (închidere), și lucrează importanța fundamentală a conceptului de deschis set (numit „zonă” de el) și al compactității introduse de Fréchet. De asemenea, el a fondat și dezvoltat teoria setului conectat, în special prin introducerea termenilor „componentă” și „cvasi-componentă”.

Prin prima și în cele din urmă a doua axiome de contabilitate Hausdorff, spațiile considerate au fost treptat specializate în continuare. O clasă mare de spații care îndeplinesc prima axiomă numărabilă sunt spațiile metrice . Au fost introduse în 1906 de Fréchet sub numele „clase (E)”. Termenul „spațiu metric” provine de la Hausdorff. În Principii , el a dezvoltat teoria spațiilor metrice și a îmbogățit-o sistematic printr-o serie de concepte noi: metrică Hausdorff , completă , limitare totală , conectivitate, seturi reductibile. Opera lui Fréchet fusese puțin observată; numai prin Principiile lui Hausdorff spațiile metrice au devenit proprietatea comună a matematicianului.

Capitolul despre ilustrații și capitolul final al Principiilor privind măsura și teoria integrării sunt îmbogățite de generalitatea materialului și de originalitatea prezentării. Menționarea de către Hausdorff a importanței teoriei măsurătorilor pentru probabilitate a avut un mare efect istoric, în ciuda concisiei sale laconice. Se găsește în acest capitol prima dovadă corectă a legii puternice a unui număr mare de Émile Borel . În cele din urmă, apendicele conține cel mai spectaculos rezultat al întregii cărți, și anume teorema lui Hausdorff că nu se poate defini un volum pentru toate subseturile delimitate de for . Dovada se bazează pe descompunerea paradoxală a bilei lui Hausdorff, a cărei producție necesită axioma alegerii.

În secolul al XX-lea, a devenit standardul pentru a construi teorii matematice pe baza teoriei axiomatice a mulțimilor. Crearea unor teorii generalizate fundamentate axiomatic, cum ar fi topologia generală, a servit printre altele pentru a identifica nucleul structural comun pentru diferite cazuri sau regiuni specifice și apoi a înființat o teorie abstractă, care conținea toate aceste părți ca cazuri speciale. Acest lucru a adus un mare succes sub formă de simplificare și armonizare și, în cele din urmă, a adus economia gândirii cu sine. Hausdorff însuși a evidențiat acest aspect în Principii . Capitolul topologic, conceptele de bază sunt metodologic un efort de pionierat și au arătat calea pentru dezvoltarea matematicii moderne.

Principiile teoriei mulțimilor au apărut într-un timp deja tensionat în ajunul Primului Război Mondial. În august 1914, războiul, care a afectat dramatic și viața științifică din Europa. În aceste condiții, cu greu ar putea fi eficientă cartea lui Hausdorff în primii cinci până la șase ani de la apariția sa. După război, o nouă generație de tineri cercetători și-a propus să extindă sugestiile care au fost incluse în această lucrare cu atâta abundență și, fără îndoială, topologia a fost centrul atenției. Revista Fundamenta Mathematicae a jucat un rol special în recepția ideilor lui Hausdorff, fondată în Polonia în 1920. A fost una dintre primele reviste matematice cu accent deosebit pe teoria mulțimilor, topologia, teoria funcțiilor reale, teoria măsurării și integrării, analiza funcțională , logica și fundamentele matematicii. În acest spectru, un accent special a fost topologia generală. Principiile lui Hausdorff au fost prezente în Fundamenta Mathematicae încă din primul volum într-o frecvență remarcabilă. Dintre cele 558 de lucrări (propriile trei lucrări ale lui Hausdorff necalculate), care au apărut în primele douăzeci de volume din 1920 până în 1933, 88 citează Principii . Trebuie chiar să ținem cont că, pe măsură ce concepțiile lui Hausdorff au devenit din ce în ce mai obișnuite, tot așa au fost folosite și într-o serie de lucrări care nu le-au menționat în mod explicit.

Școala topologică rusă, fondată de Paul Alexandroff și Paul Urysohn , s-a bazat puternic pe principiile lui Hausdorff . Acest lucru este demonstrat de corespondența care a supraviețuit în Nachlass a lui Hausdorff cu Urysohn și, în special, Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , o lucrare de mărimea unei cărți a lui Alexandroff și Urysohn , în care Urysohn a dezvoltat teoria dimensiunii și Principiile sunt citate de nu mai puțin de 60 de ori.

Mult după cel de-al doilea război mondial a existat o cerere puternică pentru cartea lui Hausdorff și au existat trei reeditări la Chelsea din 1949, 1965 și 1978.

