Reziduul Poincaré - Poincaré residue

În matematică , reziduul Poincaré este o generalizare a mai multor variabile complexe și a teoriei multiple a complexului , a reziduului la un pol al teoriei funcției complexe . Este doar una dintre o serie de astfel de extensii posibile.

Având în vedere o hipersuprafață definită printr - un grad polinom și rațional forma a pe un pol de ordine pe , atunci putem construi o clasă de coomologie . Dacă recuperăm construcția clasică a reziduurilor. ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) \ în H ^ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle n = 1}$

Construcție istorică

Când Poincaré a introdus pentru prima dată reziduuri, el studia integrale de perioadă ale formei

${\ displaystyle {\ underset {\ Gamma} {\ iint}} \ omega}$ pentru ${\ displaystyle \ Gamma \ în H_ {2} (\ mathbb {P} ^ {2} -D)}$

unde era o formă diferențială rațională cu poli de-a lungul unui divizor . El a reușit să facă reducerea acestei integrale la o integrală a formei ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ text {Res}} (\ omega)}$ pentru ${\ displaystyle \ gamma \ în H_ {1} (D)}$

unde , trimiterea la granița unui tub solid în jurul locului neted al divizorului. Dacă ${\ displaystyle \ Gamma = T (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle D ^ {*}}$

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {q (x, y) dx \ wedge dy} {p (x, y)}}}$

pe o diagramă afină unde este ireductibil de grad și (deci nu există poli pe linie la infinit ^{pagina 150} ). Apoi, el a dat o formulă pentru calcularea acestui reziduu ca ${\ displaystyle p (x, y)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ deg q (x, y) \ leq N-3}$

${\ displaystyle {\ text {Res}} (\ omega) = - {\ frac {qdx} {\ partial p / \ partial y}} = {\ frac {qdy} {\ partial p / \ partial x}}}$

care sunt ambele forme cohomologe.

Constructie

Definiție preliminară

Având în vedere configurația din introducere, să fie spațiul formelor meromorfe pe care au poli de ordine până la . Observați că diferențialul standard trimite ${\ displaystyle A_ {k} ^ {p} (X)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle d: A_ {k-1} ^ {p-1} (X) \ to A_ {k} ^ {p} (X)}$

Defini

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {k} (X) = {\ frac {A_ {k} ^ {p} (X)} {dA_ {k-1} ^ {p-1} (X) }}}$

ca grupuri raționale de cohomologie de-Rham . Ele formează o filtrare

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {1} (X) \ subset {\ mathcal {K}} _ {2} (X) \ subset \ cdots \ subset {\ mathcal {K}} _ {n} (X) = H ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$

corespunzând filtrării Hodge.

Definiția residue

Luați în considerare un ciclu . Luăm un tub în jurul (care este izomorf local la ) care se află în complementul lui . Din moment ce aceasta este o -cycle, putem integra o rațional forma a și a obține un număr. Dacă scriem acest lucru ca ${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle \ gamma \ în H_ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle T (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma \ times S ^ {1}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ int _ {T (-)} \ omega: H_ {n-1} (X; \ mathbb {C}) \ to \ mathbb {C}}$

apoi obținem o transformare liniară pe clasele de omologie. Dualitatea omologie / cohomologie implică faptul că aceasta este o clasă de cohomologie

${\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) \ în H ^ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$

pe care o numim reziduu. Observați dacă ne limităm la caz , acesta este doar reziduul standard din analiza complexă (deși ne extindem forma meromorfă la toate . Această definiție poate fi rezumată ca hartă ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ text {Res}}: H ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} \ setminus X) \ la H ^ {n} (X)}$

Algoritm pentru calculul acestei clase

Există o metodă recursivă simplă pentru calcularea reziduurilor care se reduce la cazul clasic al . Amintiți-vă că reziduul unei forme ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {Res} \ left ({\ frac {dz} {z}} + a \ right) = 1}$

Dacă luăm în considerare o diagramă care conține unde este locusul de dispariție , putem scrie o formă meromorfă cu polul ca ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ frac {dw} {w ^ {k}}} \ wedge \ rho}$

Apoi îl putem scrie ca

${\ displaystyle {\ frac {1} {(k-1)}} \ left ({\ frac {d \ rho} {w ^ {k-1}}} + d \ left ({\ frac {\ rho} {w ^ {k-1}}} \ right) \ right)}$

Aceasta arată că cele două clase de cohomologie

${\ displaystyle \ left [{\ frac {dw} {w ^ {k}}} \ wedge \ rho \ right] = \ left [{\ frac {d \ rho} {(k-1) w ^ {k- 1}}} \ dreapta]}$

sunt egale. Astfel am redus ordinea polului, prin urmare putem folosi recursivitatea pentru a obține un pol de ordine și pentru a defini reziduul de ca ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ operatorname {Res} \ left (\ alpha \ wedge {\ frac {dw} {w}} + \ beta \ right) = \ alpha | _ {X}}$

Exemplu

De exemplu, luați în considerare curba definită de polinom ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ displaystyle F_ {t} (x, y, z) = t (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3}) - 3xyz}$

Apoi, putem aplica algoritmul anterior pentru a calcula reziduul de

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ Omega} {F_ {t}}} = {\ frac {x \, dy \ wedge dz-y \, dx \ wedge dz + z \, dx \ wedge dy} { t (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3}) - 3xyz}}}$

De cand

${\ displaystyle {\ begin {align} -z \, dy \ wedge \ left ({\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x}} \, dx + {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial y}} \, dy + {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial z}} \, dz \ right) & = z {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x }} \, dx \ wedge dy-z {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial z}} \, dy \ wedge dz \\ y \, dz \ wedge \ left ({\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x}} \, dx + {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial y}} \, dy + {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial z} } \, dz \ right) & = - y {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x}} \, dx \ wedge dz-y {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial y}} \, dy \ wedge dz \ end {align}}}$

și

${\ displaystyle 3F_ {t} -z {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x}} - y {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial y}} = x {\ frac {\ partial F_ {t}} {\ partial x}}}$

avem asta

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {y \, dz-z \, dy} {\ partial F_ {t} / \ partial x}} \ wedge {\ frac {dF_ {t}} {F_ {t}} } + {\ frac {3 \, dy \ wedge dz} {\ partial F_ {t} / \ partial x}}}$

Asta presupune că

${\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) = {\ frac {y \, dz-z \, dy} {\ partial F_ {t} / \ partial x}}}$

Vezi si

• Reziduul Grothendieck
• Reziduu Leray
• Reziduuri de fund
• Fascul de forme diferențiale logaritmice
• singularitate de traversare normală
• Formula adjuvantului # reziduul Poincare
• Structura Hodge
• Ideal Jacobian

Referințe

Introductiv

• Poincaré și geometrie algebrică
• Variații infinitesimale ale structurii Hodge și ale problemei globale Torelli - Pagina 7 conține o formulă generală de calcul folosind cohomologia Cech

• Introducere în reziduuri și rezultate (PDF)
• Reziduuri dimensionale superioare - Mathoverflow

Avansat

• Nicolaescu, Liviu, Residues and Hodge Theory (PDF)
• Schnell, Christian, Despre calculul ecuațiilor Picard-Fuchs (PDF)

Referințe

• Boris A. Khesin , Robert Wendt, Geometria grupurilor cu dimensiuni infinite (2008) p. 171
• Weber, Andrzej, Leray reziduuri pentru soiuri singulare (PDF)