Ecuația Orr-Sommerfeld - Orr–Sommerfeld equation

Ecuația Orr-Sommerfeld , în dinamica fluidelor , este o valoare proprie ecuație care descrie modurile liniare bidimensionale ale perturbării unui vâscoasă flux paralel. Soluția la ecuațiile Navier-Stokes pentru un flux paralel, laminar poate deveni instabilă dacă sunt îndeplinite anumite condiții pe flux, iar ecuația Orr-Sommerfeld determină cu precizie care sunt condițiile pentru stabilitatea hidrodinamică .

Ecuația poartă numele lui William McFadden Orr și Arnold Sommerfeld , care au derivat-o la începutul secolului al XX-lea.

Formulare

O diagramă schematică a stării de bază a sistemului. Fluxul investigat reprezintă o mică perturbare departe de această stare. În timp ce starea de bază este paralelă, viteza perturbației are componente în ambele direcții.

Ecuația este derivată prin rezolvarea unei versiuni liniarizate a ecuației Navier-Stokes pentru câmpul vitezei perturbației

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left (U (z) + u '(x, z, t), 0, w' (x, z, t) \ right)}$ ,

unde este fluxul netulburat sau de bază. Viteza perturbației are soluția asemănătoare undelor (partea reală înțeleasă). Folosind această cunoaștere, iar streamfunction reprezentare pentru debitul, se obține următoarea formă dimensională a ecuației Orr-Sommerfeld: ${\ displaystyle (U (z), 0,0)}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '\ propto \ exp (i \ alpha (x-ct))}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {i \ alpha \ rho}} \ left ({d ^ {2} \ over dz ^ {2}} - \ alpha ^ {2} \ right) ^ {2} \ varphi = (Uc) \ left ({d ^ {2} \ over dz ^ {2}} - \ alpha ^ {2} \ right) \ varphi -U '' \ varphi}$ ,

unde este viscozitatea dinamică a fluidului, este densitatea acestuia și este potențialul sau funcția fluxului. În cazul viscozității zero ( ), ecuația se reduce la ecuația lui Rayleigh . Ecuația poate fi scrisă sub formă nedimensională prin măsurarea vitezei în funcție de o scală stabilită de o anumită viteză caracteristică și prin măsurarea lungimilor în funcție de adâncimea canalului . Apoi ecuația ia forma ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle U_ {0}}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {1 \ over i \ alpha \, Re} \ left ({d ^ {2} \ over dz ^ {2}} - \ alpha ^ {2} \ right) ^ {2} \ varphi = (Uc ) \ left ({d ^ {2} \ over dz ^ {2}} - \ alpha ^ {2} \ right) \ varphi -U '' \ varphi}$ ,

Unde

${\ displaystyle Re = {\ frac {\ rho U_ {0} h} {\ mu}}}$

este numărul Reynolds al fluxului de bază. Condițiile limită relevante sunt condițiile limită antiderapante în partea superioară și inferioară a canalului și , ${\ displaystyle z = z_ {1}}$${\ displaystyle z = z_ {2}}$

${\ displaystyle \ alpha \ varphi = {d \ varphi \ over dz} = 0}$ la și în cazul în care este funcția potențială. ${\ displaystyle z = z_ {1}}$${\ displaystyle z = z_ {2},}$${\ displaystyle \ varphi}$

Sau:

${\ displaystyle \ alpha \ varphi = {d \ varphi \ over dx} = 0}$ la și în cazul în care este funcția de flux. ${\ displaystyle z = z_ {1}}$${\ displaystyle z = z_ {2},}$${\ displaystyle \ varphi}$

Parametrul valorii proprii al problemei este și vectorul propriu este . Dacă partea imaginară a vitezei de undă este pozitivă, atunci debitul de bază este instabil, iar perturbarea mică introdusă în sistem este amplificată în timp. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle c}$

Soluții

Pentru toate profilurile de viteză , cu excepția celor mai simple , sunt necesare metode numerice sau asimptotice pentru calcularea soluțiilor. Unele profiluri tipice de flux sunt discutate mai jos. În general, spectrul ecuației este discret și infinit pentru un flux mărginit, în timp ce pentru fluxurile nelimitate (cum ar fi fluxul stratului limită ), spectrul conține atât părți continue, cât și părți discrete. ${\ displaystyle U}$

Spectrul operatorului Orr – Sommerfeld pentru Poiseuille curge la criticitate.

Curbele de dispersie ale fluxului Poiseuille pentru diferite numere Reynolds.

