Viteza grupului - Group velocity
Viteza de grup a unui val este viteza cu care forma generală a anvelopei undei amplitudini-cunoscut sub numele de modulare sau plic de undă se propagă prin spațiu.
De exemplu, dacă o piatră este aruncată în mijlocul unui iaz foarte liniștit, apare în apă un model circular de valuri cu un centru de repaus, cunoscut și sub numele de val capilar . Inelul de valuri în expansiune este grupul de unde , în cadrul căruia se pot discerne unde individuale care călătoresc mai repede decât grupul în ansamblu. Amplitudinile undelor individuale cresc pe măsură ce acestea ies din marginea finală a grupului și se diminuează pe măsură ce se apropie de marginea din față a grupului.
Definiție și interpretare
Definiție
Viteza grupului v g este definită de ecuația:
unde ω este frecvența unghiulară a undei (de obicei exprimată în radiani pe secundă ) și k este numărul de undă unghiular (de obicei exprimat în radiani pe metru). Viteza de fază este: v p = ω / k .
Funcția w ( k ) , care dă ω ca funcție de k , este cunoscută ca relația de dispersie .
- Dacă ω este direct proporțional cu k , atunci viteza grupului este exact egală cu viteza fazei. Un val de orice formă va călători nedistorsionat la această viteză.
- Dacă ω este o funcție liniară a lui k , dar nu direct proporțională ( ω = ak + b ) , atunci viteza de grup și viteza de fază sunt diferite. Plicul unui pachet de unde (vezi figura din dreapta) va călători la viteza grupului, în timp ce vârfurile și jgheaburile individuale din interiorul plicului se vor deplasa la viteza de fază.
- Dacă ω nu este o funcție liniară a lui k , anvelopa unui pachet de unde se va distorsiona pe măsură ce se deplasează. Deoarece un pachet de unde conține o gamă de frecvențe diferite (și, prin urmare, valori diferite ale lui k ), viteza grupului ∂ω / ∂k va fi diferită pentru diferite valori ale lui k . Prin urmare, plicul nu se mișcă cu o singură viteză, dar componentele sale ale numărului de undă ( k ) se deplasează la viteze diferite, distorsionând plicul. Dacă pachetul de unde are o gamă îngustă de frecvențe și ω ( k ) este aproximativ liniară peste acea gamă îngustă, distorsiunea pulsului va fi mică, în raport cu neliniaritatea mică. Vezi discuțiile suplimentare mai jos . De exemplu, pentru apa de adâncime gravitatea valuri , și , prin urmare , v g = v p / 2 .Aceasta stă la baza modelului de trezire Kelvin pentru valul de prova al tuturor navelor și obiectelor de înot. Indiferent de cât de repede se mișcă, atâta timp cât viteza lor este constantă, pe fiecare parte trezirea formează un unghi de 19,47 ° = arcsin (1/3) cu linia de deplasare.
Derivare
O derivare a formulei pentru viteza grupului este următoarea.
Luați în considerare un pachet de undă în funcție de poziția x și timpul t : α ( x , t ) .
Fie A ( k ) transformata lui Fourier la timpul t = 0 ,
Prin principiul suprapunerii , pachetul de undă în orice moment t este
unde ω este implicit o funcție a lui k .
Să presupunem că pachetul de unde α este aproape monocromatic , astfel încât A ( k ) are un vârf puternic în jurul unui număr de undă central k 0 .
Apoi, liniarizarea dă
Unde
- și
(a se vedea secțiunea următoare pentru discuții despre acest pas). Apoi, după o algebră,
Există doi factori în această expresie. Primul factor descrie o undă monocromatică perfectă cu vectorul de undă k 0 , cu vârfuri și jgheaburi care se deplasează la viteza de fază din învelișul pachetului de unde.
Celălalt factor,
- ,
dă plicul pachetului de valuri. Această funcție de plic depinde de poziție și timp numai prin combinație .
Prin urmare, învelișul pachetului de unde se deplasează cu viteză
ceea ce explică formula vitezei grupului.
