Liber Abaci - Liber Abaci

O pagină a Liber Abaci din Biblioteca Nazionale di Firenze . Lista din dreapta arată numerele 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ( secvența Fibonacci ). Cele 2, 8 și 9 seamănă mai mult cu cifrele arabe decât cu cifrele arabe orientale sau cu cifrele indiene

Liber Abaci (scris și sub denumirea de Liber Abbaci ; „Cartea Calculului”) este un manuscris istoric latin din 1202 despre aritmetică de Leonardo de Pisa, cunoscut postum sub numele de Fibonacci .

Liber Abaci a fost printre primele cărți occidentale care au descris sistemul de numere hinduse-arabe și au folosit simboluri asemănătoare „ cifrelor arabe ” moderne . Abordând aplicațiile atât ale comercianților comerciali, cât și ale matematicienilor, a promovat superioritatea sistemului și utilizarea acestor glifuri.

Deși titlul cărții a fost tradus și ca „Cartea Abacului”, Sigler (2002) scrie că aceasta este o eroare: intenția cărții este de a descrie metodele de a face calcule fără ajutorul unui abac și ca Minereu ( 1948) confirmă, timp de secole după publicarea sa, algoritmiștii (adepți ai stilului de calcul demonstrat în Liber Abaci ) au rămas în conflict cu abacii (tradiționaliștii care au continuat să folosească abacul împreună cu cifrele romane). Istoricul matematicii Carl Boyer a afirmat în Istoria sa a matematicii : „Cartea în care Fibonacci a descris noul algoritm este un clasic celebru, finalizată în 1202, dar poartă un titlu înșelător - Liber abaci (sau cartea abacului). nu este pe abac; este un tratat foarte amănunțit asupra metodelor și problemelor algebrice în care se recomandă cu tărie utilizarea cifrelor hindu-arabe. "

Rezumatul secțiunilor

Prima secțiune introduce sistemul de numere hinduse-arabe, incluzând metode de conversie între diferite sisteme de reprezentare. Această secțiune include , de asemenea , descrierea prima cunoscut de diviziune studiu pentru a testa dacă un număr este compozit și, în caz afirmativ, factoring - l.

A doua secțiune prezintă exemple din comerț, cum ar fi conversiile valutare și măsurători, precum și calculele profitului și dobânzii .

A treia secțiune discută o serie de probleme matematice; de exemplu, include (cap. II.12) teorema restului chinezesc , numerele perfecte și primele Mersenne , precum și formulele pentru seriile aritmetice și pentru numerele piramidale pătrate . Un alt exemplu din acest capitol, care descrie creșterea unei populații de iepuri, a fost originea secvenței Fibonacci pentru care autorul este cel mai faimos astăzi.

A patra secțiune derivă aproximări, atât numerice, cât și geometrice, ale numerelor iraționale, cum ar fi rădăcinile pătrate.

Cartea include și dovezi în geometria euclidiană . Metoda lui Fibonacci de rezolvare a ecuațiilor algebrice arată influența matematicianului egiptean de la începutul secolului X Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam .

Notația lui Fibonacci pentru fracțiuni

Citind Liber Abaci , este util să înțelegem notația lui Fibonacci pentru numerele raționale, o notație care este intermediară ca formă între fracțiunile egiptene utilizate în mod obișnuit până în acel moment și fracțiunile vulgare încă utilizate în prezent. Există trei diferențe cheie între notația lui Fibonacci și notația fracției moderne.

1. În general, scriem o fracție în dreapta întregului număr la care se adaugă, de exemplu pentru 7/3. În schimb, Fibonacci ar scrie aceeași fracție în stânga, adică . ${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$
2. Fibonacci a folosit o notație de fracție compusă în care o succesiune de numeratori și numitori au împărțit aceeași bară de fracție; fiecare astfel de termen a reprezentat o fracție suplimentară a numărătorului dat împărțită la produsul tuturor numitorilor de mai jos și la dreapta acestuia. Adică , și . Notația a fost citită de la dreapta la stânga. De exemplu, 29/30 ar putea fi scris ca reprezentând valoarea . Acest lucru poate fi privit ca o formă de notație mixtă și a fost foarte convenabil pentru a face față sistemelor tradiționale de greutăți, măsuri și monedă. De exemplu, pentru unitățile de lungime, un picior este 1/3 dintr-o curte , iar un centimetru este 1/12 dintr-un picior, astfel încât o cantitate de 5 metri, 2 metri și inci ar putea fi reprezentată ca o fracție compusă: curți . Cu toate acestea, notațiile tipice pentru măsurile tradiționale, deși se bazează în mod similar pe radixuri mixte, nu scriu în mod explicit numitorii; numitorii expliciți din notația lui Fibonacci îi permit să folosească diferite raze pentru diferite probleme atunci când este convenabil. Sigler subliniază, de asemenea, un caz în care Fibonacci folosește fracții compozite în care toți numitorii sunt 10, prefigurând notația zecimală modernă pentru fracții. ${\ displaystyle {\ tfrac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ tfrac {a} {c}} + {\ tfrac {b} {cd}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ tfrac {a} {d}} + {\ tfrac {b } {de}} + {\ tfrac {c} {def}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {5}} + {\ tfrac {2} {3 \ times 5}} + {\ tfrac {1} {2 \ times 3 \ times 5}}}$${\ displaystyle 7 {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5}$
3. Fibonacci a scris uneori mai multe fracții unul lângă celălalt, reprezentând o sumă a fracțiilor date. De exemplu, 1/3 + 1/4 = 7/12, deci o notație ca ar reprezenta numărul care ar fi acum mai frecvent scris ca număr mixt , sau pur și simplu fracția necorespunzătoare . Notarea acestei forme poate fi distinsă de secvențele de numeratori și numitori care împart o fracțiune prin pauza vizibilă din bară. Dacă toți numeratorii sunt 1 într-o fracție scrisă în această formă și toți numitorii sunt diferiți între ei, rezultatul este o reprezentare a fracției egiptene a numărului. Această notație a fost, de asemenea, uneori combinată cu notația fracției compuse: două fracții compuse scrise una lângă alta ar reprezenta suma fracțiilor. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {7} {12}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {31} {12}}}$