Pentru planul de curgere Poiseuille , sa demonstrat că debitul este instabil ( de exemplu , unul sau mai multe valori proprii are o parte imaginară pozitivă) pentru unii când și modul neutru stabil la care are , . Pentru a vedea proprietățile de stabilitate ale sistemului, este obișnuit să se traseze o curbă de dispersie, adică un grafic al ratei de creștere în funcție de numărul de undă . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle Re> Re_ {c} = 5772.22}$${\ displaystyle Re = Re_ {c}}$${\ displaystyle \ alpha _ {c} = 1.02056}$${\ displaystyle c_ {r} = 0,264002}$${\ displaystyle {\ text {Im}} (\ alpha {c})}$${\ displaystyle \ alpha}$

Prima figură arată spectrul ecuației Orr-Sommerfeld la valorile critice enumerate mai sus. Acesta este un grafic al valorilor proprii (sub formă ) în planul complex. Valoarea proprie cea mai dreaptă este cea mai instabilă. La valorile critice ale numărului Reynolds și ale numărului de undă, valoarea proprie cea mai dreaptă este exact zero. Pentru valori mai mari (mai mici) ale numărului Reynolds, valoarea proprie cea mai dreaptă se deplasează în jumătatea pozitivă (negativă) a planului complex. Apoi, o imagine mai completă a proprietăților de stabilitate este dată de un grafic care prezintă dependența funcțională a acestei valori proprii; acest lucru este prezentat în a doua figură. ${\ displaystyle \ lambda = -i \ alpha {c}}$

Pe de altă parte, spectrul valorilor proprii pentru fluxul Couette indică stabilitate, la toate numerele Reynolds. Cu toate acestea, în experimente, fluxul Couette se dovedește a fi instabil până la perturbări mici, dar finite, pentru care teoria liniară și ecuația Orr-Sommerfeld nu se aplică. S-a argumentat că non-normalitatea problemei valorii proprii asociată cu fluxul Couette (și într-adevăr, Poiseuille) ar putea explica instabilitatea observată. Adică funcțiile proprii ale operatorului Orr-Sommerfeld sunt complete, dar neortogonale. Apoi, energia perturbării conține contribuții de la toate funcțiile proprii ale ecuației Orr-Sommerfeld. Chiar dacă energia asociată cu fiecare valoare proprie luată în considerare separat se descompune exponențial în timp (așa cum a prezis analiza Orr-Sommerfeld pentru fluxul Couette), termenii încrucișați care decurg din non-ortogonalitatea valorilor proprii pot crește tranzitoriu. Astfel, energia totală crește tranzitoriu (înainte de a tinde asimptotic la zero). Argumentul este că, dacă magnitudinea acestei creșteri tranzitorii este suficient de mare, aceasta destabilizează fluxul laminar, totuși acest argument nu a fost universal acceptat.

De asemenea, a fost propusă o teorie neliniară care explică tranziția. Deși această teorie include o creștere liniară tranzitorie, accentul se pune pe procesele neliniare 3D despre care se suspectează puternic că stau la baza tranziției la turbulențe în fluxurile de forfecare. Teoria a condus la construirea așa-numitelor stări de echilibru 3D complete, unde călătoare și soluții periodice de timp ale ecuațiilor Navier-Stokes care surprind multe dintre caracteristicile cheie ale tranziției și structurilor coerente observate în regiunea peretelui apropiat al forfecului turbulent curge. Chiar dacă „soluția” implică de obicei existența unui rezultat analitic, este o practică obișnuită în mecanica fluidelor să se refere la rezultatele numerice ca „soluții” - indiferent dacă soluțiile aproximative satisfac ecuațiile Navier-Stokes într-un mod satisfăcător din punct de vedere matematic sau nu . Se postulează că tranziția la turbulență implică starea dinamică a fluidului care evoluează de la o soluție la alta. Teoria este astfel bazată pe existența reală a unor astfel de soluții (dintre care multe nu au fost încă observate într-o configurație experimentală fizică). Această relaxare în ceea ce privește cerința soluțiilor exacte permite o mare flexibilitate, deoarece soluțiile exacte sunt extrem de dificil de obținut (contrar soluțiilor numerice), în detrimentul rigurozității și (eventual) corectitudinii. Astfel, chiar dacă nu la fel de riguroasă ca abordările anterioare ale tranziției, a câștigat o popularitate imensă.

Recent a fost sugerată o extindere a ecuației Orr-Sommerfeld la fluxul în medii poroase.

Metode matematice pentru fluxuri de suprafață liberă

Pentru fluxul Couette, este posibil să se realizeze progrese matematice în soluția ecuației Orr-Sommerfeld. În această secțiune, este prezentată o demonstrație a acestei metode pentru cazul curgerii suprafeței libere, adică atunci când capacul superior al canalului este înlocuit cu o suprafață liberă. Rețineți în primul rând că este necesar să modificați condițiile de la limita superioară pentru a ține cont de suprafața liberă. În formă nedimensională, aceste condiții sunt acum citite

