Grafic de flux (matematică) - Flow graph (mathematics)

Un grafic de flux este o formă de digraf asociată cu un set de ecuații liniare algebrice sau diferențiale:

"Un grafic de flux de semnal este o rețea de noduri (sau puncte) interconectate prin ramuri direcționate, reprezentând un set de ecuații algebrice liniare. Nodurile dintr-un grafic de flux sunt utilizate pentru a reprezenta variabilele sau parametrii, iar ramurile de legătură reprezintă coeficienții raportând aceste variabile între ele. Graficul fluxului este asociat cu o serie de reguli simple care permit obținerea oricărei soluții posibile [legate de ecuații]. "

Deși această definiție folosește interschimbabil termenii „grafic semnal-flux” și „grafic flux”, termenul „grafic semnal-flux” este cel mai des folosit pentru a desemna graficul Mason semnal-flux , Mason fiind inițiatorul acestei terminologii în lucrarea sa pe rețelele electrice. La fel, unii autori folosesc termenul „grafic de flux” pentru a se referi strict la graficul de flux Coates . Potrivit lui Henley & Williams:

"Nomenclatura este departe de a fi standardizată și ... nu se poate aștepta la o standardizare în viitorul previzibil."

O denumire „grafic de flux” care include atât graficul Mason cât și graficul Coates, precum și o varietate de alte forme ale acestor grafice pare utilă și este de acord cu Abrahams și Coverley și cu abordarea lui Henley și Williams.

O rețea direcționată - cunoscută și sub numele de rețea de flux - este un anumit tip de grafic de flux. O rețea este un grafic cu numere reale asociate cu fiecare dintre marginile sale și, dacă graficul este un digraf, rezultatul este o rețea direcționată . Un grafic de flux este mai generală decât o rețea direcționată, prin aceea că marginile pot fi asociate cu câștigurile, câștigurile de ramură sau transmitanțe , sau chiar funcții ale operatorului Laplace s , caz în care acestea sunt numite funcții de transfer .

Există o relație strânsă între grafice și matrice și între digrame și matrice. „Teoria algebrică a matricilor poate fi aplicată în teoria graficelor pentru a obține rezultate elegant” și, invers, abordările teoretice ale graficelor bazate pe grafice de flux sunt utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice liniare.

Derivarea unui grafic de flux din ecuații

Un exemplu de grafic flux-semnal

Grafic de flux pentru trei ecuații simultane. Marginile incidente pe fiecare nod sunt colorate diferit doar pentru accentuare.

Este prezentat un exemplu de grafic de flux conectat la unele ecuații de pornire.

Setul de ecuații ar trebui să fie consecvent și liniar independent. Un exemplu de astfel de set este:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Coerența și independența ecuațiilor din set sunt stabilite deoarece determinantul coeficienților este diferit de zero, deci o soluție poate fi găsită folosind regula lui Cramer .

Folosind exemplele din subsecțiunea Elemente ale graficelor semnal-flux , construim graficul În figură, un grafic semnal-flux în acest caz. Pentru a verifica dacă graficul reprezintă ecuațiile date, mergeți la nodul x ₁ . Uită-te la săgețile care intră în acest nod (colorate în verde pentru accentuare) și la greutățile atașate acestora. Ecuația pentru x ₁ este satisfăcută echivalând-o cu suma nodurilor atașate săgeților de intrare înmulțite cu greutățile atașate acestor săgeți. La fel, săgețile roșii și greutățile lor oferă ecuația pentru x ₂ , iar săgețile albastre pentru x ₃ .

Un alt exemplu este cazul general al a trei ecuații simultane cu coeficienți nespecificați:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} \\ c_ {21} & c_ {22} & c_ {23} \\ c_ {31} & c_ {32} & c_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \\ y_ {3} \ end {bmatrix}}}$

Pentru a configura graficul de flux, ecuațiile sunt reformate, astfel încât fiecare să identifice o singură variabilă adăugându-l pe fiecare parte. De exemplu:

${\ displaystyle \ left (c_ {11} +1 \ right) x_ {1} + c_ {12} x_ {2} + c_ {13} x_ {3} -y_ {1} = x_ {1} \.}$

Folosind diagrama și însumând ramurile incidente în x _1, această ecuație se vede satisfăcută.

Deoarece toate cele trei variabile intră în aceste ecuații reformate într-un mod simetric, simetria este reținută în grafic plasând fiecare variabilă la colțul unui triunghi echilateral. Rotirea cifrei 120 ° permite pur și simplu indicii. Această construcție poate fi extinsă la mai multe variabile prin plasarea nodului pentru fiecare variabilă la vârful unui poligon regulat, cu atâtea vârfuri câte variabile există.

Desigur, pentru a fi semnificativi, coeficienții sunt limitați la valori astfel încât ecuațiile să fie independente și consistente.

Vezi si

• Graficul Coates
• Graficul fluxului de semnal

Lecturi suplimentare

• Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). „Determinanți” . O abordare combinatorie a teoriei matricei și a aplicațiilor sale . Chapman & Hall / CRC. pp. 63 și urm . ISBN   9781420082234 . O discuție a graficelor de flux Coates și Mason.

Referințe