Locus (matematică) - Locus (mathematics)

Fiecare curbă din acest exemplu este un locus definit ca concoidul punctului P și al liniei l . În acest exemplu, P este la 8 cm de l .

În geometrie , un locus (plural: loci ) (cuvânt latin pentru „loc”, „locație”) este un set de puncte (în mod obișnuit, o linie , un segment de linie , o curbă sau o suprafață ), a cărui locație satisface sau este determinate de una sau mai multe condiții specificate.

Cu alte cuvinte, ansamblul punctelor care satisfac unele proprietăți este adesea numit locusul unui punct care îndeplinește această proprietate. Utilizarea singularului în această formulare este o mărturie că, până la sfârșitul secolului al XIX-lea, matematicienii nu au considerat mulțimi infinite. În loc să vizualizeze liniile și curbele ca seturi de puncte, le-au privit ca pe locuri unde un punct poate fi localizat sau se poate mișca.

Istorie și filozofie

Până la începutul secolului al XX-lea, o formă geometrică (de exemplu o curbă) nu a fost considerată ca un set infinit de puncte; mai degrabă, a fost considerată ca o entitate pe care poate fi situat un punct sau pe care se mișcă. Astfel, un cerc din planul euclidian a fost definit ca locusul unui punct care se află la o distanță dată de un punct fix, centrul cercului. În matematica modernă, concepte similare sunt reformulate mai frecvent prin descrierea formelor ca seturi; de exemplu, se spune că cercul este setul de puncte care se află la o distanță dată de centru.

Spre deosebire de viziunea teoretică a seturilor, vechea formulare evită să ia în considerare colecții infinite, deoarece evitarea infinitului real era o poziție filosofică importantă a matematicienilor anteriori.

Odată ce teoria mulțimilor a devenit baza universală pe care se construiește întreaga matematică, termenul de locus a devenit destul de demodat. Cu toate acestea, cuvântul este încă utilizat pe scară largă, în principal pentru o formulare concisă, de exemplu:

• Locus critic , ansamblul punctelor critice ale unei funcții diferențiabile .
• Locus zero sau locus de dispariție , ansamblul de puncte în care o funcție dispare, în sensul că ia valoarea zero.
• Locus singular , ansamblul punctelor singulare ale unei varietăți algebrice .
• Locus de conectare , subsetul setului de parametri ai unei familii de funcții raționale pentru care este conectat setul Julia al funcției.

Mai recent, tehnici precum teoria schemelor și utilizarea teoriei categoriilor în loc de teoria mulțimilor pentru a oferi o bază matematicii, s-au întors la noțiuni mai mult ca definiția originală a unui locus ca obiect în sine, mai degrabă decât ca set de puncte.

Exemple în geometria plană

Exemple din geometria plană includ:

• Setul de puncte echidistant de la două puncte este o bisectoare perpendiculare pe segmentul de linie care leagă cele două puncte.
• Setul de puncte echidistant de la două linii care se încrucișează este bisectoarea unghiulară .
• Toate secțiunile conice sunt loci:
  • Cerc : ansamblul de puncte pentru care distanța de la un singur punct este constantă ( raza ).
  • Parabola : ansamblul de puncte echidistant de la un punct fix ( focalizarea ) și o linie ( directrixul ).
  • Hiperbola : setul de puncte pentru care valoarea absolută a diferenței dintre distanțele la două focare date este o constantă.
  • Elipsă : ansamblul de puncte pentru care suma distanțelor la două focare date este o constantă

Alte exemple de loci apar în diverse domenii ale matematicii. De exemplu, în dinamica complexă , mulțimea Mandelbrot este un subset al planului complex care poate fi caracterizat ca locus de conectare a unei familii de hărți polinomiale.

Dovada unui locus

Pentru a dovedi o formă geometrică este locusul corect pentru un set dat de condiții, se împarte în general proba în două etape:

• Dovadă că toate punctele care îndeplinesc condițiile sunt pe forma dată.
• Dovadă că toate punctele de pe forma dată îndeplinesc condițiile.

Exemple

(distanța PA ) = 3. (distanța PB )

Primul exemplu

Găsiți locusul unui punct P care are un raport dat de distanțe k = d ₁ / d ₂ la două puncte date.

În acest exemplu, k = 3, A (-1, 0) și B (0, 2) sunt alese ca puncte fixe.

P ( x ,  y ) este un punct al locusului

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (x - {\ frac {1} {8}} \ right) ^ {2} + \ left (y - {\ frac {9} {4}} \ right) ^ {2} = {\ frac {45} {64}}.}$

Această ecuație reprezintă un cerc cu centrul (1/8, 9/4) și raza . Este cercul Apollonius definit de aceste valori ale lui k , A și B . ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}} {\ sqrt {5}}}$

Al doilea exemplu

Locusul punctului C

Un triunghi ABC are o latură fixă ​​[ AB ] cu lungimea c . Determinați locusul celui de-al treilea vârf C astfel încât medianele de la A și C să fie ortogonale .

Alegeți un sistem de coordonate ortonormale astfel încât A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) este al treilea vârf variabil. Centrul lui [ BC ] este M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). Mediana din C are o pantă y / x . AM mediană are panta 2 y / (2 x  + 3 c ).

Locusul este un cerc

C ( x ,  y ) este un punct al locusului

${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ medianele de la A și C sunt ortogonale

${\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {y} {x}} \ cdot {\ frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}$

Locusul vârfului C este un cerc cu centrul (−3 c / 4, 0) și raza 3 c / 4.

Al treilea exemplu

Punctul de intersecție al liniilor asociate k și l descrie cercul

Un locus poate fi definit și prin două curbe asociate, în funcție de un parametru comun . Dacă parametrul variază, punctele de intersecție ale curbelor asociate descriu locusul.

În figură, punctele K și L sunt puncte fixe pe o dreaptă dată m . Linia k este o linie variabilă prin K . Linia de la l la L este perpendiculară pe k . Unghiul dintre k și m este parametrul. k și l sunt linii asociate în funcție de parametrul comun. Punctul de intersecție variabil S al lui k și l descrie un cerc. Acest cerc este locul punctului de intersecție al celor două linii asociate. ${\ displaystyle \ alpha}$

Al patrulea exemplu

Un locus al punctelor nu trebuie să fie unidimensional (sub formă de cerc, linie etc.). De exemplu, locusul inegalității 2 x + 3 y - 6 <0 este porțiunea planului care se află sub linia ecuației 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Vezi si

• Soi algebric
• Curba
• Linie (geometrie)
• Regiune (geometrie)
• Formă (geometrie)

Referințe