Densitate spectrală - Spectral density

Densitatea spectrală a unei lumini fluorescente în funcție de lungimea de undă optică arată vârfuri la tranzițiile atomice, indicate de săgețile numerotate.
Forma de undă vocală în timp (stânga) are un spectru larg de putere audio (dreapta).

Spectrul de putere al unei serii temporale descrie distribuția puterii în componentele de frecvență care compun acel semnal. Conform analizei Fourier , orice semnal fizic poate fi descompus într-un număr de frecvențe discrete sau într-un spectru de frecvențe pe o gamă continuă. Media statistică a unui anumit semnal sau a unui tip de semnal (inclusiv zgomotul ), astfel cum este analizată din punct de vedere al conținutului său de frecvență, se numește spectru .

Când energia semnalului este concentrată în jurul unui interval de timp finit, mai ales dacă energia sa totală este finită, se poate calcula densitatea spectrală a energiei . Mai frecvent utilizată este densitatea spectrală a puterii (sau pur și simplu spectrul de putere ), care se aplică semnalelor existente în toate timpurile sau într-o perioadă de timp suficient de mare (în special în raport cu durata unei măsurători) încât ar fi putut la fel de bine un interval de timp infinit. Densitatea spectrală a puterii (PSD) se referă atunci la distribuția spectrală a energiei care ar fi găsită pe unitate de timp, întrucât energia totală a unui astfel de semnal în toate timpurile ar fi, în general, infinită. Sumarea sau integrarea componentelor spectrale produce puterea totală (pentru un proces fizic) sau varianța (într-un proces statistic), identic cu ceea ce s-ar obține prin integrarea în domeniul timpului, așa cum este dictată de teorema lui Parseval .

Spectrul unui proces fizic conține adesea informații esențiale despre natura . De exemplu, tonul și timbrul unui instrument muzical sunt determinate imediat dintr-o analiză spectrală. Culoarea unei surse de lumină este determinată de spectrul câmpului electric al undei electromagnetice deoarece fluctuează la o frecvență extrem de ridicată. Obținerea unui spectru din serii temporale precum acestea implică transformata Fourier și generalizări bazate pe analiza Fourier. În multe cazuri, domeniul timpului nu este folosit în mod specific în practică, cum ar fi atunci când o prismă dispersivă este utilizată pentru a obține un spectru de lumină într-un spectrograf sau când un sunet este perceput prin efectul său asupra receptorilor auditivi ai urechii interne, fiecare dintre care este sensibil la o anumită frecvență.

Cu toate acestea, acest articol se concentrează pe situații în care seria cronologică este cunoscută (cel puțin în sens statistic) sau direct măsurată (cum ar fi printr-un microfon eșantionat de un computer). Spectrul de putere este important în procesarea statistică a semnalului și în studiul statistic al proceselor stochastice , precum și în multe alte ramuri ale fizicii și ingineriei . De obicei, procesul este o funcție a timpului, dar se poate discuta în mod similar datele din domeniul spațial care sunt descompuse în termeni de frecvență spațială .

Explicaţie

Orice semnal care poate fi reprezentat ca o variabilă care variază în timp are un spectru de frecvență corespunzător. Aceasta include entități familiare, cum ar fi lumina vizibilă (percepută ca culoare ), notele muzicale (percepute ca înălțime ), radio / TV (specificate prin frecvența lor, sau uneori lungimea de undă ) și chiar rotația regulată a pământului. Când aceste semnale sunt vizualizate sub forma unui spectru de frecvență, sunt dezvăluite anumite aspecte ale semnalelor recepționate sau ale proceselor de bază care le produc. În unele cazuri, spectrul de frecvență poate include un vârf distinct corespunzător unei componente de undă sinusoidală . Și în plus, pot exista vârfuri corespunzătoare armonicilor unui vârf fundamental, care indică un semnal periodic care nu este pur și simplu sinusoidal. Sau un spectru continuu poate arăta intervale de frecvență înguste, care sunt puternic îmbunătățite, corespunzător rezonanțelor, sau intervale de frecvență care conțin o putere aproape nulă, așa cum ar fi produs de un filtru de notch .