Termeni de ordin superior în dispersie
O parte din derivarea anterioară este aproximarea din seria Taylor care:
Dacă pachetul de undă are o frecvență relativ mare, sau dacă dispersia ω (k) are variații accentuate (cum ar fi datorită unei rezonanțe ) sau dacă pachetul se deplasează pe distanțe foarte mari, această ipoteză nu este validă și de ordin superior termenii din expansiunea Taylor devin importanți.
Ca rezultat, învelișul pachetului de unde nu numai că se mișcă, ci și distorsionează, într-un mod care poate fi descris de dispersia vitezei de grup a materialului . Vorbind liber, componentele de frecvență diferite ale pachetului de unde se deplasează la viteze diferite, componentele mai rapide se deplasează spre partea din față a pachetului de unde și cele mai lente se deplasează spre spate. În cele din urmă, pachetul de valuri se întinde. Acesta este un efect important în propagarea semnalelor prin fibrele optice și în proiectarea de lasere de mare putere, cu impulsuri scurte.
Istorie
Ideea unei viteze de grup distinctă de viteza de fază a unei unde a fost propusă pentru prima dată de WR Hamilton în 1839, iar primul tratament complet a fost realizat de Rayleigh în „Teoria sunetului” în 1877.
Alte expresii
Pentru lumină, indicele de refracție n , lungimea de undă a vidului λ 0 și lungimea de undă din mediul λ , sunt legate de
cu v p = ω / k viteza de fază .
Viteza grupului, prin urmare, poate fi calculată prin oricare dintre următoarele formule,
Relația cu viteza de fază, indicele de refracție și viteza de transmisie
În trei dimensiuni
Pentru undele care călătoresc prin trei dimensiuni, cum ar fi undele de lumină, undele sonore și undele de materie, formulele pentru viteza de fază și grup sunt generalizate într-un mod direct:
- O dimensiune:
- Trei dimensiuni:
Unde
înseamnă gradientul de frecvență unghiulară w ca funcție a vectorului de undă , și este vectorul unitate în direcția k .
Dacă undele se propagă printr-un mediu anizotrop (adică nu simetric rotațional), de exemplu un cristal , atunci vectorul vitezei de fază și vectorul grupului de viteză pot indica în direcții diferite.
În mass-media cu pierderi sau câștigătoare
Viteza grupului este adesea considerată a fi viteza la care energia sau informațiile sunt transmise de-a lungul unei unde. În majoritatea cazurilor, acest lucru este exact, iar viteza grupului poate fi considerată viteza semnalului formei de undă . Cu toate acestea, dacă unda călătorește printr-un mediu absorbant sau câștigător, acest lucru nu este întotdeauna valabil. În aceste cazuri, viteza grupului poate să nu fie o mărime bine definită sau să nu fie o mărime semnificativă.
În textul său „Propagarea valurilor în structuri periodice”, Brillouin a susținut că într-un mediu disipativ viteza grupului încetează să mai aibă un sens fizic clar. Un exemplu privind transmiterea undelor electromagnetice printr-un gaz atomic este dat de Loudon. Un alt exemplu este valurile mecanice din fotosfera solară : valurile sunt amortizate (prin fluxul de căldură radiativă de la vârfuri la jgheaburi) și, în legătură cu aceasta, viteza energiei este adesea substanțial mai mică decât viteza grupului valurilor.
În ciuda acestei ambiguități, o modalitate obișnuită de a extinde conceptul de viteză de grup la medii complexe este de a lua în considerare soluțiile de unde plane amortizate spațial în interiorul mediului, care sunt caracterizate de un vector de undă cu valoare complexă . Apoi, partea imaginară a vectorului de undă este aruncată în mod arbitrar și formula obișnuită pentru viteza de grup se aplică părții reale a vectorului de undă, adică,
Sau, în mod echivalent, în ceea ce privește partea reală a indicelui de refracție complex , n = n + iκ , se are
Se poate arăta că această generalizare a vitezei grupului continuă să fie legată de viteza aparentă a vârfului unui pachet de unde. Definiția de mai sus nu este universală, totuși: alternativ, se poate lua în considerare amortizarea timpului undelor staționare ( k real , complex ω ) sau, permite vitezei grupului să fie o mărime complexă. Considerații diferite dau viteze distincte, totuși toate definițiile sunt de acord pentru cazul unui mediu fără pierderi, fără câștig.
