Dacă și numai dacă - If and only if
↔⇔≡⟺
Simboluri logice reprezentând iff
În logica și domenii conexe , cum ar fi matematica si filozofie , „ dacă și numai dacă “ (prescurtat „ IFF “) este un biconditional de legătură logică între declarații, în cazul în care , fie ambele afirmații sunt adevărate sau ambele sunt false.
Conectivul este bicondițional (o declarație de echivalență materială ) și poate fi asemănat cu condiționalul material standard ("doar dacă", egal cu "dacă ... atunci") combinat cu reversul său ("dacă"); de aici și numele. Rezultatul este că adevărul oricăreia dintre afirmațiile conectate necesită adevărul celuilalt (adică fie ambele afirmații sunt adevărate, fie ambele sunt false), deși este controversat dacă conjunctivul astfel definit este redat corect de englezii „dacă și numai dacă”—cu sensul ei preexistent. De exemplu, P dacă și numai dacă Q înseamnă că P este adevărat ori de câte ori Q este adevărat și singurul caz în care P este adevărat este dacă Q este și adevărat, în timp ce în cazul lui P dacă Q , ar putea exista și alte scenarii în care P este adevărat și Q este fals.
În scris, expresiile utilizate în mod obișnuit ca alternative la P „dacă și numai dacă” Q includ: Q este necesar și suficient pentru P , P este echivalent (sau echivalent material) cu Q (comparați cu implicația materială ), P exact dacă Q , P exact (sau exact) când Q , P exact în cazul Q , și P exact în cazul în care Q . Unii autori consideră „iff” ca fiind nepotrivit în scrisul formal; alții îl consideră un „caz limită” și tolerează utilizarea lui.
În formulele logice , simbolurile logice, cum ar fi și , sunt folosite în locul acestor fraze; vezi § Notarea de mai jos.
Definiție
Tabelul de adevăr al P Q este după cum urmează:
| P | Q | P Q | P Q | P Q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
Este echivalent cu cel produs de poarta XNOR și opus cu cel produs de poarta XOR .
Utilizare
Notaţie
Simbolurile logice corespunzătoare sunt „↔”, „ „ și „ ≡ ”, iar uneori „iff”. Acestea sunt de obicei tratate ca echivalente. Cu toate acestea, unele texte de logică matematică (în special cele despre logica de ordinul întâi , mai degrabă decât logica propozițională ) fac o distincție între acestea, în care primul, ↔, este folosit ca simbol în formulele logice, în timp ce ⇔ este folosit în raționamentul despre acele formule logice (de exemplu, în metalogic ). În notația poloneză a lui Łukasiewicz , este simbolul prefix „E”.
Un alt termen pentru acest conjunctiv logic este exclusiv nici .
În TeX , „dacă și numai dacă” este afișat ca o săgeată dublă lungă: prin comanda \iff.
Dovezi
În majoritatea sistemelor logice , se dovedește o afirmație de forma „P dacă Q” demonstrând fie „dacă P, atunci Q” și „dacă Q, atunci P”, fie „dacă P, atunci Q” și „dacă nu-P , apoi nu-Q". Demonstrarea acestor perechi de afirmații duce uneori la o demonstrație mai naturală, deoarece nu există condiții evidente în care s-ar deduce direct un bicondițional. O alternativă este de a demonstra disjuncția "(P și Q) sau (nu-P și nu-Q)", care ea însăși poate fi dedusă direct din oricare dintre disjuncțiile sale - adică, pentru că "iff" este funcțional pentru adevăr , " P dacă Q" urmează dacă P și Q s-au dovedit a fi ambele adevărate sau ambele false.
Originea iff și pronunție
Utilizarea abrevierei „iff” a apărut pentru prima dată în cartea lui John L. Kelley din 1955, General Topology . Invenția sa este adesea atribuită lui Paul Halmos , care a scris „Am inventat „if”, pentru „dacă și numai dacă” – dar nu mi-aș putea crede niciodată că sunt cu adevărat primul său inventator”.
Este oarecum neclar cum a fost menit să fie pronunțat „iff”. În practica curentă, singurul „cuvânt” „if” este aproape întotdeauna citit ca cele patru cuvinte „dacă și numai dacă”. Cu toate acestea, în prefața Topologiei generale , Kelley sugerează că ar trebui citit diferit: „În unele cazuri în care conținutul matematic necesită „dacă și numai dacă”, iar eufonia cere ceva mai puțin, folosesc „if” al lui Halmos”. Autorii unui manual de matematică discret sugerează: „Dacă trebuie să pronunți iff, ține-te cu adevărat de „ff”, astfel încât oamenii să audă diferența de „dac”, ceea ce înseamnă că „iff” ar putea fi pronunțat ca [ɪfː] .
Utilizare în definiții
Din punct de vedere tehnic, definițiile sunt întotdeauna afirmații „dacă și numai dacă”; unele texte - cum ar fi Topologia generală a lui Kelley - urmează cerințele stricte ale logicii și folosesc „dacă și numai dacă” sau iff în definițiile termenilor noi. Cu toate acestea, această utilizare logic corectă a „dacă și numai dacă” este relativ neobișnuită, deoarece majoritatea manualelor, lucrărilor de cercetare și articolelor (inclusiv articolele Wikipedia în limba engleză) urmează convenția specială de a interpreta „dacă” ca „dacă și numai dacă”. ori de câte ori este implicată o definiție matematică (ca în „un spațiu topologic este compact dacă fiecare capac deschis are un subacoperire finit”).