În fizică , semnalul ar putea fi o undă, cum ar fi o undă electromagnetică , o undă acustică sau vibrația unui mecanism. Densitatea spectrală a puterii (PSD) a semnalului descrie puterea prezentă în semnalul ca funcție de frecvență, pe unitatea de frecvență. Densitatea spectrală a puterii este de obicei exprimată în wați pe hertz (W / Hz).

Când un semnal este definit doar în termeni de tensiune , de exemplu, nu există o putere unică asociată cu amplitudinea indicată. În acest caz, „puterea” este pur și simplu calculată în funcție de pătratul semnalului, deoarece aceasta ar fi întotdeauna proporțională cu puterea reală livrată de acel semnal într-o anumită impedanță . Deci, s-ar putea folosi unități de V 2  Hz -1 pentru PSD și V 2  s Hz -1 pentru ESD ( densitatea spectrală a energiei ), chiar dacă nu este specificată nicio „putere” sau „energie” reală.

Uneori se întâlnește o densitate spectrală de amplitudine (ASD), care este rădăcina pătrată a PSD; ASD-ul unui semnal de tensiune are unități de V Hz −1/2 . Acest lucru este util atunci când forma spectrului este destul de constantă, deoarece variațiile ASD vor fi apoi proporționale cu variațiile nivelului de tensiune al semnalului în sine. Dar se preferă matematic utilizarea PSD, deoarece numai în acest caz zona de sub curbă este semnificativă în termeni de putere reală pe toată frecvența sau pe o lățime de bandă specificată.

În cazul general, unitățile PSD vor fi raportul dintre unitățile de varianță pe unitate de frecvență; deci, de exemplu, o serie de valori de deplasare (în metri) în timp (în secunde) vor avea PSD în unități de m 2 / Hz. Pentru analiza aleatorie a vibrațiilor, unitățile de g 2  Hz −1 sunt frecvent utilizate pentru PSD de accelerație . Aici g denotă forța g .

Matematic, nu este necesar să se atribuie dimensiuni fizice semnalului sau variabilei independente. În următoarea discuție, semnificația lui x (t) va rămâne nespecificată, dar variabila independentă va fi presupusă a fi cea a timpului.

Definiție

Densitatea spectrală a energiei

Densitatea spectrală a energiei descrie modul în care energia unui semnal sau a unei serii temporale este distribuită cu frecvență. Aici, termenul de energie este utilizat în sensul generalizat al procesării semnalului; adică energia unui semnal este :

Densitatea spectrală a energiei este cea mai potrivită pentru tranzitorii - adică semnale asemănătoare impulsurilor - având o energie totală finită. Finit sau nu, teorema lui Parseval (sau teorema lui Plancherel) ne oferă o expresie alternativă pentru energia semnalului :

unde :

este valoarea transformatei Fourier a la frecvență (în Hz ). Teorema este valabilă și în cazurile discrete. Deoarece integrala din partea dreaptă este energia semnalului, integrandul poate fi interpretat ca o funcție de densitate care descrie energia conținută în semnal la frecvență . Prin urmare, densitatea de energie spectrală a este definită ca :

 

 

 

 

( Ec. 1 )

Funcția și autocorelare de formă unei transformări Fourier pereche, un rezultat este cunoscut sub numele de Wiener-Khinchin teorema ( a se vedea , de asemenea , periodogram ).

Ca exemplu fizic al modului în care s-ar putea măsura densitatea spectrală a energiei unui semnal, să presupunem că reprezintă potențialul (în volți ) al unui impuls electric care se propagă de-a lungul unei linii de transmisie de impedanță și să presupunem că linia este terminată cu un rezistor potrivit (astfel încât toată energia pulsului este livrată rezistorului și niciuna nu este reflectată înapoi). Conform legii lui Ohm , puterea livrată rezistorului la momentul respectiv este egală cu , astfel încât energia totală se găsește prin integrarea în raport cu timpul pe durata impulsului. Pentru a găsi valoarea densității spectrale de energie la frecvență , s-ar putea introduce între linia de transmisie și rezistor un filtru de bandă care trece doar un interval îngust de frecvențe (să zicem) în apropierea frecvenței de interes și apoi să se măsoare energia totală disipată în rezistorul. Valoarea densității spectrale de energie la este apoi estimată a fi . În acest exemplu, deoarece puterea are unități de V 2 Ω −1 , energia are unități de V 2  s Ω −1  = J și, prin urmare, estimarea densității spectrale de energie are unități de J Hz −1 , după cum este necesar. În multe situații, este obișnuit să uităm pasul împărțirii la astfel încât densitatea spectrală a energiei să aibă în schimb unități de V 2  Hz −1 .

