Cantitate esențială - Pivotal quantity

În statistici , o cantitate pivotă sau pivot este o funcție a observațiilor și a parametrilor neobservabili, astfel încât distribuția probabilității funcției să nu depindă de parametrii necunoscuți (inclusiv parametrii de neplăcere ). O cantitate pivot nu trebuie să fie o statistică - funcția și valoarea ei pot depinde de parametrii modelului, dar distribuția sa nu trebuie. Dacă este o statistică, atunci este cunoscută sub numele de statistică auxiliară .

Mai formal, să fie un eșantion aleatoriu dintr-o distribuție care depinde de un parametru (sau vector de parametri) . Fie o variabilă aleatorie a cărei distribuție este aceeași pentru toți . Apoi se numește o cantitate esențială (sau pur și simplu un pivot ). ${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle g (X, \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle g}$

Cantitățile pivotante sunt utilizate în mod obișnuit pentru normalizare pentru a permite compararea datelor din diferite seturi de date. Este relativ ușor să construim pivoti pentru parametrii de localizare și scară: pentru primii formăm diferențe astfel încât locația să se anuleze, pentru cel de-al doilea raporturi astfel încât scala să se anuleze.

Cantitățile esențiale sunt fundamentale pentru construirea statisticilor de testare , deoarece permit statisticii să nu depindă de parametri - de exemplu, statistica t a lui Student este pentru o distribuție normală cu varianță (și medie) necunoscută. De asemenea, oferă o metodă de construire a intervalelor de încredere , iar utilizarea unor cantități pivotante îmbunătățește performanța bootstrap - ului . Sub formă de statistici auxiliare, acestea pot fi utilizate pentru a construi intervale de predicție frecventistă (intervale de încredere predictive).

Exemple

Distributie normala

Una dintre cele mai simple cantități pivotante este scorul z ; dată o distribuție normală cu medie și varianță și o observație x, scorul z: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle z = {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}},}$

are distribuție - o distribuție normală cu media 0 și varianță 1. În mod similar, deoarece media eșantionului n are distribuție de eșantionare , scorul z al mediei ${\ displaystyle N (0,1)}$${\ displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ {2} / n),}$

${\ displaystyle z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}}}$

are, de asemenea, distribuție Rețineți că, deși aceste funcții depind de parametri - și astfel se pot calcula numai dacă parametrii sunt cunoscuți (nu sunt statistici) - distribuția este independentă de parametri. ${\ displaystyle N (0,1).}$

Având în vedere observații independente, distribuite identic (iid) de la distribuția normală cu medie și varianță necunoscute , o cantitate pivotă poate fi obținută din funcția: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle g (x, X) = {\ frac {x - {\ overline {X}}} {s / {\ sqrt {n}}}}}$

Unde

${\ displaystyle {\ overline {X}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i}}}$

și

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {(X_ {i} - {\ overline {X}}) ^ { 2}}}$

sunt estimări imparțiale ale și , respectiv. Funcția este statistica t a Studentului pentru o nouă valoare , care trebuie extrasă din aceeași populație ca setul de valori deja observat . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle g (x, X)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

Utilizarea funcției devine o cantitate esențială, care este distribuită și de distribuția t a Studentului cu grade de libertate. După cum este necesar, chiar dacă apare ca argument pentru funcție , distribuția lui nu depinde de parametri sau de distribuția normală de probabilitate care guvernează observațiile . ${\ displaystyle x = \ mu}$${\ displaystyle g (\ mu, X)}$${\ displaystyle \ nu = n-1}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (\ mu, X)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

Aceasta poate fi utilizată pentru a calcula un interval de predicție pentru următoarea observație, a se vedea Intervalul de predicție: distribuție normală . ${\ displaystyle X_ {n + 1};}$

Distribuție normală bivariată

În cazuri mai complicate, este imposibil să construim pivoti exacți. Cu toate acestea, având pivote aproximative îmbunătățește convergența la normalitatea asimptotică .

Să presupunem că un eșantion de mărime a vectorilor este preluat dintr-o distribuție normală bivariată cu corelație necunoscută . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (X_ {i}, Y_ {i}) '}$ ${\ displaystyle \ rho}$

Un estimator al este corelația eșantionului (Pearson, moment) ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle r = {\ frac {{\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ overline {X}}) (Y_ { i} - {\ overline {Y}})} {s_ {X} s_ {Y}}}}$

unde sunt varianțele eșantionului lui și . Statistica eșantionului are o distribuție asimptotic normală: ${\ displaystyle s_ {X} ^ {2}, s_ {Y} ^ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ sqrt {n}} {\ frac {r- \ rho} {1- \ rho ^ {2}}} \ Rightarrow N (0,1)}$.

Cu toate acestea, o transformare de stabilizare a varianței

${\ displaystyle z = {\ rm {{tanh} ^ {- 1} r = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1 + r} {1-r}}}}}$

cunoscută sub numele de transformarea Fisher a z a coeficientului de corelație permite crearea unei distribuții asimptotice independente de parametrii necunoscuți: ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ sqrt {n}} (z- \ zeta) \ Rightarrow N (0,1)}$

unde este parametrul de distribuție corespunzător. Pentru dimensiunile probelor finite , variabila aleatoare va avea o distribuție mai apropiată de normală decât cea a . O aproximare și mai apropiată de distribuția normală standard se obține utilizând o aproximare mai bună pentru varianța exactă: forma obișnuită este ${\ displaystyle \ zeta = {\ rm {tanh}} ^ {- 1} \ rho}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (z) \ approx {\ frac {1} {n-3}}.}$

Robusteţe

Din punctul de vedere al statisticilor robuste , cantitățile esențiale sunt robuste la modificările parametrilor - într-adevăr, independente de parametri - dar nu, în general, robuste la modificările modelului, cum ar fi încălcările presupunerii normalității. Acest lucru este fundamental pentru critica robustă a statisticilor non-robuste, adesea derivate din cantități esențiale: astfel de statistici pot fi robuste în cadrul familiei, dar nu sunt robuste în afara acesteia.

Vezi si

• Normalizare (statistici)

Referințe