Plan înclinat - Inclined plane

Rampa pentru scaune cu rotile , Hotel Montescot, Chartres, Franța

Plan înclinat demonstrativ utilizat în educație, Museo Galileo , Florența.

Un plan înclinat , cunoscut și sub numele de rampă , este o suprafață plană de susținere înclinată sub un unghi, cu un capăt mai înalt decât celălalt, folosit ca ajutor pentru ridicarea sau coborârea unei sarcini. Planul înclinat este una dintre cele șase mașini simple clasice definite de oamenii de știință renascentiste. Planurile înclinate sunt utilizate pe scară largă pentru a deplasa sarcini grele peste obstacole verticale; exemplele variază de la o rampă utilizată pentru încărcarea mărfurilor într-un camion, la o persoană care urcă pe o rampă pietonală, la o mașină sau un tren feroviar care urcă o treaptă.

Deplasarea unui obiect pe un plan înclinat necesită mai puțină forță decât ridicarea acestuia în sus, cu o creștere a distanței deplasate. Avantajul mecanic al unui plan înclinat, factorul prin care se reduce forța, este egală cu raportul dintre lungimea suprafeței înclinate a înălțimii se întinde. Datorită conservării energiei , este necesară aceeași cantitate de energie mecanică ( lucru ) pentru a ridica un anumit obiect cu o distanță verticală dată, ignorând pierderile din frecare , dar planul înclinat permite efectuarea aceleiași lucrări cu o forță mai mică exercitată peste o distanță mai mare.

Unghiul de frecare , de asemenea , numit uneori unghiul de repaus , este unghiul maxim la care o sarcină se poate odihni nemișcat pe un plan înclinat din cauza frecării , fără să alunece în jos. Acest unghi este egal cu arctangenta a coeficientului de frecare static μ _s între suprafețele.

Alte două mașini simple sunt adesea considerate a fi derivate din planul înclinat. Pană poate fi considerat un plan înclinat în mișcare sau două planuri înclinate conectate la baza. Șurubul constă dintr - un plan înclinat îngust înfășurat în jurul unui cilindru .

Termenul se poate referi și la o implementare specifică; o rampă dreaptă tăiată pe un deal abrupt pentru transportul mărfurilor în sus și în jos pe deal. Poate include mașini pe șine sau trase de un sistem de cablu; un funicular sau o cale ferată prin cablu , cum ar fi Johnstown Inclined Plane .

Utilizări

Avioanele înclinate sunt utilizate pe scară largă sub formă de rampe de încărcare pentru încărcarea și descărcarea mărfurilor pe camioane, nave și avioane. Rampele pentru scaune cu rotile sunt folosite pentru a permite persoanelor din scaune cu rotile să treacă peste obstacolele verticale fără a le depăși forța. Scările rulante și benzile transportoare înclinate sunt, de asemenea, forme de plan înclinat. Într-o funiculară sau o cale ferată prin cablu, o vagoană este trasă pe un plan înclinat abrupt folosind cabluri. Planurile înclinate permit, de asemenea, ca obiectele grele fragile, inclusiv oamenii, să fie coborâți în siguranță pe o distanță verticală prin utilizarea forței normale a avionului pentru a reduce forța gravitațională . Diapozitivele de evacuare a aeronavelor permit oamenilor să ajungă rapid și în siguranță la sol de la înălțimea unui avion de pasageri .

Folosirea rampelor pentru încărcarea unei mașini pe un camion

Încărcarea unui camion pe o navă folosind o rampă

Alunecare de evacuare de urgență a aeronavelor

Rampa scaunului cu rotile pe autobuzul japonez

Rampa de încărcare pe un camion

Alte planuri înclinate sunt încorporate în structuri permanente. Drumurile pentru vehicule și căi ferate au planuri înclinate sub formă de pante, rampe și drumuri treptate pentru a permite vehiculelor să depășească obstacolele verticale, cum ar fi dealurile, fără a pierde tracțiunea pe suprafața drumului. În mod similar, căile pietonale și trotuarele au rampe ușoare pentru a-și limita panta, pentru a se asigura că pietonii pot păstra tracțiunea. Avioanele înclinate sunt, de asemenea, utilizate ca divertisment pentru ca oamenii să alunece în jos într-un mod controlat, în tobogane de joacă , tobogane de apă , pârtii de schi și parcuri de skateboard .

Rampa de pământ (dreapta) construită de romani în 72 d.Hr. pentru a invada Masada , Israel

Rampa pietonală, Palacio do Planalto, Brasilia

Johnstown Inclined Plane, o cale ferată funiculară .