Teoria descriptivă a mulțimilor, teoria măsurilor și analiza

În 1916, Alexandroff și Hausdorff au rezolvat independent problema continuumului pentru seturile Borel: Fiecare set Borel într-un spațiu metric complet separabil este fie numărabil, fie are cardinalitatea continuumului. Acest rezultat generalizează teorema Cantor – Bendixson pe care o astfel de afirmație o deține pentru seturile închise de . Pentru seturile liniare William Henry Young dovedise rezultatul în 1903, pentru seturile Hausdorff a obținut un rezultat corespunzător în 1914 în Principii . Teorema lui Alexandroff și Hausdorff a fost un puternic impuls pentru dezvoltarea în continuare a teoriei descriptive a mulțimilor.

Dintre publicațiile lui Hausdorff din timpul său la Greifswald, lucrarea Dimension and exterior measure din 1919 este deosebit de remarcabilă. A rămas foarte actuală și în anii următori a fost probabil cea mai citată lucrare matematică originală din deceniul 1910-1920. În această lucrare au fost introduse conceptele care sunt acum cunoscute sub numele de măsura Hausdorff și dimensiunea Hausdorff .

Conceptul de dimensiune Hausdorff este util pentru caracterizarea și compararea „cantităților extrem de robuste”. Conceptele de dimensiune și măsură exterioară au experimentat aplicații și dezvoltări ulterioare în multe domenii, cum ar fi teoria sistemelor dinamice, teoria măsurătorilor geometrice, teoria seturilor și fractalilor auto-similari, teoria proceselor stochastice, analiza armonică, teoria potențialului și teoria numerelor.

Munca analitică semnificativă a lui Hausdorff a avut loc la a doua oară la Bonn. În metodele de însumare și secvențele de momente I din 1921, el a dezvoltat o întreagă clasă de metode de însumare pentru serii divergente, care astăzi se numesc metode Hausdorff . În clasica serie divergentă a lui Hardy , un întreg capitol este dedicat metodei Hausdorff. Metodele clasice ale lui Hölder și Cesàro s-au dovedit a fi metoda specială Hausdorff. Fiecare metodă Hausdorff este dată de o succesiune de momente; în acest context Hausdorff a dat o soluție elegantă a problemei momentului pentru un interval finit, ocolind teoria fracțiilor continue. În Problemele de moment pentru un interval finit din 1923, el a tratat probleme de moment mai speciale, cum ar fi cele cu anumite restricții pentru generarea densității , de exemplu . Criteriile pentru rezolvabilitatea și determinarea problemelor de moment l-au ocupat pe Hausdorff mulți ani, după cum atestă sute de pagini de studii din Nachlass .

O contribuție semnificativă la analiza funcțională emergentă în anii '20 a fost extensia lui Hausdorff a teoremei Riesz-Fischer la spații în lucrarea sa din 1923 O extensie a teoremei lui Parseval pe seria Fourier . El a dovedit inegalitățile numite acum după el și WH Young . Inegalitățile Hausdorff – Young au devenit punctul de plecare al noilor dezvoltări majore.

Cartea lui Hausdorff Set Theory a apărut în 1927. Aceasta a fost declarată a doua ediție a principiilor , dar a fost de fapt o carte complet nouă. Deoarece scara a fost redusă semnificativ datorită apariției sale în biblioteca didactică a lui Goschen, părți mari din teoria seturilor și măsurilor ordonate și a teoriei integrării au fost eliminate. „Mai mult decât aceste ștergeri, cititorul va regreta probabil” (a spus Hausdorff în prefață), „că eu, pentru a economisi mai mult spațiu în teoria seturilor de puncte, am abandonat punctul de vedere topologic prin care prima ediție a dobândit aparent mulți prieteni m-am limitat la teoria mai ușoară a spațiilor metrice ".

De fapt, acesta a fost un regret explicit al unor recenzori ai lucrării. Ca un fel de compensare, Hausdorff a arătat pentru prima dată starea actuală a teoriei descriptive a mulțimilor. Acest fapt a asigurat cartea o recepție aproape la fel de intensă ca Principiile , în special în Fundamenta Mathematicae. Ca manual a fost foarte popular. În 1935 a fost publicată o ediție extinsă, iar aceasta a fost retipărită de Dover în 1944. O traducere în limba engleză a apărut în 1957 cu reeditări în 1962 și 1967.

A existat și o ediție în limba rusă (1937), deși a fost doar parțial o traducere fidelă și parțial o refacere a lui Alexandroff și Kolmogorov . În această traducere, punctul de vedere topologic s-a mutat din nou în prim plan. În 1928 a apărut o recenzie a teoriei seturilor din stiloul lui Hans Hahn. Poate că Hahn avea în minte pericolul antisemitismului german în timp ce închidea această discuție cu următoarea propoziție:

O descriere exemplară în toate privințele unei zone dificile și spinoase, o lucrare la fel cu cele care au purtat faima științei germane despre lume și astfel încât toți matematicienii germani să fie mândri.

