Inel de funcții simetrice - Ring of symmetric functions

În algebră și în special în combinatorie algebrică , inelul funcțiilor simetrice este o limită specifică a inelelor de polinoame simetrice în n nedeterminate, deoarece n merge la infinit. Acest inel servește ca structură universală în care relațiile dintre polinoamele simetrice pot fi exprimate într-un mod independent de numărul n de nedeterminate (dar elementele sale nu sunt nici polinoame, nici funcții). Printre altele, acest inel joacă un rol important în teoria reprezentării grupului simetric .

Inelului funcțiilor simetrice i se poate da un coproduct și o formă biliniară, transformându-l într-o algebră Hopf gradată autoadjunctă pozitivă, care este atât comutativă, cât și co-comutativă.

Polinoame simetrice

Studiul funcțiilor simetrice se bazează pe cel al polinoamelor simetrice. Într-un inel polinomial într-un set finit de indeterminate, un polinom este numit simetric dacă rămâne același ori de câte ori indeterminatele sunt permutate în vreun fel. Mai formal, există o acțiune prin automorfisme inelare ale grupului simetric S _n pe inelul polinomial în n nedeterminate, în cazul în care o permutare acționează asupra unui polinom prin substituirea simultană fiecare dintre nedeterminate pentru o altă funcție de permutarea utilizat. De invarianții pentru această acțiune formează subinel de polinoame simetrice. Dacă nedeterminatele sunt X ₁ , ..., X _n , atunci sunt exemple de astfel de polinoame simetrice

${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}, \,}$

${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + \ cdots + X_ {n} ^ {3}, \,}$

și

${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}. \,}$

Un exemplu ceva mai complicat este X ₁ ³ X ₂ X ₃ + X ₁ X ₂ ³ X ₃ + X ₁ X ₂ X ₃ ³ + X ₁ ³ X ₂ X ₄ + X ₁ X ₂ ³ X ₄ + X ₁ X ₂ X ₄ ³ + ... unde sumarea continuă să includă toate produsele cu puterea a treia a unei variabile și alte două variabile. Există multe tipuri specifice de polinoame simetrice, cum ar fi polinoame simetrice elementare , polinoame simetrice de sumă de putere , polinoame simetrice monomiale , polinoame simetrice omogene complete și polinoame Schur .

Inelul funcțiilor simetrice

Majoritatea relațiilor dintre polinoamele simetrice nu depind de numărul n de nedeterminate, în afară de faptul că unele polinoame din relație ar putea necesita ca n să fie suficient de mare pentru a fi definite. De exemplu , identitatea lui Newton pentru a treia sumă de putere polinomul p ₃ conduce la

${\ displaystyle p_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {3} -3e_ {2} ( X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + 3e_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ,}$

unde denotă polinoame simetrice elementare; această formulă este valabilă pentru toate numerele naturale n , iar singura dependență notabilă de ea este că e _k ( X ₁ , ..., X _n ) = 0 ori de câte ori n  <  k . Cineva ar dori să scrie acest lucru ca o identitate ${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ displaystyle p_ {3} = e_ {1} ^ {3} -3e_ {2} e_ {1} + 3e_ {3}}$

asta nu depinde deloc de n , iar acest lucru se poate face în inelul funcțiilor simetrice. În acel inel există elemente nenule e _k pentru toate numerele întregi k  ≥ 1 și orice element al inelului poate fi dat de o expresie polinomială în elementele e _k .

Definiții

Un inel de funcții simetrice poate fi definit peste orice inel comutativ R și va fi notat Λ _R ; cazul de bază este pentru R  =  Z . Inelul Λ _R este de fapt o R - algebră gradată . Există două construcții principale pentru aceasta; primul dat mai jos poate fi găsit în (Stanley, 1999), iar al doilea este în esență cel dat în (Macdonald, 1979).