Complexitatea acestei notații permite ca numerele să fie scrise în multe moduri diferite, iar Fibonacci a descris mai multe metode de conversie de la un stil de reprezentare la altul. În special, capitolul II.7 conține o listă de metode pentru convertirea unei fracții improprii într-o fracție egipteană, inclusiv algoritmul lacom pentru fracțiile egiptene , cunoscut și sub numele de expansiune Fibonacci-Sylvester.

Modus Indorum

În Liber Abaci , Fibonacci spune următoarele, introducând Modus Indorum (metoda indienilor), astăzi cunoscut sub numele de sistem numeric hindus-arab sau notație pozițională de bază 10. De asemenea, a introdus cifre care semănau mult cu cifrele arabe moderne .

Întrucât tatăl meu era un funcționar public departe de patria noastră în vama Bugia stabilită pentru negustorii pisani care se adunau frecvent acolo, el m-a adus în tinerețe la el, căutând să-mi găsească un viitor util și confortabil; acolo a vrut să fiu în studiul matematicii și să fiu învățat câteva zile. Acolo, dintr-o minunată instrucțiune în arta celor nouă figuri indiene, introducerea și cunoașterea artei m-au bucurat atât de mult mai presus de orice și am învățat de la ei, oricine a fost învățat în ea, din Egiptul din apropiere, Siria, Grecia, Sicilia și Provence, și diversele lor metode, în care locații de afaceri am călătorit considerabil după aceea, pentru multe studii, și am învățat din disputele asamblate. Dar, în ansamblu, algoritmul și chiar arcurile pitagoreice, am considerat în continuare aproape o eroare în comparație cu metoda indiană. Prin urmare, îmbrățișând cu strictețe metoda indiană și atent la studiul ei, din propriul meu simț adăugând unele, și altele încă din arta geometrică subtilă euclidiană, aplicând suma pe care am putut să o percep la această carte, am muncit să pun împreună în xv capitole distincte, arătând anumite dovezi pentru aproape tot ce am pus, astfel încât, în plus, această metodă să se perfecționeze mai presus de restul, această știință este instruită celor dornici și poporului italian mai presus de toți ceilalți, care până acum se găsesc fără minim. Dacă, întâmplător, am omis ceva mai puțin sau mai adecvat sau necesar, îngăduința ta față de mine este rugată, deoarece nu există nimeni care să nu aibă vina și în toate lucrurile să fie cu totul circumspect.

Cele nouă figuri indiene sunt:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Cu aceste nouă cifre și cu semnul 0 pe care arabii îl numesc zephir orice număr este scris ... ( Sigler 2002 ; vezi Grimm 1973 pentru o altă traducere)

Cu alte cuvinte, în cartea sa a susținut utilizarea cifrelor 0-9 și a valorii locului . Până în acest moment Europa a folosit cifrele romane, făcând matematica modernă aproape imposibilă. Cartea a adus astfel o contribuție importantă la răspândirea cifrelor zecimale. Răspândirea sistemului hindu-arab, totuși, după cum scrie Ore, a fost „îndelungată”, luând multe secole pentru a se răspândi pe scară largă și nu a devenit completă decât în ​​ultima parte a secolului al XVI-lea, accelerând dramatic doar în anii 1500 odată cu apariția tipăririi.

Istorie textuală

Prima apariție a manuscrisului a fost în 1202. Nu se cunosc copii ale acestei versiuni. O versiune revizuită a Liber Abaci, dedicată lui Michael Scot , a apărut în 1227 e.n. Există cel puțin nouăsprezece manuscrise care conțin părți din acest text. Există trei versiuni complete ale acestui manuscris din secolele XIII și XIV. Există alte nouă copii incomplete cunoscute între secolele al XIII-lea și al XV-lea, și pot fi mai multe încă neidentificate.

Nu a existat nicio versiune tipărită a Liber Abaci până la traducerea italiană a lui Boncompagni din 1857. Prima traducere completă în limba engleză a fost textul lui Sigler din 2002.

Note

Referințe

• Grimm, RE (1973), „Autobiografia lui Leonardo Pisano” (PDF) , Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104 .
• Sigler, Laurence E. (trad.) (2002), Liber Abaci al lui Fibonacci , Springer-Verlag, ISBN   0-387-95419-8 .
• Minereu, Øystein (1948), Teoria numerelor și istoria ei , McGraw Hill . Disponibilă și versiunea Dover, 1988, ISBN   978-0-486-65620-5 .