Câmp conservator vector - Conservative vector field

În calculul vectorial , un câmp vector conservator este un câmp vector care este gradientul unei funcții . Câmpurile vectoriale conservatoare au proprietatea că integrala de linie este independentă de cale; alegerea oricărei căi între două puncte nu modifică valoarea integralei de linie . Independența căii integralei de linie este echivalentă cu faptul că câmpul vectorial este conservator. Un câmp vector conservator este, de asemenea, irotațional ; în trei dimensiuni, aceasta înseamnă că are o buclă care dispare . Un câmp vector irotațional este neapărat conservator, cu condiția ca domeniul să fie pur și simplu conectat .

Câmpurile vectoriale conservatoare apar în mod natural în mecanică : sunt câmpuri vectoriale care reprezintă forțe ale sistemelor fizice în care energia este conservată . Pentru un sistem conservator, munca efectuată în deplasarea de-a lungul unei căi în spațiul de configurare depinde doar de punctele finale ale căii, astfel încât este posibil să se definească o energie potențială care este independentă de calea reală luată.

Tratament informal

Într-un spațiu bidimensional și tridimensional, există o ambiguitate în luarea unei integrale între două puncte, deoarece există infinit de multe căi între cele două puncte - în afară de linia dreaptă formată între cele două puncte, s-ar putea alege o cale curbată de lungime mai mare așa cum se arată în figură. Prin urmare, în general, valoarea integralei depinde de calea luată. Cu toate acestea, în cazul special al unui câmp vectorial conservator, valoarea integralei este independentă de calea luată, care poate fi considerată ca o anulare pe scară largă a tuturor elementelor care nu au o componentă de-a lungul liniei drepte dintre cele două puncte. Pentru a vizualiza acest lucru, imaginați-vă doi oameni urcând o stâncă; unul decide să escaladeze stânca mergând vertical în sus și cel de-al doilea decide să meargă de-a lungul unei cărări sinuoase care are o lungime mai lungă decât înălțimea stâncii, dar doar la un unghi mic față de orizontală. Deși cei doi excursioniști au luat trasee diferite pentru a ajunge până în vârful stâncii, în partea de sus, ambii vor fi câștigat aceeași cantitate de energie potențială gravitațională. Acest lucru se datorează faptului că un câmp gravitațional este conservator. Ca exemplu de câmp neconservator, imaginați-vă împingând o cutie de la un capăt la altul al unei camere. Împingerea cutiei în linie dreaptă peste cameră necesită o lucrare vizibil mai mică împotriva fricțiunii decât de-a lungul unei căi curbate care acoperă o distanță mai mare. ${\ displaystyle d {R}}$

Prezentarea a două căi posibile de integrat. În verde este calea cea mai simplă posibilă; albastrul prezintă o curbă mai complicată

Explicație intuitivă

Imprimarea litografică a lui MC Escher Ascendent și Descrescător ilustrează un câmp vector neconservator, imposibil de făcut să pară gradientul înălțimii variabile deasupra solului pe măsură ce se mișcă de-a lungul scării. Este rotațional prin faptul că se poate continua să crească sau să scadă în timp ce mergeți în cercuri. Este neconservator prin faptul că se poate întoarce la punctul de plecare în timp ce se urcă mai mult decât se coboară sau invers. Pe o scară reală, înălțimea de deasupra solului este un câmp potențial scalar: dacă cineva se întoarce în același loc, se urcă exact la fel de mult ca și se coboară. Gradientul său ar fi un câmp vector conservator și este irotațional. Situația descrisă în tablou este imposibilă.

Definiție

Un câmp vectorial , unde este un subset deschis , este declarat a fi conservatoare , dacă și numai dacă există un câmp scalar pe astfel încât ${\ displaystyle \ mathbf {v}: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ varphi.}$

Aici, denotă gradientul de . Când ecuația de mai sus se menține, se numește potențial scalar pentru . ${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Teorema fundamentală a calculului vectorial afirmă că orice câmp vectorial poate fi exprimat ca suma unui câmp vectorial conservator și un câmp solenoidali .

Independența căii

O proprietate cheie a unui câmp vector conservator este că integrala sa de-a lungul unei căi depinde doar de punctele finale ale acelei căi, nu de ruta particulară luată. Să presupunem că este o cale rectificabilă cu punct inițial și punct terminal . Dacă pentru un câmp scalar, astfel încât acesta este un câmp vector conservator, atunci teorema de gradient afirmă că ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ varphi}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ int _ {P} \ mathbf {v} \ cdot d {\ mathbf {r}} = \ varphi (B) - \ varphi (A).}$

Acest lucru este valabil ca o consecință a regulii lanțului și a teoremei fundamentale a calculului .

O formulare echivalentă a acestui lucru este că

${\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {v} \ cdot d {\ mathbf {r}} = 0}$

pentru fiecare cale închisă simplă rectificabilă din . Reciproca acestei declarații este de asemenea adevărat: În cazul în care circulația a în jurul valorii de fiecare traseu închis simplu în care se poate rectifica este , atunci este un câmp vectorial conservator. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Câmpuri vectoriale irotaționale

Câmpul vectorial de mai sus definit pe zero are o buclă aproape peste tot și este astfel irotațional. Cu toate acestea, nu este nici conservator și nici nu are independență.${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (- {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ { 2}}}, 0 \ dreapta)}$${\ displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {(0,0, z) \ mid z \ in \ mathbb {R} \}}$

Să fie și să fie un câmp vector, cu deschis ca întotdeauna. Atunci se numește irotațional dacă și numai dacă bucla sa este peste tot în interior , adică dacă ${\ displaystyle n = 3}$${\ displaystyle \ mathbf {v}: U \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} \ equiv \ mathbf {0}.}$

Din acest motiv, astfel de câmpuri vectoriale sunt uneori denumite câmpuri vectoriale fără bucle sau câmpuri vectoriale fără bucle . Sunt denumiți și câmpuri vectoriale longitudinale .