Burma Road, Assam, India, prin Birmania către China, c.  1945

Avioane înclinate într-un parc de skateboard

Istorie

Dovada lui Stevin

În 1586, inginerul flamand Simon Stevin (Stevinus) a obținut avantajul mecanic al planului înclinat printr-un argument care a folosit un șir de margele. El și-a imaginat două planuri înclinate de înălțime egală, dar pante diferite, așezate spate-în-spate (deasupra) ca într-o prismă. O buclă de șir cu margele la intervale egale este drapată peste planurile înclinate, cu o parte atârnând jos. Perlele sprijinite pe planurile acționează ca sarcini pe avioane, a avut loc prin forța de tensiune în șir la punctul T . Argumentul lui Stevin merge așa: Șirul trebuie să fie staționar, în echilibru static . Dacă era mai greu pe o parte decât pe cealaltă și începea să alunece la dreapta sau la stânga sub propria greutate, atunci când fiecare mărgele s-ar fi deplasat în poziția mărgelei anterioare, șirul ar fi indistinct de poziția sa inițială și, prin urmare, ar continua să fie dezechilibrat și alunecare. Acest argument ar putea fi repetat la nesfârșit, rezultând o mișcare circulară perpetuă , care este absurdă. Prin urmare, este staționar, cu forțele de pe cele două laturi în punctul T (de mai sus ) egale. Porțiunea lanțului care atârnă sub planurile înclinate este simetrică, cu un număr egal de margele pe fiecare parte. Exercită o forță egală pe fiecare parte a șirului. Prin urmare, această porțiune a șirului poate fi tăiată la marginile planurilor (punctele S și V) , lăsând numai margelele sprijinite pe planurile înclinate, iar această porțiune rămasă va fi în continuare în echilibru static. Deoarece bilele sunt la intervale egale pe șir, numărul total de margele susținute de fiecare plan, sarcina totală, este proporțional cu lungimea planului. Deoarece forța de susținere a intrării, tensiunea în șir, este aceeași pentru ambele, avantajul mecanic al fiecărui plan este proporțional cu lungimea sa înclinată După cum a subliniat Dijksterhuis, argumentul lui Stevin nu este complet strâns. Forțele exercitate de partea suspendată a lanțului nu trebuie să fie simetrice, deoarece partea suspendată nu trebuie să-și păstreze forma atunci când este eliberată. Chiar dacă lanțul este eliberat cu un impuls unghiular zero, mișcarea, inclusiv oscilațiile, este posibilă, cu excepția cazului în care lanțul este inițial în configurația sa de echilibru, o presupunere care ar face argumentul circular.

Avioanele înclinate au fost folosite de oameni încă din preistorie pentru a muta obiecte grele. Drumurile si inclinati diguri construite de civilizatii antice , cum ar fi romanii sunt exemple de planuri înclinate timpuriu care au supraviețuit, și arată că au înțeles valoarea acestui dispozitiv pentru deplasarea lucruri în sus. Se crede că pietrele grele folosite în structurile antice de piatră, cum ar fi Stonehenge, au fost mutate și așezate la locul lor folosind planuri înclinate din pământ, deși este greu de găsit dovezi ale unor astfel de rampe de construcție temporare. Cele piramidele egiptene au fost construite folosind plane înclinate, Siege rampe permis armate antice să treacă peste ziduri de cetate. Vechii greci au construit o rampă pavată lungă de 6 km (3,7 mile), Diolkos , pentru a trage navele pe uscat peste Istmul Corintului .

Cu toate acestea, planul înclinat a fost ultimul dintre cele șase mașini simple clasice care a fost recunoscut ca o mașină. Acest lucru se datorează probabil faptului că este un dispozitiv pasiv, nemișcat (sarcina este partea mobilă) și, de asemenea, pentru că se găsește în natură sub formă de pante și dealuri. Deși au înțeles utilizarea acesteia la ridicarea obiectelor grele, filosofii greci antici care au definit celelalte cinci mașini simple nu au inclus planul înclinat ca o mașină. Această viziune a persistat în rândul câtorva oameni de știință de mai târziu; încă din 1826, Karl von Langsdorf scria că un plan înclinat " ... nu este mai mult o mașină decât panta unui munte. Problema calculării forței necesare pentru a împinge o greutate pe un plan înclinat (avantajul său mecanic) a fost încercat de filosofii greci Heron din Alexandria (c. 10 - 60 e.n.) și Pappus din Alexandria (c. 290 - 350 e.n.), dar au greșit.

