Interpolarea Pareto - Pareto interpolation

Interpolarea Pareto este o metodă de estimare a proprietăților mediane și a altor populații care urmează o distribuție Pareto . Este folosit în economie la analiza distribuției veniturilor într-o populație, când trebuie să se bazeze pe estimări aleatorii relativ mici, luate de la populație.

Familia de distribuții Pareto este parametrizată de

• un număr pozitiv κ care este cea mai mică valoare pe care o poate lua o variabilă aleatoare cu o distribuție Pareto. În ceea ce privește distribuirea veniturilor, κ este cel mai mic venit al oricărei persoane din populație; și
• un număr pozitiv θ „indicele Pareto”; pe măsură ce aceasta crește, coada distribuției devine mai subțire. Așa cum se aplică distribuției veniturilor, aceasta înseamnă că cu cât este mai mare valoarea indicelui Pareto θ cu atât este mai mică proporția veniturilor de mai multe ori mai mare decât veniturile cele mai mici.

Interpolarea Pareto poate fi utilizată atunci când informațiile disponibile includ proporția de eșantion care se situează sub fiecare dintre cele două numere specificate a < b . De exemplu, se poate observa că 45% dintre indivizii din eșantion au venituri sub a = 35.000 USD pe an, iar 55% au venituri sub b = 40.000 $ pe an.

Lăsa

P _a = proporția probei care se află sub a ;

P _b = proporția probei care se află sub b .

Atunci estimările lui κ și θ sunt

${\ displaystyle {\ widehat {\ kappa}} = \ left ({\ frac {P_ {b} -P_ {a}} {\ left (1 / a ^ {\ widehat {\ theta}} \ right) - \ stânga (1 / b ^ {\ widehat {\ theta}} \ right)}} \ right) ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}}$

și

${\ displaystyle {\ widehat {\ theta}} \; = \; {\ frac {\ log (1-P_ {a}) - \ log (1-P_ {b})} {\ log (b) - \ log (a)}}.}$

Apoi, estimarea medianei ar fi

${\ displaystyle {\ mbox {mediană estimată}} = {\ widehat {\ kappa}} \ cdot 2 ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}, \,}$

întrucât mediana efectivă a populației este

${\ displaystyle {\ mbox {median}} = \ kappa \, 2 ^ {1 / \ theta}. \,}$

Referințe

• Biroul de recensământ al SUA, Memorandum privind tehnicile statistice utilizate în sondajul de venit din 2001 (PDF) . Consultați Ecuația 10 la pag. 24.
• Stults, Brian J, Derivarea venitului median al gospodăriei . Dă o derivare a ecuațiilor pentru interpolarea Pareto.