Este o identitate a calculului vector pe care o avem pentru orice câmp scalar de pe${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ varphi) \ equiv \ mathbf {0}.}$

Prin urmare, fiecare câmp vector conservator de pe este, de asemenea, un câmp vector irotațional pe . ${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Cu condiția să fie pur și simplu conectat , inversul acestui lucru este, de asemenea, adevărat: fiecare câmp vector irotațional de pe este un câmp vector conservator pe . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle U}$

Afirmația de mai sus nu este adevărată în general dacă nu este pur și simplu conectată. Să fie cu -axa eliminată, adică . Acum, definiți un câmp vector pe by ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {(0,0, z) \ mid z \ in \ mathbb {R} \}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} (x, y, z) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ left (- {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, 0 \ dreapta).}$

Apoi are o buclă zero peste tot , adică este irotațional. Cu toate acestea, circulația în jurul cercului unității în -plan este . Într - adevăr, nota că , în coordonate polare , , astfel încât integrala pe cercul unitate este ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {e} _ {\ phi} / r}$

${\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {\ phi} ~ d {\ phi} = 2 \ pi.}$

Prin urmare, nu are proprietatea de independență a căii discutată mai sus și nu este conservatoare. ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Într-o regiune deschisă pur și simplu conectată, un câmp vector irotațional are proprietatea de independență a căii. Acest lucru poate fi observat observând că într-o astfel de regiune, un câmp vector irotațional este conservator, iar câmpurile vectoriale conservatoare au proprietatea independenței căii. Rezultatul poate fi dovedit și direct folosind teorema lui Stokes . Într-o regiune deschisă pur și simplu conectată, orice câmp vector care are proprietatea de independență a căii trebuie să fie, de asemenea, irotațional.

Mai abstract, în prezența unei metrice riemanniene , câmpurile vectoriale corespund formelor diferențiale${\ displaystyle 1}$ . Câmpurile vectoriale conservatoare corespund exact -forms , adică, la formele care sunt derivatul exterior al unei funcții (câmp scalar) pe . Câmpurile vectoriale irotaționale corespund formelor închise , adică formelor -în așa fel încât . Deoarece , orice formă exactă este închisă, deci orice câmp vector conservator este irotațional. În schimb, toate formele închise sunt exacte dacă este pur și simplu conectat . ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle d \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle d \ omega = 0}$${\ displaystyle d ^ {2} = 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle U}$

Vorticitate

Vorticitate unui câmp vectorial poate fi definit prin: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ nabla \ times \ mathbf {v}.}$

Vorticitatea unui câmp irotațional este zero peste tot. Teorema de circulație a lui Kelvin afirmă că un fluid care este irotațional într-un flux inviscid va rămâne irotațional. Acest rezultat poate fi derivat din ecuația transportului vorticității , obținută prin luarea buclei ecuațiilor Navier-Stokes.

Pentru un câmp bidimensional, vorticitatea acționează ca o măsură a rotației locale a elementelor fluide. Rețineți că vorticitatea nu implică nimic despre comportamentul global al unui fluid. Este posibil ca un fluid care călătorește în linie dreaptă să aibă vorticitate și este posibil ca un fluid care se mișcă într-un cerc să fie irotațional.

Forțele conservatoare

Exemple de câmpuri potențiale și de gradient în fizică:

Dacă câmpul vectorial asociat unei forțe este conservator, atunci se spune că forța este o forță conservatoare . ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

Cele mai proeminente exemple de forțe conservatoare sunt forța gravitațională și forța electrică asociată unui câmp electrostatic. Conform legii gravitației lui Newton , forța gravitațională care acționează asupra unei mase datorată unei mase , care este o distanță între ele, respectă ecuația ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {G}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {G} = - {\ frac {GmM} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}},}$

unde este constanta gravitațională și este un vector unitate îndreptat de la spre . Forța gravitațională este conservatoare deoarece , unde ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {G} = - \ nabla \ Phi _ {G}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {G} ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} - {\ frac {GmM} {r}}}$

este energia potențială gravitațională . Se poate arăta că orice câmp vector al formei este conservator, cu condiția să fie integrabil. ${\ displaystyle \ mathbf {F} = F (r) {\ hat {\ mathbf {r}}}}$${\ displaystyle F (r)}$

Pentru forțele conservatoare , independența căii poate fi interpretată în sensul că munca efectuată mergând dintr-un punct în punct este independentă de calea aleasă și că munca efectuată în jurul unei bucle închise simple este : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle W = \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d {\ mathbf {r}} = 0.}$

Totală de energie a unei particule se deplasează sub influența forțelor conservatoare este conservată, în sensul că o pierdere de energie potențială este transformată într - o cantitate egală de energie cinetică, sau invers.

Vezi si

• Câmp vectorial Beltrami
• Forța conservatoare
• Sistem conservator
• Câmp vectorial lamelar complex
• Descompunerea Helmholtz
• Câmp vector laplacian
• Câmpuri vectoriale longitudinale și transversale
• Câmp vectorial solenoidal

Referințe

Lecturi suplimentare

• Acheson, DJ (1990). Dinamica fluidelor elementare . Presa Universitatii Oxford. ISBN 0198596790.