Abia în Renaștere , planul înclinat a fost rezolvat matematic și clasificat cu celelalte mașini simple. Prima analiză corectă a planului înclinat a apărut în opera enigmaticului autor al secolului al XIII-lea Jordanus de Nemore , totuși soluția sa nu a fost comunicată altor filosofi ai vremii. Girolamo Cardano (1570) a propus soluția incorectă conform căreia forța de intrare este proporțională cu unghiul planului. Apoi, la sfârșitul secolului al XVI-lea, au fost publicate trei soluții corecte în decurs de zece ani, de către Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) și Galileo Galilee (1592). Deși nu a fost prima, derivarea inginerului flamand Simon Stevin este cea mai cunoscută, datorită originalității și utilizării unui șir de mărgele (vezi caseta). În 1600, omul de știință italian Galileo Galilei a inclus planul înclinat în analiza mașinilor simple din Le Meccaniche („Despre mecanică”), arătând asemănarea sa subiacentă cu celelalte mașini ca amplificator de forță.

Primele reguli elementare ale fricțiunii glisante pe un plan înclinat au fost descoperite de Leonardo da Vinci (1452-1519), dar au rămas nepublicate în caietele sale. Au fost redescoperite de Guillaume Amontons (1699) și au fost dezvoltate în continuare de Charles-Augustin de Coulomb (1785). Leonhard Euler (1750) a arătat că tangenta a unghiului de repaus pe un plan înclinat este egal cu coeficientul de frecare .

Terminologie

Pantă

Avantajul mecanic al unui plan înclinat depinde de ei panta , adica sa gradientului sau prăvăliș. Cu cât panta este mai mică, cu atât este mai mare avantajul mecanic și cu atât este mai mică forța necesară pentru a ridica o greutate dată. Panta unui plan s este egală cu diferența de înălțime dintre cele două capete ale sale, sau „ înălțare ”, împărțită la lungimea orizontală sau „ alergare ”. Poate fi exprimat și prin unghiul pe care îl face planul cu orizontală, θ .

Geometria planului înclinat se bazează pe un triunghi dreptunghiular . Lungimea orizontală este uneori numită Run , schimbarea verticală a înălțimii Crește .

${\ displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} {\ bigg (} {\ frac {\ text {Rise}} {\ text {Run}}} {\ bigg)} \,}$

Avantaj mecanic

Mecanică avantaj MA unui mecanism simplu este definit ca raportul dintre forța de ieșire exercitată asupra sarcinii la forța de intrare aplicată. Pentru planul înclinat, forța de sarcină de ieșire este doar forța gravitațională a obiectului de sarcină pe plan, greutatea sa F _w . Forța de intrare este forța F _i exercitată asupra obiectului, paralel cu planul, pentru a-l deplasa în sus în plan. Avantajul mecanic este ...

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}}. \,$

MA al unui plan înclinat ideal fără frecare este uneori numit avantaj mecanic ideal (IMA), în timp ce MA atunci când este inclusă fricțiunea se numește avantaj mecanic real (AMA).

Plan înclinat fără frecare

Plan înclinat instrumentat folosit pentru educația fizică, în jurul anului 1900. Greutatea din stânga asigură forța de încărcare F _w . Greutatea din dreapta asigură forța de intrare F _i trăgând rola în plan.

Dacă nu există frecare între obiectul în mișcare și plan, dispozitivul este numit plan înclinat ideal . Această condiție ar putea fi abordată dacă obiectul rulează, ca un butoi , sau este sprijinit pe roți sau role . Datorită conservării energiei , pentru un plan înclinat fără frecare, lucrările efectuate la încărcarea ridicând-o, W _afară , sunt egale cu lucrările efectuate de forța de intrare, W _în

${\ displaystyle W _ {\ rm {out}} = W _ {\ rm {în}} \,}$

Munca este definită ca forța înmulțită cu deplasarea pe care o mișcă un obiect. Munca efectuată la sarcină este egală cu greutatea sa înmulțită cu deplasarea verticală pe care o ridică, care este „creșterea” planului înclinat

${\ displaystyle W _ {\ rm {out}} = F_ {w} \ cdot {\ text {Rise}} \,}$

Lucrarea de intrare este egală cu forța F _i pe obiect de ori lungimea diagonală a planului înclinat.

