Linia rombului - Rhumb line

Imagine a unui loxodrom sau a unei linii rombale, în spirală către Polul Nord

În navigație , o linie de romb , rumb , ( / r ʌ m / ) sau loxodrom este un arc care traversează toate meridianele de longitudine la același unghi , adică o cale cu purtare constantă măsurată în raport cu nordul adevărat .

Introducere

Efectul urmării unui curs de linie romb pe suprafața unui glob a fost discutat pentru prima dată de matematicianul portughez Pedro Nunes în 1537, în Tratatul său de apărare a hărții marine , cu o dezvoltare matematică ulterioară de către Thomas Harriot în anii 1590.

O linie rombală poate fi contrastată cu un cerc mare , care este calea celei mai scurte distanțe dintre două puncte de pe suprafața unei sfere. Pe un cerc mare, direcția către punctul de destinație nu rămâne constantă. Dacă cineva ar conduce o mașină de-a lungul unui cerc mare, s-ar ține volanul fix, dar pentru a urma o linie rotundă, ar trebui să rotiți roata, rotind-o mai brusc pe măsură ce se apropie stâlpii. Cu alte cuvinte, un cerc mare este local "drept" cu curbură geodezică zero , în timp ce o linie romb are curbură geodezică diferită de zero.

Meridianele de longitudine și paralele de latitudine oferă cazuri speciale ale liniei rombului, unde unghiurile lor de intersecție sunt respectiv 0 ° și 90 °. Pe un pasaj nord-sud cursul rombului coincide cu un cerc mare, așa cum se întâmplă pe un pasaj est-vest de-a lungul ecuatorului .

Pe o hartă de proiecție Mercator , orice linie romb este o linie dreaptă; o linie romb poate fi trasată pe o astfel de hartă între oricare două puncte de pe Pământ fără a ieși de la marginea hărții. Dar, teoretic, un loxodrom se poate extinde dincolo de marginea dreaptă a hărții, unde apoi continuă la marginea stângă cu aceeași pantă (presupunând că harta acoperă exact 360 de grade longitudine).

Liniile rombului care taie meridianele în unghiuri oblic sunt curbe loxodromice care spiralează către poli. Pe o proiecție Mercator, polii nord și sud apar la infinit și, prin urmare, nu sunt arătați niciodată. Cu toate acestea, loxodromul complet pe o hartă infinit de mare ar consta în infinit de multe segmente de linie între cele două margini. Pe o hartă de proiecție stereografică , un loxodrom este o spirală echiangulară al cărei centru este polul nord sau sud.

Toate loxodromurile spiralează de la un pol la altul. Aproape de poli, acestea sunt aproape de a fi spirale logaritmice (care sunt exact pe o proiecție stereografică , vezi mai jos), așa că înfășoară în jurul fiecărui pol de un număr infinit de ori, dar ajung la pol la o distanță finită. Lungimea pol la pol a unui loxodrom (presupunând o sferă perfectă ) este lungimea meridianului împărțită la cosinusul rulmentului departe de nordul adevărat. Loxodromurile nu sunt definite la poli.

Trei vederi ale unui loxodrom pol la pol

Etimologie și descriere istorică

Cuvântul loxodrome provine din greaca veche λοξός loxós : "oblic" + δρόμος drómos : "alergare" (din δραμεῖν drameîn : "a alerga"). Cuvântul rhumb poate proveni din spaniolă sau portugheză rumbo / rumo ("curs" sau "direcție") și greacă ῥόμβος rhómbos , din rhémbein .

Ediția din 1878 a The Globe Encyclopaedia of Universal Information descrie o linie de loxodrom ca:

Linia loxodromică este o curbă care taie fiecare membru al unui sistem de linii de curbură ale unei suprafețe date la același unghi. O navă care navighează spre același punct al busolei descrie o astfel de linie care taie toate meridianele în același unghi. În proiecția lui Mercator (qv) liniile loxodromice sunt evident drepte.