Ultimele lucrări

În ultima sa lucrare Erweiterung einer stetigen Abbildung , Hausdorff a arătat în 1938 că o funcție continuă dintr-un subset închis al unui spațiu metric poate fi extinsă la toate (deși imaginea poate fi necesară extinderea). Ca un caz special, fiecare homeomorfism din poate fi extins la un homeomorfism din . Această lucrare a prezentat rezultate din anii anteriori. În 1919, în Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung , Hausdorff dăduse, printre altele, o altă dovadă a teoremei extensiei Tietze . În 1930, în Erweiterung einer Homöomorphie (Extinderea unui homeomorfism), a arătat următoarele: Fie un spațiu metric, un subset închis. Dacă i se dă o nouă valoare fără a schimba topologia, această valoare poate fi extinsă la întregul spațiu fără a schimba topologia. Lucrarea Gestufte Räume a apărut în 1935. Aici Hausdorff a discutat despre spații care îndeplineau axiomele închiderii Kuratowski până la doar axioma idempotenței. El le-a numit spații gradate (adesea numite și spații de închidere) și le-a folosit în studiul relațiilor dintre spațiile limită Fréchet și spațiile topologice .

Hausdorff ca dătător de nume

Numele Hausdorff se găsește în întreaga matematică. Printre altele, aceste concepte au fost numite după el:

În universitățile din Bonn și Greifswald, aceste lucruri au fost numite în onoarea sa:

  • Centrul Hausdorff de matematică din Bonn,
  • Institutul de Cercetare Hausdorff pentru matematică din Bonn, și
  • Internationale Begegnungszentrum Felix Hausdorff în Greifswald.

Pe lângă acestea, în Bonn există Hausdorffstraße (strada Hausdorff), unde a locuit pentru prima dată. (Haus-Nr. 61). În Greifswald există un Felix-Hausdorff – Straße, unde se află, printre altele, Institutele pentru Biochimie și Fizică. Din 2011, există un „Hausdorffweg” (Hausdorff-Way) în mijlocul Leipziger Ortsteil Gohlis .

Asteroidul 24947 Hausdorff a fost numit după el.

Scrieri

Ca Paul Mongré

Aici este prezentată doar o selecție a eseurilor care au apărut în text.

  • Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Leipzig 1898; Reeditat cu prefață de Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
  • Ekstasen. Volumul de poezie. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. În: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
  • Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
  • Der Arzt seiner Ehre, Groteske. În: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Noua ediție ca: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. Cu 7 portrete și xilografii de Hans Alexander Müller după desene de Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. A cincea tipărire de Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Ediție nouă: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Ca Felix Hausdorff

Hausdorff pe seturi comandate . Trans. și Ed .: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Lucrări colecționate

„Ediția Hausdorff”, editată de E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (tot Bonn), R. Remmert (†) (Münster) și E. Scholz (Wuppertal) cu colaborarea a peste douăzeci de matematicieni, istorici, filozofi și cărturari, este un proiect în curs de desfășurare al Academiei de Științe, Umanistice și Arte din Renania de Nord-Westfalia de a prezenta lucrările lui Hausdorff, cu comentarii și mult material suplimentar. Volumele au fost publicate de Springer-Verlag , Heidelberg. Au fost publicate nouă volume, volumul I fiind împărțit în volumul IA și volumul IB. Pentru informații suplimentare, consultați site-ul web al proiectului Hausdorff al ediției Hausdorff (germană) . Volumele sunt:

Referințe

  • Alexandroff, P .; Hopf, H .: Topologie. Springer-Verlag , Berlin 1935.
  • Brieskorn, E .: Gustav Landauer und der Mathematiker Felix Hausdorff. În: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch - Symposium zum 125. Geburtstag. Tübingen 1997, S. 105–128.
  • Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte seines Werkes. Vieweg , Braunschweig / Wiesbaden 1996.
  • Brieskorn, E .; Purkert, W .: Felix Hausdorff-Biographie. (Band IB der Edition), Springer, Heidelberg 2018.
  • Eichhorn, E .; Thiele, E.-J .: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff , Heldermann Verlag  [ de ] , Berlin 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
  • Koepke, P., Kanovei V., Mengenlehre descriptiv în Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
  • Lorentz, GG: Das mathematische Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
  • Purkert, Walter: The Double Life of Felix Hausdorff / Paul Mongré. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 și urm.
  • Purkert, Walter: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematician - Filozof - Om de litere . Centrul Hausdorff pentru Matematică, Bonn 2013.
  • Stegmaier, W .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Felix Hausdorff als Philosoph. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195–240.
  • Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (1868–1942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. În: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, S. 551-573.
  • Wagon, S .: Paradoxul Banach – Tarski . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
  • Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [ de ] , Band 10, Saur, München 2002, S. 262–268

Vezi si

Referințe

linkuri externe