${\ displaystyle W _ {\ rm {in}} = F_ {i} \ cdot {\ text {Length}} \,}$

Înlocuirea acestor valori în conservarea ecuației energetice de mai sus și rearanjarea

${\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ text {Length}} {\ text {Rise}}} \,}$

Pentru a exprima avantajul mecanic prin unghiul θ al planului, se poate vedea din diagrama (de mai sus) că

${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {Rise}} {\ text {Length}}} \,}$

Asa de

${\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} \,}$

MA pentru un plan înclinat fără frecare poate fi rezolvat ca

${\ displaystyle {\ text {MA}} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = \ csc \ theta \,}$

Asta pentru ca

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin x}} = \ csc x,}$

Deci, avantajul mecanic al unui plan înclinat fără frecare este egal cu reciprocul sinusului unghiului pantei. Forța de intrare F _i din această ecuație este forța necesară pentru a menține sarcina nemișcată pe planul înclinat sau pentru a o împinge în sus cu o viteză constantă. Dacă forța de intrare este mai mare decât aceasta, sarcina va accelera în sus planul; dacă forța este mai mică, va accelera în josul planului.

Plan înclinat cu frecare

În cazul în care există frecare între avion și sarcină, cum ar fi, de exemplu, cu o cutie grea alunecată pe o rampă, o parte din lucrarea aplicată de forța de intrare este disipată ca căldură prin frecare, W _fric , deci se lucrează mai puțin la sarcină. Datorită conservării energiei , suma muncii de ieșire și a pierderilor de energie prin frecare este egală cu munca de intrare

${\ displaystyle W _ {\ text {in}} = W _ {\ text {fric}} + W _ {\ text {out}} \,}$

Prin urmare, este necesară o forță de intrare mai mare, iar avantajul mecanic este mai mic decât în ​​cazul în care nu ar exista frecare. Cu frecare, sarcina se va deplasa numai dacă forța netă paralelă cu suprafața este mai mare decât forța de frecare F _{f care} se opune acesteia. Forța maximă de frecare este dată de

${\ displaystyle F_ {f} = \ mu F_ {n} \,}$

unde F _n este forța normală dintre sarcină și plan, direcționată normal către suprafață, iar μ este coeficientul de frecare statică între cele două suprafețe, care variază în funcție de material. Când nu se aplică nicio forță de intrare, dacă unghiul de înclinare θ al planului este mai mic decât o valoare maximă φ , componenta forței gravitaționale paralele cu planul va fi prea mică pentru a depăși fricțiunea, iar sarcina va rămâne nemișcată. Acest unghi se numește unghiul de odihnă și depinde de compoziția suprafețelor, dar este independent de greutatea sarcinii. Se arată mai jos că tangenta unghiului de repaus φ este egală cu μ

${\ displaystyle \ phi = \ tan ^ {- 1} \ mu \,}$

Cu fricțiune, există întotdeauna o anumită gamă a forței de intrare F _i pentru care sarcina este staționară, nici nu alunecă în sus sau în jos în plan, în timp ce cu un plan înclinat fără frecare există o singură valoare specială a forței de intrare pentru care sarcina este staționară.

Analiză

Cheie: F _n = N = Forța normală perpendiculară pe plan, F _i = f = forța de intrare, F _w = mg = greutatea sarcinii, unde m = masa , g = gravitația

O sarcină sprijinită pe un plan înclinat, atunci când este considerată un corp liber, are trei forțe care acționează asupra sa:

• Forța aplicată, F _{i a} exercitat asupra sarcinii pentru ao deplasa, care acționează paralel cu planul înclinat.
• Greutatea sarcinii, F _w , care acționează vertical în jos
• Forța avionului asupra sarcinii. Acest lucru poate fi rezolvat în două componente:
  • Forța normală F _n a planului înclinat pe sarcină, susținând-o. Aceasta este direcționată perpendicular ( normal ) pe suprafață.
  • Forța de frecare, F _f a planului pe sarcină acționează paralel cu suprafața și este întotdeauna într-o direcție opusă mișcării obiectului. Este egală cu forța normală înmulțită cu coeficientul de frecare statică μ între cele două suprafețe.

Folosind a doua lege a mișcării lui Newton , sarcina va fi staționară sau în mișcare constantă dacă suma forțelor de pe ea este zero. Deoarece direcția forței de frecare este opusă pentru cazul mișcării în sus și în jos, aceste două cazuri trebuie luate în considerare separat:

• Mișcare în sus: Forța totală pe sarcină este spre partea de sus, astfel încât forța de frecare este direcționată în jos în plan, opunându-se forței de intrare.