Ca un inel al seriei formale de putere

Cea mai ușoară (deși oarecum grea) construcție începe cu inelul seriei formale de putere peste R în infinit (numărabil) multe nedeterminate; elementele acestui inel de serie de puteri sunt sume formale infinite de termeni, fiecare dintre aceștia constând dintr-un coeficient din R înmulțit cu un monomial, unde fiecare monomiu este un produs al multor puteri finite ale nedeterminate. Una definește Λ _R ca subinelul său constând din acele serii de putere S care satisfac ${\ displaystyle R [[X_ {1}, X_ {2}, ...]]}$

1. S este invariant sub orice permutare a nedeterminaților și
2. gradele monomiilor care apar în S sunt mărginite.

Rețineți că, din cauza celei de-a doua condiții, seriile de putere sunt folosite aici numai pentru a permite infinit mai mulți termeni ai unui grad fix, mai degrabă decât pentru a însuma termeni ai tuturor gradelor posibile. Permiterea acestui lucru este necesară deoarece un element care conține de exemplu un termen X ₁ ar trebui să conțină și un termen X _i pentru fiecare i  > 1 pentru a fi simetric. Spre deosebire de întregul inel al seriei de putere, subinelul Λ _R este gradat de gradul total de monomii: datorită condiției 2, fiecare element al lui Λ _R este o sumă finită a elementelor omogene ale lui Λ _R (care sunt ele însele sume infinite de termeni egali grad). Pentru fiecare k  ≥ 0, elementul e _k  ∈ Λ _R este definit ca suma formală a tuturor produselor cu k nedeterminate distincte, care este clar omogenă de gradul k .

Ca limită algebrică

O altă construcție a lui Λ _R durează ceva mai mult pentru a fi descrisă, dar indică mai bine relația cu inelele R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} ale polinoamelor simetrice în n nedeterminate. Pentru fiecare n există un omomorfism inelar surjectiv ρ _n din inelul analog R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} cu încă unul nedeterminat pe R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} , definit prin setarea ultimului nedeterminat X _{n +1} la 0. Deși ρ _n are un nucleu non-trivial, elementele nenule ale nucleului respectiv au grad cel puțin (sunt multipli ai lui X ₁ X ₂ ... X _{n +1} ). Aceasta înseamnă că restricția lui ρ _n la elemente de grad cel mult n este o hartă liniară bijectivă, iar ρ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} )) =  e _k ( X ₁ , .. ., X _n ) pentru toate k  ≤  n . Inversul acestei restricții poate fi extins în mod unic la un homomorfism inelar φ _{n de} la R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} la R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} , după cum urmează, de exemplu, din teorema fundamentală a polinoamelor simetrice . Deoarece imaginile φ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _n )) =  e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) pentru k  = 1, ..., n sunt încă algebric independente peste  R , homomorfismul φ _n este injectiv și poate fi privit ca o incluziune (oarecum neobișnuită) a inelelor; aplicarea φ _n unui polinom echivalează cu adăugarea tuturor monomiilor care conțin noul nedeterminat obținut prin simetrie din monomii deja prezenți. Inelul Λ _R este apoi „unirea” ( limita directă ) a tuturor acestor inele supuse acestor incluziuni. Deoarece toate φ _n sunt compatibile cu gradarea după gradul total al inelelor implicate, Λ _R obține structura unui inel gradat. ${\ displaystyle n + 1}$

Această construcție diferă ușor de cea din (Macdonald, 1979). Această construcție folosește doar morfismele surjective ρ _n fără a menționa morfismele injective φ _n : construiește separat componentele omogene ale lui Λ _R și dotează suma lor directă cu o structură inelară folosind ρ _n . De asemenea, se observă că rezultatul poate fi descris ca o limită inversă în categoria inelelor gradate . Cu toate acestea, această descriere ascunde o proprietate importantă tipică pentru o limită directă a morfismelor injective, și anume că fiecare element individual (funcție simetrică) este deja reprezentat fidel într-un obiect folosit în construcția limită, aici un inel R [ X ₁ , ... , X _d ] ^{S _d} . Este suficient să luăm pentru d gradul funcției simetrice, deoarece partea din gradul d a acelui inel este mapată izomorf cu inele cu mai multe nedeterminări cu φ _n pentru toate n  ≥  d . Aceasta implică faptul că pentru studierea relațiilor dintre elementele individuale, nu există nicio diferență fundamentală între polinoamele simetrice și funcțiile simetrice.