O neînțelegere ar putea apărea deoarece termenul „romb” nu avea un sens precis atunci când a intrat în uz. S-a aplicat la fel de bine liniilor de vânt ca și loxodromelor, deoarece termenul se aplica doar „local” și însemna doar orice făcea un marinar pentru a naviga cu purtare constantă , cu toată imprecizia pe care o implică asta. Prin urmare, „romb” era aplicabil liniilor drepte de pe portolane atunci când erau folosite portolane, precum și întotdeauna aplicabil liniilor drepte de pe diagramele Mercator. Pentru distanțe scurte „romburile” portolane nu diferă în mod semnificativ de rombele Mercator, dar în prezent „rombul” este sinonim cu „loxodromul” matematic precis, deoarece a fost făcut sinonim retrospectiv.

După cum afirmă Leo Bagrow: „.. cuvântul („ Rhumbline ”) este aplicat în mod greșit pe hărțile marine din această perioadă, întrucât un loxodrom oferă un curs precis numai atunci când diagrama este desenată pe o proiecție adecvată. Investigația cartometrică a arătat că nicio proiecție nu a fost utilizată în primele diagrame, pentru care, prin urmare, păstrăm denumirea de „portolan”. "

Descrierea matematică

Pentru o sferă de rază 1, unghiul azimutal $λ$ , unghiul polar $-.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} π/2≤ φ ≤π/2$ (definit aici pentru a corespunde latitudinii), iar vectorii unitari cartesieni $i$ , $j$ și $k$ pot fi folosiți pentru a scrie vectorul de rază $r$ ca

{\ displaystyle \ mathbf {r} (\ lambda, \ varphi) = (\ cos {\ lambda} \ cdot \ cos {\ varphi}) \ mathbf {i} + (\ sin {\ lambda} \ cdot \ cos { \ varphi}) \ mathbf {j} + (\ sin {\ varphi}) \ mathbf {k} \ ,.}

Se pot scrie vectori unitari ortogonali în direcțiile azimutale și polare ale sferei

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} (\ lambda, \ varphi) & = \ sec {\ varphi} {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ lambda}} = (- \ sin {\ lambda}) \ mathbf {i} + (\ cos {\ lambda}) \ mathbf {j} \ ,, \\ [8pt] {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} (\ lambda, \ varphi) & = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ varphi}} = (- \ cos {\ lambda} \ cdot \ sin {\ varphi}) \ mathbf {i} + (- \ sin {\ lambda} \ cdot \ sin {\ varphi}) \ mathbf {j} + (\ cos {\ varphi}) \ mathbf {k} \ ,, \ end {align} }}

care au produsele scalare

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} \ cdot \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} \ cdot \ mathbf {r} = 0 \ ,.}

$λ̂$ pentru constantă $φ$ urmărește o paralelă de latitudine, în timp ce $φ̂$ pentru constantă $λ$ urmărește un meridian de longitudine și împreună generează un plan tangent la sferă.

Vectorul unitar

{\ displaystyle \ mathbf {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} (\ lambda, \ varphi) = (\ sin {\ beta}) {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} + (\ cos { \ beta}) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}

are un unghi constant $β$ cu vectorul unitar $φ̂$ pentru orice $λ$ și $φ$ , deoarece produsul lor scalar este

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} = \ cos {\ beta} \ ,.}

Un loxodrom este definit ca o curbă pe sferă care are un unghi constant $β$ cu toate meridianele de longitudine și, prin urmare, trebuie să fie paralel cu vectorul unitar $β̂$ . Ca rezultat, o lungime diferențială $ds de$ -a lungul loxodromului va produce o deplasare diferențială

{\ displaystyle {\ begin {align} d \ mathbf {r} & = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \, ds \\ [8px] {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} { \ partial \ lambda}} \, d \ lambda + {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ varphi}} \, d \ varphi & = ((\ sin {\ beta}) \, { \ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} + (\ cos {\ beta}) \, {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}) ds \\ [8px] (\ cos {\ varphi}) \ , d \ lambda \, {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} + d \ varphi \, {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} & = (\ sin {\ beta}) \, ds \ , {\ boldsymbol {\ hat {\ lambda}}} + (\ cos {\ beta}) \, ds \, {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} \\ [8px] ds & = {\ frac { \ cos {\ varphi}} {\ sin {\ beta}}} \, d \ lambda = {\ frac {d \ varphi} {\ cos {\ beta}}} \\ [8px] {\ frac {d \ lambda} {d \ varphi}} & = \ tan {\ beta} \ cdot \ sec {\ varphi} \\ [8px] \ lambda (\ varphi \, | \, \ beta, \ lambda _ {0}, \ varphi _ {0}) & = \ tan \ beta \ cdot {\ big (} \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi) - \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi _ {0}) {\ big) } + \ lambda _ {0} \\ [8px] \ varphi (\ lambda \, | \, \ beta, \ lambda _ {0}, \ varphi _ {0}) & = \ arcsin {\ Big (} \ tanh {\ big (} (\ lambda - \ lamb da _ {0}) \ cot \ beta + \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi _ {0}) {\ big)} {\ Big)} \ end {align}}}