Această definiție se generalizează într-un mod direct la un semnal discret cu un număr infinit de valori, cum ar fi un semnal eșantionat la momente discrete :

unde este transformata Fourier în timp discret a   intervalului de eșantionare este necesar pentru a păstra unitățile fizice corecte și pentru a ne asigura că recuperăm cazul continuu în limită   Dar în științele matematice intervalul este adesea setat la 1, ceea ce simplifică rezultatele la cheltuiala generalității. (vezi și frecvența normalizată )

Densitatea spectrală a puterii

Definiția de mai sus a densității spectrale de energie este potrivită pentru tranzitorii (semnale de tip puls) a căror energie este concentrată în jurul unei ferestre de timp; atunci transformatele Fourier ale semnalelor există în general. Pentru semnale continue de-a lungul timpului, trebuie mai degrabă să se definească densitatea spectrală de putere (PSD) care există pentru procesele staționare ; aceasta descrie modul în care puterea unui semnal sau a unei serii temporale este distribuită pe frecvență, ca în exemplul simplu dat anterior. Aici, puterea poate fi puterea fizică reală sau, mai des, pentru comoditate cu semnale abstracte, este pur și simplu identificată cu valoarea pătrată a semnalului. De exemplu, statisticienii studiază varianța unei funcții în timp (sau peste o altă variabilă independentă) și folosind o analogie cu semnalele electrice (printre alte procese fizice), este obișnuit să se numească spectrul de putere chiar și atunci când nu există puterea fizică implicată. Dacă s-ar crea o sursă de tensiune fizică care să o urmeze și să o aplice la bornele unui rezistor de 1 ohm , atunci într-adevăr puterea instantanee disipată în acel rezistor ar fi dată de wați .

Puterea medie a unui semnal în toate timpurile este, prin urmare, dată de următoarea medie de timp, în care perioada este centrată pe un timp arbitrar :

Cu toate acestea, pentru a face față matematicii care urmează, este mai convenabil să se ocupe de limitele de timp în semnal în sine decât de limitele de timp în limitele integralei. Ca atare, avem o reprezentare alternativă a puterii medii, unde și este unitate în perioada arbitrară și zero în altă parte.

În mod clar, în cazurile în care expresia de mai sus pentru P este diferită de zero (chiar dacă T crește fără legătură), integrala însăși trebuie să crească și fără legătură. Acesta este motivul pentru care nu putem folosi însăși densitatea spectrală a energiei, care este acea integral divergentă, în astfel de cazuri.

Analizând conținutul de frecvență al semnalului , s-ar putea dori să se calculeze transformata Fourier obișnuită ; cu toate acestea, pentru multe semnale de interes, transformata Fourier nu există formal. Indiferent, teorema lui Parseval ne spune că putem rescrie puterea medie după cum urmează.

Apoi densitatea spectrală de putere este pur și simplu definită ca integrandul de mai sus.

 

 

 

 

( Ec. 2 )

De aici, putem vedea, de asemenea, ca transformată Fourier a convoluției în timp a și

Acum, dacă împărțim convoluția de timp de mai sus la perioadă și luăm limita ca , aceasta devine funcția de autocorelare a semnalului fără ferestre , care este notată ca , cu condiția să fie ergodică , ceea ce este adevărat în majoritatea, dar nu în toate, cazuri practice ..

De aici vedem, presupunând din nou ergodicitatea , că densitatea spectrală de putere poate fi găsită ca transformată Fourier a funcției de autocorelație ( teorema Wiener – Khinchin ).

 

 

 

 

( Ec. 3 )

Mulți autori folosesc această egalitate pentru a defini efectiv densitatea spectrală de putere.