Definirea funcțiilor simetrice individuale

Numele „funcție simetrică” pentru elementele lui Λ _R este un nume greșit : în niciuna dintre construcții nu sunt funcții elemente și, de fapt, spre deosebire de polinoamele simetrice, nicio funcție de variabile independente nu poate fi asociată cu astfel de elemente (de exemplu, e ₁ ar fi suma tuturor infinitelor variabile, care nu este definită decât dacă sunt impuse restricții asupra variabilelor). Cu toate acestea, numele este tradițional și bine stabilit; poate fi găsit atât în ​​(Macdonald, 1979), care spune (nota de subsol la p. 12)

Elementele lui Λ (spre deosebire de cele ale lui Λ _n ) nu mai sunt polinoame: sunt sume formale infinite de monomii. Prin urmare, am revenit la terminologia mai veche a funcțiilor simetrice.

(aici Λ _n denotă inelul polinomilor simetrici în n nedeterminate), precum și în (Stanley, 1999).

Pentru a defini o funcție simetrică trebuie fie să indicați direct o serie de puteri ca în prima construcție, fie să dați un polinom simetric în n nedeterminat pentru fiecare număr natural n într-un mod compatibil cu a doua construcție. O expresie într-un număr nespecificat de indeterminate poate face ambele, de exemplu

${\ displaystyle e_ {2} = \ sum _ {i <j} X_ {i} X_ {j} \,}$

poate fi luată ca definiție a unei funcții simetrice elementare dacă numărul de nedeterminate este infinit sau ca definiție a unui polinom simetric elementar în orice număr finit de nedeterminate. Polinoamele simetrice pentru aceeași funcție simetrică ar trebui să fie compatibile cu morfismele ρ _n (scăderea numărului de nedeterminări se obține prin setarea unora dintre ele la zero, astfel încât coeficienții oricărui monomial din restul nedeterminaților să fie neschimbat), iar gradul lor ar trebui să fie rămâne mărginit. (Un exemplu de familie de polinoame simetrice care eșuează în ambele condiții este ; familia eșuează doar a doua condiție.) Orice polinom simetric în n nedeterminat poate fi utilizat pentru a construi o familie compatibilă de polinoame simetrice, utilizând morfismele ρ _i pentru i  <  n pentru a micșora numărul de nedeterminate, și φ _i pentru i  ≥  n pentru a mări numărul de nedeterminate (ceea ce echivalează cu adăugarea tuturor monomiilor în indeterminări noi obținute prin simetrie din monomii deja prezenți). ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} +1)}$

Următoarele sunt exemple fundamentale de funcții simetrice.

• Funcțiile simetrice monomiale m _α . Să presupunem că α = (α ₁ , α ₂ , ...) este o succesiune de numere întregi non-negative, dintre care doar finit multe dintre ele sunt diferite de zero. Atunci putem considera monomiul definit de α: X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} .... Atunci m _α este funcția simetrică determinată de X ^α , adică suma tuturor monomiilor obținuți din X ^α prin simetrie. Pentru o definiție formală, definiți β ~ α pentru a însemna că secvența β este o permutare a secvenței α și set

${\ displaystyle m _ {\ alpha} = \ sum \ nolimits _ {\ beta \ sim \ alpha} X ^ {\ beta}.}$

Această funcție simetrică corespunde polinomului simetric monomial m _α ( X ₁ , ..., X _n ) pentru orice n suficient de mare pentru a avea monomialul X ^α . Funcțiile simetrice monomiale distincte sunt parametrizate de partițiile întregi (fiecare m _α are un monomial reprezentativ unic X ^λ cu părțile λ _i în ordine slab descrescătoare). Deoarece orice funcție simetrică care conține oricare dintre monomii unor m _α trebuie să le conțină pe toate cu același coeficient, fiecare funcție simetrică poate fi scrisă ca o combinație R- liniară a funcțiilor simetrice monomiale, iar funcțiile simetrice monomiale distincte formează, așadar, o bază din Λ _R ca R - modul .