Generalizarea de mai sus a vitezei grupului pentru medii complexe se poate comporta ciudat, iar exemplul dispersiei anormale servește ca o ilustrare bună. La marginile unei regiuni de dispersie anormală, devine infinit (depășind chiar viteza luminii în vid) și poate deveni ușor negativ (semnul său se opune lui Re k ) în interiorul benzii de dispersie anormală.
Viteze de grup superluminale
Începând cu anii 1980, diferite experimente au verificat că este posibil ca viteza grupului (așa cum s-a definit mai sus) a impulsurilor de lumină laser trimise prin materiale cu pierderi sau materiale profitabile să depășească în mod semnificativ viteza luminii în vid c . De asemenea, s-a văzut că vârfurile pachetelor de valuri se mișcă mai repede decât c .
În toate aceste cazuri, însă, nu există nicio posibilitate ca semnalele să poată fi transportate mai repede decât viteza luminii în vid , deoarece valoarea ridicată a v g nu ajută la accelerarea mișcării adevărate a frontului de undă ascuțit care ar avea loc la începutul oricărui semnal real. În esență, transmisia aparent superluminală este un artefact al aproximării benzii înguste folosite mai sus pentru a defini viteza grupului și se întâmplă din cauza fenomenelor de rezonanță din mediul intermediar. Într-o analiză de bandă largă, se vede că viteza aparent paradoxală de propagare a anvelopei semnalului este de fapt rezultatul interferenței locale a unei benzi mai largi de frecvențe pe mai multe cicluri, care se propagă perfect cauzal și la viteza de fază. Rezultatul este asemănător cu faptul că umbrele pot călători mai repede decât lumina, chiar dacă lumina care le provoacă se propagă întotdeauna la viteza luminii; întrucât fenomenul măsurat este legat doar vag de cauzalitate, nu respectă neapărat regulile propagării cauzale, chiar dacă în circumstanțe normale o face și conduce la o intuiție comună.
Vezi si
Referințe
Note
Lecturi suplimentare
- Crawford jr., Frank S. (1968). Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Versiune online gratuită
- Tipler, Paul A .; Llewellyn, Ralph A. (2003), Modern Physics (ediția a IV-a), New York: WH Freeman and Company, p. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
- Biot, MA (1957), „Teoreme generale despre echivalența vitezei grupului și a transportului de energie”, Physical Review , 105 (4): 1129–1137, Bibcode : 1957PhRv..105.1129B , doi : 10.1103 / PhysRev.105.1129
- Whitham, GB (1961), "Viteza grupului și propagarea energiei pentru unde tridimensionale", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675-691, CiteSeerX 10.1.1.205.7999 , doi : 10.1002 / cpa.3160140337
- Lighthill, MJ (1965), "Viteza grupului", IMA Journal of Applied Mathematics , 1 (1): 1-28, doi : 10.1093 / imamat / 1.1.1
- Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Wavetrains in nehomogeneous moving media", Proceedings of the Royal Society of London , Seria A, Mathematical and Physical Sciences, 302 (1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098 / rspa.1968.0034
- Hayes, WD (1973), "Viteza grupului și propagarea undelor dispersive neliniare", Proceedings of the Royal Society of London , Seria A, Mathematical and Physical Sciences, 332 (1589): 199–221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098 / rspa.1973.0021 , S2CID 121521673
- Whitham, GB (1974), Undele liniare și neliniare , Wiley, ISBN 978-0471940906
linkuri externe
- Greg Egan are un applet Java excelent pe site-ul său web, care ilustrează diferența aparentă a vitezei de grup față de viteza de fază .
- Maarten Ambaum are o pagină web cu filme care demonstrează importanța vitezei grupului pentru dezvoltarea în aval a sistemelor meteorologice.
- Faza vs. Viteza de grup - Diverse relații de fază și grup-viteză (animație)