Puterea semnalului într-o anumită bandă de frecvență , unde , poate fi calculată prin integrarea peste frecvență. Deoarece , o cantitate egală de putere poate fi atribuită benzilor de frecvență pozitive și negative, care reprezintă factorul 2 în forma următoare (astfel de factori triviali depind de convențiile utilizate):

Mai general, se pot utiliza tehnici similare pentru a estima o densitate spectrală care variază în timp. În acest caz, intervalul de timp este mai degrabă finit decât se apropie de infinit. Acest lucru are ca rezultat scăderea acoperirii și rezoluției spectrale, deoarece frecvențe mai mici decât nu sunt eșantionate, iar rezultatele la frecvențe care nu sunt multiple multiple ale lui nu sunt independente. Doar folosind o singură serie de timp, spectrul de putere estimat va fi foarte „zgomotos”; cu toate acestea, acest lucru poate fi atenuat dacă este posibil să se evalueze valoarea așteptată (în ecuația de mai sus) utilizând un număr mare (sau infinit) de spectre pe termen scurt corespunzător ansamblurilor statistice de realizări ale evaluării pe fereastra de timp specificată.

La fel ca în cazul densității spectrale de energie, definiția densității spectrale de putere poate fi generalizată la variabile de timp discrete . Ca și înainte, putem lua în considerare o fereastră cu semnalul eșantionat la momente discrete pentru o perioadă totală de măsurare .

Rețineți că o singură estimare a PSD poate fi obținută printr-un număr finit de eșantionări. La fel ca înainte, PSD-ul real este atins atunci când (și astfel ) se apropie de infinit și valoarea așteptată este aplicată formal. Într-o aplicație din lumea reală, în mod obișnuit s-ar face media unui PSD cu măsurare finită pe mai multe studii pentru a obține o estimare mai precisă a PSD teoretic a procesului fizic care stă la baza măsurătorilor individuale. Acest PSD calculat este uneori numit parodogramă . Această periodogramă converge la PSD adevărat ca număr de estimări, precum și la intervalul de timp mediu de apropiere infinit (Brown & Hwang).

Dacă ambele semnale posedă densități spectrale de putere, atunci densitatea spectrală transversală poate fi calculată în mod similar; deoarece PSD este legat de autocorelație, la fel este și densitatea spectrală legată de corelația încrucișată .

Proprietățile densității spectrale de putere

Unele proprietăți ale PSD includ:

  • Spectrul de putere este întotdeauna reală și non-negativ, iar spectrul unui proces real de valoare este , de asemenea , o funcție chiar de frecvență: .
  • Pentru un proces stochastic continuu x (t), funcția de autocorelație R xx (t) poate fi reconstituită din spectrul său de putere S xx (f) utilizând transformata Fourier inversă
  • Folosind teorema lui Parseval , se poate calcula varianța (puterea medie) a unui proces prin integrarea spectrului de putere pe toată frecvența:
  • Pentru un proces real x (t) cu densitate spectrală de putere , se poate calcula spectrul integrat sau distribuția spectrală de putere , care specifică puterea medie limitată de bandă conținută în frecvențe de la DC la f folosind:
Rețineți că expresia anterioară pentru puterea totală (varianța semnalului) este un caz special în care f → ∞.

Densitatea spectrală a puterii încrucișate

Având în vedere două semnale și , fiecare dintre acestea posedând densități spectrale de putere și , este posibil să se definească o densitate spectrală de putere transversală ( CPSD ) sau o densitate spectrală transversală ( CSD ). Pentru început, să luăm în considerare puterea medie a unui astfel de semnal combinat.

Folosind aceeași notație și metode utilizate pentru derivarea densității spectrale de putere, exploatăm teorema lui Parseval și obținem

unde, din nou, contribuțiile și sunt deja înțelese. Rețineți că , astfel, contribuția completă la puterea încrucișată este, în general, de două ori față de partea reală a oricărui CPSD individual . La fel ca înainte, de aici reformăm aceste produse ca transformată Fourier a unei convoluții de timp, care atunci când este împărțită la perioadă și dusă la limită devine transformata Fourier a unei funcții de corelație încrucișată .

unde este corelația încrucișată a cu și este corelația încrucișată a cu . În lumina acestui fapt, PSD este considerat a fi un caz special al CSD pentru . Pentru cazul care și sunt semnale de tensiune sau curent, densitățile spectrale ale amplitudinii asociate și sunt strict pozitive prin convenție. Prin urmare, în procesarea tipică a semnalului, CPSD complet este doar unul dintre CPSD- uri scalate cu un factor de doi.