• Funcțiile simetrice elementare e _k , pentru orice număr natural k ; unul are e _k  =  m _α unde . Ca serie de puteri, aceasta este suma tuturor produselor distincte din k nedeterminate distincte. Această funcție simetrică corespunde polinomului simetric elementar e _k ( X ₁ , ..., X _n ) pentru orice n  ≥  k .${\ displaystyle \ textstyle X ^ {\ alpha} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} X_ {i}}$
• Suma puterii funcții simetrice p _k , pentru orice număr întreg pozitiv k ; unul are p _k  =  m _{( k )} , funcția simetrică monomială pentru monomiul X ₁ ^k . Această funcție simetrică corespunde puterii sumar polinom simetric p _k ( X ₁ , ..., X _n ) =  X ₁ ^k + ... + X _n ^k pentru orice n  ≥ 1.
• Funcțiile simetrice omogene complete h _k , pentru orice număr natural k ; h _k este suma tuturor funcțiilor simetrice monomiale m _α unde α este o partiție a lui  k . Ca serie de putere, aceasta este suma tuturor monomiilor de grad k , care este motivul numelui său. Această funcție simetrică corespunde polinomului simetric omogen complet h _k ( X ₁ , ..., X _n ) pentru orice n  ≥  k .
• Cele Schur Funcțiile s _λ pentru orice λ partiție, care corespunde SCHUR polinom s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) pentru orice n suficient de mare pentru a avea monom X ^X .

Nu există funcție simetrică sumă de putere p ₀ : deși este posibil (și în unele contexte natural) să se definească ca polinom simetric în n variabile, aceste valori nu sunt compatibile cu morfismele ρ _n . „Discriminantul” este un alt exemplu de expresie care dă un polinom simetric pentru toate n , dar care nu definește nicio funcție simetrică. Expresiile care definesc polinoamele Schur ca un coeficient de polinoame alternative sunt oarecum similare cu cele pentru discriminant, dar polinoamele s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) se dovedesc a fi compatibile pentru variația n și, prin urmare, definesc un funcție simetrică. ${\ displaystyle \ textstyle p_ {0} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ^ {0} = n}$${\ displaystyle \ textstyle (\ prod _ {i <j} (X_ {i} -X_ {j})) ^ {2}}$

Un principiu care leagă polinoame simetrice și funcții simetrice

Pentru orice funcție simetrică P , polinoamele simetrice corespunzătoare în n nedeterminate pentru orice număr natural n pot fi desemnate prin P ( X ₁ , ..., X _n ). A doua definiție a inelului funcțiilor simetrice implică următorul principiu fundamental:

Dacă P și Q sunt funcții simetrice de grad d , atunci una are identitatea funcțiilor simetrice dacă și numai una are identitatea P ( X ₁ , ..., X _d ) =  Q ( X ₁ , ..., X _d ) a polinoamelor simetrice în d nedeterminate. În acest caz se are de fapt P ( X ₁ , ..., X _n ) =  Q ( X ₁ , ..., X _n ) pentru orice număr n de nedeterminate.${\ displaystyle P = Q}$

Acest lucru se datorează faptului că se poate reduce întotdeauna numărul de variabile înlocuind zero cu unele variabile și se poate crește numărul de variabile prin aplicarea homomorfismelor φ _n ; definiția acestor homomorfisme asigură că φ _n ( P ( X ₁ , ..., X _n )) =  P ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) (și similar pentru Q ) ori de câte ori n  ≥  d . A se vedea o dovadă a identității lui Newton pentru o aplicare eficientă a acestui principiu.

