Modulul Harish-Chandra - Harish-Chandra module

În matematică , în mod specific în teoria reprezentării grupurilor Lie , un modul Harish-Chandra , numit după matematicianul și fizicianul indian Harish-Chandra , este o reprezentare a unui grup Lie real , asociat unei reprezentări generale, cu condiții de regularitate și limitate. Când reprezentarea asociată este un -modul, atunci modulul său Harish-Chandra este o reprezentare cu proprietăți de factorizare dorite. ${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$

Definiție

Să G un grup Lie și K un compact subgrup al G . Dacă este o reprezentare a G , atunci modulul Harish-Chandra a este subspatiu X al V constând din K finit vectori netede în V . Acest lucru înseamnă că X include exact acei vectori v astfel încât harta prin ${\ displaystyle (\ pi, V)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ varphi _ {v}: G \ longrightarrow V}$

${\ displaystyle \ varphi _ {v} (g) = \ pi (g) v}$

este neted, iar subspațiul

${\ displaystyle {\ text {span}} \ {\ pi (k) v: k \ în K \}}$

este finit-dimensional.

Note

În 1973, Lepowsky a arătat că orice modul ireductibil X este izomorf pentru modulul Harish-Chandra al unei reprezentări ireductibile a lui G pe un spațiu Hilbert . Astfel de reprezentări sunt admisibile , ceea ce înseamnă că se descompun într-un mod analog factorizării prime a numerelor întregi. (Desigur, descompunerea poate avea infinit de mulți factori diferiți!) Mai mult, un rezultat al lui Harish-Chandra indică faptul că dacă G este un grup Lie reductiv cu subgrupul compact maxim K , iar X este un modul ireductibil cu o formă Hermitiană definită pozitivă satisfăcător ${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$

${\ displaystyle \ langle k \ cdot v, w \ rangle = \ langle v, k ^ {- 1} \ cdot w \ rangle}$

și

${\ displaystyle \ langle Y \ cdot v, w \ rangle = - \ langle v, Y \ cdot w \ rangle}$

pentru toți și , atunci X este modulul Harish-Chandra unei reprezentări unitare ireductibile unic  G . ${\ displaystyle Y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle k \ în K}$

Referințe

• Vogan, Jr., David A. (1987), Reprezentări unitare ale grupurilor de minciuni reductive , Annals of Mathematics Studies, 118 , Princeton University Press, ISBN   978-0-691-08482-4

Vezi si

• (g, K) -modul
• Reprezentare admisibilă
• Reprezentarea unitară