Avantajul mecanic este

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin (\ theta + \ phi)}} \,}$

unde . Aceasta este condiția pentru mișcarea iminentă în planul înclinat. Dacă forța aplicată F _i este mai mare decât cea dată de această ecuație, sarcina se va deplasa în sus în plan.${\ displaystyle \ phi = \ tan ^ {- 1} \ mu \,}$

• Mișcare în jos: Forța totală pe sarcină este spre partea de coborâre, astfel încât forța de frecare este îndreptată în sus în plan.

Avantajul mecanic este

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {F_ {w}} {F_ {i}}} = {\ frac {\ cos \ phi} {\ sin (\ theta - \ phi)}} \,}$

Aceasta este condiția pentru mișcarea iminentă în jos în plan; dacă forța aplicată F _i este mai mică decât cea dată în această ecuație, sarcina va aluneca în jos pe plan. Există trei cazuri:

1. ${\ displaystyle \ theta <\ phi \,}$: Avantajul mecanic este negativ. În absența forței aplicate, sarcina va rămâne nemișcată și necesită o forță aplicată negativă (în jos) pentru a aluneca în jos.
2. ${\ displaystyle \ theta = \ phi \,}$: „ Unghiul de odihnă ”. Avantajul mecanic este infinit. Fără forță aplicată, sarcina nu va aluneca, dar cea mai mică forță negativă (în jos) o va face să alunece.
3. ${\ displaystyle \ theta> \ phi \,}$: Avantajul mecanic este pozitiv. În absența forței aplicate, sarcina va aluneca în jos în plan și necesită o forță pozitivă (în sus) pentru ao menține nemișcată

Avantaj mecanic folosind puterea

Cheie: N = forță normală perpendiculară pe plan, W = mg, unde m = masă , g = gravitație și θ ( theta ) = unghiul de înclinare al planului

Avantajul mecanic al unui plan înclinat este raportul dintre greutatea sarcinii pe rampa către forța necesară pentru a trage în sus pe rampă. Dacă energia nu este disipată sau stocată în mișcarea sarcinii, atunci acest avantaj mecanic poate fi calculat din dimensiunile rampei.

Pentru a arăta acest lucru, lăsați poziția r a unei vagoane de-a lungul rampei cu un unghi, θ , deasupra orizontale să fie dată de

${\ displaystyle \ mathbf {r} = R (\ cos \ theta, \ sin \ theta),}$

unde R este distanța de-a lungul rampei. Viteza mașinii pe rampă este acum

${\ displaystyle \ mathbf {v} = V (\ cos \ theta, \ sin \ theta).}$

Deoarece nu există pierderi, puterea utilizată de forța F pentru a muta sarcina în sus pe rampă este egală cu puterea de ieșire, care este ridicarea verticală a greutății W a sarcinii.

Puterea de intrare care trage mașina pe rampă este dată de

${\ displaystyle P _ {\ mathrm {in}} = FV, \!}$

iar puterea este

${\ displaystyle P _ {\ mathrm {out}} = \ mathbf {W} \ cdot \ mathbf {v} = (0, W) \ cdot V (\ cos \ theta, \ sin \ theta) = WV \ sin \ theta .}$

Echivalează puterea de intrare cu puterea de ieșire pentru a obține avantajul mecanic ca

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {W} {F}} = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}.}$

Avantajul mecanic al unei înclinări poate fi calculat și din raportul dintre lungimea rampei L și înălțimea sa H, deoarece sinusul unghiului rampei este dat de

${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {H} {L}},}$

prin urmare,

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {W} {F}} = {\ frac {L} {H}}.}$

Structura sistemului de acționare prin cablu pentru planul înclinat Liverpool Minard.

Exemplu: Dacă înălțimea unei rampe este H = 1 metru și lungimea acesteia este L = 5 metri, atunci avantajul mecanic este

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {W} {F}} = 5,}$

ceea ce înseamnă că o forță de 20 lb va ridica o sarcină de 100 lb.

Planul înclinat Liverpool Minard are dimensiunile 1804 metri pe 37,50 metri, ceea ce oferă un avantaj mecanic

${\ displaystyle \ mathrm {MA} = {\ frac {W} {F}} = 1804 / 37,50 = 48,1,}$

deci o forță de tensiune de 100 lb pe cablu va ridica o sarcină de 4810 lb. Gradul acestei înclinații este de 2%, ceea ce înseamnă că unghiul θ este suficient de mic încât sin θ = tan θ.

Vezi si

Referințe

linkuri externe

• O simulare interactivă a planului înclinat al fizicii