Pentru semnale discrete x n și y n , relația dintre densitatea spectrală transversală și covarianța încrucișată este

Estimare

Scopul estimării densității spectrale este de a estima densitatea spectrală a unui semnal aleatoriu dintr-o secvență de probe de timp. În funcție de ceea ce se știe despre semnal, tehnicile de estimare pot implica abordări parametrice sau non-parametrice și se pot baza pe analiza domeniului de timp sau a domeniului de frecvență. De exemplu, o tehnică parametrică comună implică adaptarea observațiilor la un model autoregresiv . O tehnică neparametrică comună este parodograma .

Densitatea spectrală este de obicei estimată utilizând metode de transformare Fourier (cum ar fi metoda Welch ), dar pot fi utilizate și alte tehnici, cum ar fi metoda de entropie maximă .

Concepte conexe

  • Centroidul spectrală a unui semnal este punctul median al funcției sale de densitate spectrală, adică frecvența care împarte distribuția în două părți egale.
  • Frecvența marginii spectrală a unui semnal este o extensie a conceptului anterior orice proporție în loc de două părți egale.
  • Densitatea spectrală este o funcție a frecvenței, nu o funcție a timpului. Cu toate acestea, densitatea spectrală a unei ferestre mici cu un semnal mai lung poate fi calculată și reprezentată grafic în funcție de timpul asociat ferestrei. Un astfel de grafic se numește spectrogramă . Aceasta este baza unui număr de tehnici de analiză spectrală, cum ar fi transformata Fourier de scurtă durată și wavelets .
  • Un "spectru" înseamnă, în general, densitatea spectrală de putere, așa cum sa discutat mai sus, care descrie distribuția conținutului semnalului peste frecvență. Acest lucru nu trebuie confundat cu răspunsul în frecvență al unei funcții de transfer care include, de asemenea, o fază (sau echivalent, o parte reală și imaginară în funcție de frecvență). Pentru funcțiile de transfer ( de exemplu, Bode complot , ciripit ) răspunsul complet de frecvență pot fi reprezentate grafic în două părți, amplitudine față de frecvență și fază în raport cu frecvența the densitatea fazei spectrale , spectrul de fază sau faza spectrală (sau mai rar, la fel de real și părți imaginare ale funcției de transfer). Răspunsul la impuls (în domeniul timpului) nu poate fi, în general, recuperat în mod unic din partea de densitate spectrală de amplitudine singură fără funcția de fază. Deși acestea sunt și perechi de transformate Fourier, nu există simetrie (așa cum există și pentru autocorelație) care să oblige transformata Fourier să fie reală. A se vedea pulsul ultracurt # Faza spectrală , zgomotul de fază , întârzierea grupului .

Aplicații

Inginerie Electrică

Spectrograma unui semnal radio FM cu frecvență pe axa orizontală și timpul crescând în sus pe axa verticală.

Conceptul și utilizarea spectrului de putere al unui semnal sunt fundamentale în ingineria electrică , în special în sistemele de comunicații electronice , inclusiv comunicațiile radio , radarele și sistemele conexe, plus tehnologia de teledetecție pasivă . Instrumentele electronice numite analizoare de spectru sunt utilizate pentru a observa și măsura spectrele de putere ale semnalelor.

Analizorul de spectru măsoară magnitudinea transformării Fourier în timp scurt (STFT) a unui semnal de intrare. Dacă semnalul analizat poate fi considerat un proces staționar, STFT este o bună estimare netedă a densității sale spectrale de putere.

Cosmologie

Fluctuațiile primordiale , variațiile de densitate din universul timpuriu, sunt cuantificate printr-un spectru de putere care dă puterea variațiilor în funcție de scara spațială.

Vezi si

Note

Referințe

linkuri externe