Cu această relație între $λ$ și $φ$ , vectorul de rază devine o funcție parametrică a unei variabile, trasând loxodromul pe sferă:

{\ displaystyle \ mathbf {r} (\ lambda \, | \, \ beta, \ lambda _ {0}, \ varphi _ {0}) = {\ Big (} \ cos {\ lambda} \ cdot \ operatorname { sech} \ psi {\ Big)} \ mathbf {i} + {\ Big (} \ sin {\ lambda} \ cdot \ operatorname {sech} \ psi {\ Big)} \ mathbf {j} + {\ Big ( } \ tanh \ psi {\ Big)} \ mathbf {k} \ ,,}

Unde

{\ displaystyle \ psi \ equiv (\ lambda - \ lambda _ {0}) \ cot \ beta + \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi _ {0}) = \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi) }

este latitudinea izometrică . Latitudinile geocentrice și izometrice sunt legate între ele prin funcția Gudermanniană ,

{\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {gd} (\ psi) \ ,.}

În linia Rhumb, deoarece latitudinea geocentrică tinde spre poli, $φ \to \pm π / 2$ , $sin φ \to \pm 1$ , latitudinea izometrică $artanh (sin φ) \to \pm \infty$ , iar longitudinea $λ$ crește fără legătură, înconjurând sfera atât de repede într-o spirală spre pol, în timp ce se tinde la o lungime totală a arcului finită Δ $s$ dată de

{\ displaystyle \ Delta s = {\ big |} (\ pm \ pi / 2- \ varphi _ {0}) \ cdot \ sec \ beta {\ big |}}

Conexiune la proiecția Mercator

Fie $λ$ longitudinea unui punct de pe sferă și $φ$ latitudinea acestuia. Apoi, dacă definim coordonatele hărții proiecției Mercator ca

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ lambda - \ lambda _ {0} \ ,, \\ y & = \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi) \ ,, \ end {align}}}

un loxodrom cu rulment constant $β$ din nordul adevărat va fi o linie dreaptă, deoarece (folosind expresia din secțiunea anterioară)

{\ displaystyle y = mx}

cu o pantă

{\ displaystyle m = \ cot \ beta \ ,.}

Găsirea loxodromurilor dintre două puncte date se poate face grafic pe o hartă Mercator sau prin rezolvarea unui sistem neliniar de două ecuații în cele două necunoscute $m = cot β$ și $λ 0$ . Există infinit de multe soluții; cea mai scurtă este cea care acoperă diferența de longitudine reală, adică nu face revoluții suplimentare și nu merge „în sens greșit”.

Distanța dintre două puncte $Δ s$ , măsurată de-a lungul unui loxodrom, este pur și simplu valoarea absolută a secantei rulmentului (azimut) de distanța nord-sud (cu excepția cercurilor de latitudine pentru care distanța devine infinită):

{\ displaystyle \ Delta s = R \, {\ big |} (\ varphi - \ varphi _ {0}) \ cdot \ sec \ beta {\ big |}}

unde $R$ este una dintre razele medii ale pământului .

Cerere

Utilizarea acestuia în navigație este direct legată de stilul sau proiecția anumitor hărți de navigație. O linie romb apare ca o linie dreaptă pe o hartă de proiecție Mercator .

Numele este derivat din franceza veche sau respectiv din spaniolă: „rumb” sau „rumbo”, o linie de pe diagramă care intersectează toate meridianele în același unghi. Pe o suprafață plană, aceasta ar fi cea mai mică distanță dintre două puncte. Pe suprafața Pământului, la latitudini mici sau pe distanțe scurte, acesta poate fi folosit pentru trasarea traseului unui vehicul, aeronavă sau navă. Pe distanțe mai mari și / sau la latitudini mai mari, traseul cercului mare este semnificativ mai scurt decât linia rombului dintre aceleași două puncte. Cu toate acestea, inconvenientul de a fi nevoie să schimbați rulmenții continuu în timp ce călătoriți pe o rută circulară mare face ca navigarea pe linia rombului să fie atrăgătoare în anumite cazuri.