Deosebirea de „dacă” și „doar dacă”
-
„Madison va mânca fructele dacă este un măr”. (echivalent cu „ Numai dacă Madison va mânca fructele, poate fi un măr” sau „Madison va mânca fructele ← fructul este un măr” )
- Aceasta afirmă că Madison va mânca fructe care sunt mere. Totuși, nu exclude posibilitatea ca Madison să mănânce și banane sau alte tipuri de fructe. Tot ceea ce se știe cu siguranță este că va mânca toate merele pe care le va întâmpla. Ca fructul să fie un măr este o condiție suficientă pentru ca Madison să mănânce fructele.
-
„Madison va mânca fructele numai dacă este un măr”. (echivalent cu „ Dacă Madison va mânca fructele, atunci este un măr” sau „Madison va mânca fructele → fructul este un măr” )
- Aceasta afirmă că singurul fruct pe care Madison îl va mânca este un măr. Cu toate acestea, nu exclude posibilitatea ca Madison să refuze un măr dacă acesta este pus la dispoziție, spre deosebire de (1), care impune Madison să mănânce orice măr disponibil. În acest caz, ca un anumit fruct să fie un măr este o condiție necesară pentru ca Madison să-l mănânce. Nu este o condiție suficientă, deoarece Madison ar putea să nu mănânce toate merele care i se dă.
-
"Madison va mânca fructele dacă și numai dacă este un măr." (echivalent cu „Madison va mânca fructele ↔ fructul este un măr” )
- Această afirmație arată clar că Madison va mânca toate și numai acele fructe care sunt mere. Nu va lăsa niciun măr nemâncat și nu va mânca niciun alt tip de fructe. Că un anumit fruct este un măr este atât o condiție necesară, cât și o condiție suficientă pentru ca Madison să mănânce fructele.
Suficiența este inversul necesității. Adică, dat P → Q (adică dacă P atunci Q ), P ar fi o condiție suficientă pentru Q , iar Q ar fi o condiție necesară pentru P . De asemenea, dat P → Q , este adevărat că ¬Q → ¬P (unde ¬ este operatorul de negație, adică „nu”). Aceasta înseamnă că relația dintre P și Q , stabilită prin P → Q , poate fi exprimată în următoarele moduri, toate echivalente:
- P este suficient pentru Q
- Q este necesar pentru P
- ¬Q este suficient pentru ¬P
- ¬P este necesar pentru ¬Q
Ca exemplu, luați primul exemplu de mai sus, care afirmă P → Q , unde P este „fructul în cauză este un măr” și Q este „Madison va mânca fructul în cauză”. Următoarele sunt patru moduri echivalente de a exprima această relație:
- Dacă fructul în cauză este un măr, atunci Madison îl va mânca.
- Numai dacă Madison va mânca fructul în cauză, este un măr.
- Dacă Madison nu va mânca fructul în cauză, atunci nu este un măr.
- Numai dacă fructul în cauză nu este un măr, Madison nu îl va mânca.
Aici, cel de-al doilea exemplu poate fi reformulat sub forma dacă... atunci ca „Dacă Madison va mânca fructul în cauză, atunci este un măr”; luând acest lucru împreună cu primul exemplu, aflăm că al treilea exemplu poate fi afirmat astfel: „Dacă fructul în cauză este un măr, atunci Madison îl va mânca; iar dacă Madison va mânca fructul, atunci este un măr”.
În ceea ce privește diagramele Euler
A este un subset adecvat de B . Un număr este în A numai dacă este în B ; un număr este în B , în cazul în care se află în A .
C este un subset , dar nu un subset adecvat de B . Un număr este în B dacă și numai dacă este în C , și un număr este în C , dacă și numai dacă este în B .
Diagramele Euler arată relații logice între evenimente, proprietăți și așa mai departe. „P numai dacă Q”, „dacă P atunci Q” și „P→Q” înseamnă toate că P este o submulțime , fie proprie, fie improprie, a lui Q. „P dacă Q”, „dacă Q atunci P” și Q→P înseamnă toate că Q este o submulțime proprie sau improprie a lui P. „P dacă și numai dacă Q” și „Q dacă și numai dacă P” înseamnă ambele că mulțimile P și Q sunt identice între ele.
Utilizare mai generală
If este folosit și în afara domeniului logicii. Oriunde se aplică logica, în special în discuțiile matematice , ea are același sens ca mai sus: este o abreviere pentru dacă și numai dacă , indicând faptul că o afirmație este atât necesară, cât și suficientă pentru cealaltă. Acesta este un exemplu de jargon matematic (deși, după cum sa menționat mai sus, if este folosit mai des decât iff în declarațiile de definiție).
Elementele lui X sunt toate și numai elementele lui Y înseamnă: „Pentru orice z din domeniul discursului , z este în X dacă și numai dacă z este în Y ”.