Proprietățile inelului funcțiilor simetrice

Identități

Inelul funcțiilor simetrice este un instrument convenabil pentru scrierea identităților dintre polinoamele simetrice care sunt independente de numărul de nedeterminate: în Λ _R nu există un astfel de număr, totuși, prin principiul de mai sus, orice identitate din Λ _R dă automat identităților inelele simetrice polinoame peste R în orice număr de nedeterminate. Unele identități fundamentale sunt

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} e_ {i} h_ {ki} = 0 = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} h_ {i} e_ {ki} \ quad {\ mbox {for all}} k> 0,}$

care prezintă o simetrie între funcțiile simetrice omogene elementare și complete; aceste relații sunt explicate sub polinom simetric complet omogen .

${\ displaystyle ke_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i-1} p_ {i} e_ {ki} \ quad {\ mbox {for all}} k \ geq 0,}$

a identitățile Newton , care au , de asemenea , o variantă pentru funcții complete , simetrice omogene:

${\ displaystyle kh_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} h_ {ki} \ quad {\ mbox {for all}} k \ geq 0.}$

Proprietăți structurale ale lui Λ _R

Proprietățile importante ale lui include _R includ următoarele.

1. Setul de funcții simetrice monomiale parametrizat prin pereți despărțitori formează o bază de Λ _R ca gradate R - module , cele parametrizat prin partițiile d fiind omogene de grad d ; același lucru este valabil și pentru setul de funcții Schur (parametrizate și de partiții).
2. Λ _R este izomorf ca o R -algebră gradată la un inel polinomial R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] în infinit de multe variabile, unde lui Y _{i i} se dă gradul  i pentru toate i  > 0, un izomorfism fiind cel care trimite Y _i la e _i  ∈ Λ _R pentru fiecare  i .
3. Există o involutory automorphism ω a Λ _R că intercromozomiale elementare funcții simetrice e _i și complet omogen simetric funcția h _i pentru toate i . De asemenea, trimite fiecare funcție simetrică sumă de putere p _i la (−1) ^{i −1}  p _i și permite funcțiile Schur între ele, schimbând s _λ și s _{λ ^t} unde λ ^t este partiția de transpunere a lui λ.

Proprietatea 2 este esența teoremei fundamentale a polinoamelor simetrice . Implică imediat alte proprietăți:

• Subinel de Λ _R generate de elementele sale de gradul cel mai n este izomorf cu inelul polinoamelor simetrice peste R în n variabile;
• Seria Hilbert – Poincaré a lui Λ _R este , funcția generatoare a partițiilor întregi (aceasta rezultă și din proprietatea 1);${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-t ^ {i}}}}$
• Pentru fiecare n  > 0, modulul R format din partea omogenă a lui Λ _R de grad n , modulează intersecția sa cu subringul generat de elementele sale de grad strict mai mici decât n , este liber de rangul 1 și (imaginea ) e _n este un generator al acestui modul R ;
• Pentru fiecare familie de funcții simetrice ( f _i ) _{i > 0} în care f _i este omogenă de gradul  i și dă un generator al modulului R liber al punctului anterior (pentru tot i ), există un izomorfism alternativ al R gradat -algebre de la R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] ca mai sus la Λ _R care trimite Y _i la f _i ; cu alte cuvinte, familia ( f _i ) _{i > 0} formează un set de generatoare polinomiale libere de Λ _R .

