Cerc Riemannian - Riemannian circle
În teoria spațiului metric și geometria Riemanniană , cercul Riemannian este un cerc mare echipat cu distanța sa de cerc mare . Este cercul echipat cu metrica sa Riemanniană intrinsecă a unei varietăți compacte unidimensionale de lungime totală 2 π sau metrica extrinsecă obținută prin restricționarea metricii intrinseci pe sferă, spre deosebire de metrica extrinsecă obținută prin restricția euclidiană metric la cercul unității din plan . Astfel, distanța dintre o pereche de puncte este definită ca lungimea celei mai scurte dintre cele două arcuri în care cercul este partiționat de cele două puncte.
Este numit după matematicianul german Bernhard Riemann .
Proprietăți
Diametrul cercului riemanniene este π, în contrast cu valoarea obișnuită de 2 pentru diametrul euclidiană al cercului unitate.
Includerea cercului Riemannian ca ecuator (sau orice cerc mare ) al 2-sferei de curbură Gaussiană constantă +1, este o încorporare izometrică în sensul de spații metrice (nu există nicio încorporare izometrică a cercului Riemannian în spațiul Hilbert in acest sens).
Conjectura plină a lui Gromov
O problemă deschisă de multă vreme, pusă de Mihail Gromov , se referă la calculul ariei de umplere a cercului Riemannian. Zona de umplere este conjecturată a fi 2 π , o valoare atinsă de emisfera cu o curbură gaussiană constantă +1.
Referințe
- Gromov, M .: „Umplerea varietăților riemanniene”, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.