Punctul poate fi ilustrat cu un pasaj est-vest de peste 90 de grade longitudine de-a lungul ecuatorului , pentru care distanța cercului mare și a liniei rombului sunt aceleași la 5.400 mile marine (10.000 km). La 20 de grade nord, distanța cercului mare este de 8,042 km (4,997 mile), în timp ce distanța liniei rombului este de 8,166 km (5,074 mile), aproximativ 1+1 ⁄ 2 procente mai departe. Dar la 60 de grade nord, distanța cercului mare este de 3.999 km (2.485 mile), în timp ce linia rombului este de 4.300 km (2.700 mile), o diferență de 8+1 ⁄ 2 la sută. Un caz mai extrem este ruta aeriană dintre New York și Hong Kong , pentru care calea liniei rombului este de 18.700 mile marine (9.700 mile marine). Traseul cercului mare peste Polul Nord este de 7.000 mile marine (13.000 km), sau 5+Cu 1 ⁄ 2 ore mai puțin timp de zbor la o viteză tipică de croazieră .

Unele hărți vechi din proiecția Mercator au grile compuse din linii de latitudine și longitudine, dar prezintă și linii romb care sunt orientate direct spre nord, la un unghi drept față de nord sau la un unghi față de nord, care este o fracție rațională simplă a un unghi drept. Aceste linii rombale ar fi trasate astfel încât să convergă în anumite puncte ale hărții: liniile care merg în fiecare direcție ar converge în fiecare dintre aceste puncte. Vezi trandafirul busolei . Astfel de hărți ar fi fost neapărat în proiecția Mercator, prin urmare nu toate hărțile vechi ar fi fost capabile să arate marcaje pe linia rombului.

Liniile radiale de pe un trandafir de busolă se mai numesc și romburi . Expresia „naviga pe romb” a fost folosită în secolele 16-19 pentru a indica o anumită direcție a busolei.

Navigatorii timpurii din perioada de dinaintea invenției cronometrului marin foloseau cursuri de linie rombală pe pasaje lungi ale oceanului, deoarece latitudinea navei putea fi stabilită cu precizie prin observarea Soarelui sau a stelelor, dar nu exista o modalitate exactă de a determina longitudinea. Nava ar naviga spre nord sau sud până când se va ajunge la latitudinea destinației, iar nava va naviga apoi spre est sau vest de-a lungul liniei romb (de fapt o paralelă , care este un caz special al liniei romb), menținând o latitudine constantă și înregistrând estimări regulate ale distanței parcurse până când s-au văzut dovezi de uscat.

Generalizări

Pe sfera Riemann

Suprafața Pământului poate fi înțeleasă matematic ca o sferă Riemann , adică ca o proiecție a sferei către planul complex . În acest caz, loxodromurile pot fi înțelese ca anumite clase de transformări Möbius .

Sferoid

Formularea de mai sus poate fi ușor extinsă la un sferoid . Cursul liniei rombului se găsește doar prin utilizarea latitudinii izometrice elipsoidale . În mod similar, distanțele se găsesc prin înmulțirea lungimii arcului meridian elipsoidal cu secanta azimutului.

Vezi si

Referințe

Notă: acest articol încorporează text din ediția din 1878 a The Globe Encyclopaedia of Universal Information , o lucrare din domeniul public

Lecturi suplimentare

Monmonier, Mark (2004). Romburi și războaie de hărți. O istorie socială a proiecției Mercator . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 9780226534329.

linkuri externe

Titluri constante și linii rhumb la MathPages.
RhumbSolve (1) , un utilitar pentru calcule ellipsoidale de linii rombale ( o componentă a GeographicLib ); documentație suplimentară .
O versiune online a RhumbSolve .
Hârtie cu algoritmi de navigație : navigațiile.
Graficul de lucru - algoritmi de navigație Graficul de lucru software gratuit: linia Rhumb, cercul mare, navigație compusă, părți meridionale. Linii de poziție Pilotare - curenți și fixare de coastă.
Mathworld Loxodrome.

Languages

In other projects