${\ displaystyle \ varphi = {d \ varphi \ over dz} = 0,}$ la , ${\ displaystyle z = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ varphi} {dz ^ {2}}} + \ alpha ^ {2} \ varphi = 0}$ , la . ${\ displaystyle \ Omega \ equiv {\ frac {d ^ {3} \ varphi} {dz ^ {3}}} + i \ alpha Re \ left [\ left (cU \ left (z_ {2} = 1 \ right ) \ right) {\ frac {d \ varphi} {dz}} + \ varphi \ right] -i \ alpha Re \ left ({\ frac {1} {Fr}} + {\ frac {\ alpha ^ {2 }} {We}} \ right) {\ frac {\ varphi} {cU \ left (z_ {2} = 1 \ right)}} = 0,}$${\ displaystyle \, z = 1}$

Prima condiție de suprafață liberă este afirmația de continuitate a tensiunii tangențiale, în timp ce a doua condiție corelează tensiunea normală cu tensiunea superficială. Aici

${\ displaystyle Fr = {\ frac {U_ {0} ^ {2}} {gh}}, \, \, \ We = {\ frac {\ rho u_ {0} ^ {2} h} {\ sigma} }}$

sunt numerele Froude și respectiv Weber .

Pentru fluxul Couette , cele patru soluții liniar independente la ecuația nedimensională Orr-Sommerfeld sunt, ${\ displaystyle U \ left (z \ right) = z}$

${\ displaystyle \ chi _ {1} \ left (z \ right) = \ sinh \ left (\ alpha z \ right), \ qquad \ chi _ {2} \ left (z \ right) = \ cosh \ left ( \ alfa z \ dreapta)}$ ,

${\ displaystyle \ chi _ {3} \ left (z \ right) = {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {\ infty} ^ {z} \ sinh \ left [\ alpha \ left (z - \ xi \ right) \ right] Ai \ left [e ^ {i \ pi / 6} \ left (\ alpha Re \ right) ^ {1/3} \ left (\ xi -c - {\ frac {i \ alpha} {Re}} \ right) \ right] d \ xi,}$

${\ displaystyle \ chi _ {4} \ left (z \ right) = {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {\ infty} ^ {z} \ sinh \ left [\ alpha \ left (z - \ xi \ right) \ right] Ai \ left [e ^ {5i \ pi / 6} \ left (\ alpha Re \ right) ^ {1/3} \ left (\ xi -c - {\ frac {i \ alpha} {Re}} \ right) \ right] d \ xi,}$

unde este funcția Airy de primul fel. Înlocuirea soluției de suprapunere în cele patru condiții limită dă patru ecuații în cele patru constante necunoscute . Pentru ca ecuațiile să aibă o soluție non-banală, condiția determinantă${\ displaystyle Ai \ left (\ cdot \ right)}$${\ displaystyle \ varphi = \ sum _ {i = 1} ^ {4} c_ {i} \ chi _ {i} \ left (z \ right)}$${\ displaystyle c_ {i}}$

${\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} \ chi _ {1} \ left (0 \ right) & \ chi _ {2} \ left (0 \ right) & \ chi _ {3} \ left (0 \ right) & \ chi _ {4} \ left (0 \ right) \\\ chi _ {1} '\ left (0 \ right) & \ chi _ {2}' \ left (0 \ right ) & \ chi _ {3} '\ left (0 \ right) & \ chi _ {4}' \ left (0 \ right) \\\ Omega _ {1} \ left (1 \ right) & \ Omega _ {2} \ left (1 \ right) & \ Omega _ {3} \ left (1 \ right) & \ Omega _ {4} \ left (1 \ right) \\\ chi _ {1} '' \ left (1 \ dreapta) + \ alpha ^ {2} \ chi _ {1} \ left (1 \ right) & \ chi _ {2} '' \ left (1 \ right) + \ alpha ^ {2} \ chi _ {2} \ left (1 \ right) & \ chi _ {3} '' \ left (1 \ right) + \ alpha ^ {2} \ chi _ {3} \ left (1 \ right) & \ chi _ {4} '' \ left (1 \ right) + \ alpha ^ {2} \ chi _ {4} \ left (1 \ right) \ end {array}} \ right | = 0}$

trebuie să fie mulțumit. Aceasta este o ecuație unică în necunoscutul c , care poate fi rezolvată numeric sau prin metode asimptotice . Se poate arăta că pentru o serie de numere de undă și pentru un număr suficient de mare de Reynolds, rata de creștere este pozitivă. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha c _ {\ text {i}}}$

Vezi si

• Evenimente gravitaționale forțând cometa-asteroid
• Unda de gravitate
• Lee face valuri
• Rogue wave

Referințe

Lecturi suplimentare

• Orr, W. M'F. (1907). "Stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea I". Proceedings of the Royal Irish Academy . A. 27 : 9–68.
• Orr, W. M'F. (1907). "Stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea II". Proceedings of the Royal Irish Academy . A. 27 : 69–138.
• Sommerfeld, A. (1908). „Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen”. Lucrările celui de-al IV-lea Congres Internațional al Matematicienilor . III . Roma. pp. 116–124.