Acest punct final se aplică în special familiei ( h _i ) _{i > 0} a funcțiilor simetrice omogene complete. Dacă R conține câmpul  de numere raționale , se aplică , de asemenea , familia ( p _i ) _{i > 0} din suma puterii funcții simetrice. Aceasta explică de ce primele n elemente ale fiecăreia dintre aceste familii definesc seturi de polinoame simetrice în n variabile care sunt generatori liberi de polinoame ai acelui inel de polinoame simetrice. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Faptul că funcțiile simetrice omogene complete formează un set de generatori polinomiali liberi de Λ _R arată deja existența unui automorfism ω trimiterea funcțiilor simetrice elementare la cele omogene complete, așa cum se menționează în proprietatea 3. Faptul că ω este o involuție lui Λ _R rezultă din simetria dintre funcțiile simetrice omogene elementare și complete exprimate de primul set de relații date mai sus.

Inelul de funcții simetrice Λ _Z este inelul Exp a numerelor întregi Z . Este, de asemenea, un inel lambda într-un mod natural; de fapt este inelul lambda universal dintr-un singur generator.

Generarea de funcții

Prima definiție a lui as _R ca subinel al permite funcțiilor de generare a mai multor secvențe de funcții simetrice să fie exprimate elegant. Contrar relațiilor menționate anterior, care sunt interne lui Λ _R , aceste expresii implică operații care au loc în R [[ X ₁ , X ₂ , ...; t ]], dar în afara subinelului său Λ _R [[ t ]], deci sunt semnificative numai dacă funcțiile simetrice sunt privite ca serii formale de putere în nedeterminate X _i . Vom scrie „( X )” după funcțiile simetrice pentru a sublinia această interpretare. ${\ displaystyle R [[X_ {1}, X_ {2}, ...]]}$

Funcția generatoare pentru funcțiile simetrice elementare este

${\ displaystyle E (t) = \ sum _ {k \ geq 0} e_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (1 + X_ {i} t).}$

În mod similar, există funcții simetrice omogene complete

${\ displaystyle H (t) = \ sum _ {k \ geq 0} h_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ { k \ geq 0} (X_ {i} t) ^ {k} \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-X_ {i} t}}. }$

Faptul evident care explică simetria dintre funcțiile simetrice omogene elementare și complete. Funcția generatoare pentru funcțiile simetrice sumă de putere poate fi exprimată ca ${\ displaystyle E (-t) H (t) = 1 = E (t) H (-t)}$

${\ displaystyle P (t) = \ sum _ {k> 0} p_ {k} (X) t ^ {k} = \ sum _ {k> 0} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (X_ {i} t) ^ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {X_ {i} t} {1-X_ {i} t}} = {\ frac { tE '(- t)} {E (-t)}} = {\ frac {tH' (t)} {H (t)}}}$

((Macdonald, 1979) definește P ( t ) ca Σ _{k > 0}  p _k ( X ) t ^{k −1} și, prin urmare, expresiile sale nu au un factor t față de cele date aici). Cele două expresii finale, care implică derivatele formale ale funcțiilor generatoare E ( t ) și H ( t ), implică identitățile lui Newton și variantele acestora pentru funcțiile simetrice omogene complete. Aceste expresii sunt uneori scrise ca

${\ displaystyle P (t) = - t {\ frac {d} {dt}} \ log (E (-t)) = t {\ frac {d} {dt}} \ log (H (t)), }$

care echivalează cu același lucru, dar necesită ca R să conțină numerele raționale, astfel încât logaritmul seriei de putere cu termenul constant 1 să fie definit (de ). ${\ displaystyle \ textstyle \ log (1-tS) = - \ sum _ {i> 0} {\ frac {1} {i}} (tS) ^ {i}}$

Vezi si

• Identitățile lui Newton
• Funcția cvasimetrică

Referințe

• Macdonald, Funcții simetrice IG și polinoame Hall. Monografii matematice Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 pp. ISBN  0-19-853530-9 MR 553598
• Macdonald, Funcții simetrice IG și polinoame Hall. A doua editie. Monografii matematice Oxford. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x + 475 pp.  ISBN  0-19-853489-2 MR 1354144
• Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics , Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN  0-521-56069-1 (Hardback) ISBN  0-521-78987-7 (Paperback).