Funcția de sinceritate - Sinc function

În matematică , fizică și inginerie , funcția sinc , notată cu sinc ( x ) , are două forme, normalizată și neormalizată.

Funcția sinc normalizată (albastră) și funcția sinc normalizată (roșie) afișate pe aceeași scară

În matematică, funcția sinc istorică nenormalizată este definită pentru x ≠ 0 de

${\ displaystyle \ operatorname {sinc} x = {\ frac {\ sin x} {x}}.}$

Alternativ, funcția sinc nenormalizată este adesea numită funcția de eșantionare , indicată ca Sa ( x ).

În procesarea digitală a semnalului și teoria informației , funcția sinc normalizată este definită în mod obișnuit pentru x ≠ 0 de

${\ displaystyle \ operatorname {sinc} x = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}.}$

În ambele cazuri, valoarea la x = 0 este definită ca fiind valoarea limitativă

${\ displaystyle \ operatorname {sinc} 0: = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (ax)} {ax}} = 1}$pentru toate reale a ≠ 0 .

Normalizare determină integrala definită a funcției asupra numerelor reale la egal cu 1 ( în timp ce aceeași integrală a funcției sinc unnormalized are valoarea π ). Ca o altă proprietate utilă, zerourile funcției sinc normalizate sunt valorile întregi nenule ale lui x .

Funcția sinc normalizată este transformata Fourier a funcției dreptunghiulare fără scalare. Este utilizat în conceptul de reconstituire a unui semnal continuu limitat de bandă din probe uniform distanțate ale semnalului respectiv.

Singura diferență dintre cele două definiții constă în scalarea variabilei independente ( axa x ) cu un factor de π . În ambele cazuri, valoarea funcției la singularitatea amovibilă la zero este înțeleasă a fi valoarea limită 1. Funcția sinc este apoi analitică peste tot și, prin urmare, o funcție întreagă .

Termenul sinc / s ɪ N k / a fost introdus de Philip M. Woodward în 1952 articolul său „Teoria informației și a probabilității inversă în telecomunicații“, în care a spus că funcția „apare atât de des în analiza Fourier și aplicațiile sale că aceasta pare să merite o notare proprie "și cartea sa din 1953 Probabilitatea și teoria informației, cu aplicații la radar . Funcția în sine a fost derivată matematic în această formă de Lord Rayleigh în expresia sa ( Formula lui Rayleigh ) pentru funcția Bessel sferică de ordinul zero a primului tip.

Proprietăți

Maximele și minimele locale (puncte albe mici) ale funcției sincronizate, roșii sinc corespund intersecțiilor sale cu funcția cosinus albastru .

Partea reală a complexului sinc Re (sinc z ) = Re ( păcat z/z)

Partea imaginară a complexului sinc Im (sinc z ) = Im (păcat z/z)

Valoarea absolută | sinc z | = |păcat z/z|

La trecerile prin zero ale sinc unnormalized sunt la zero non multipli întregi de π , în timp ce trecerile prin zero ale sinc normalizate apar la nenuli întregi.

Maximele și minimele locale ale sinc-ului normalizat corespund intersecțiilor sale cu funcția cosinusului . Acesta este,păcat ( ξ )/ξ= cos ( ξ ) pentru toate punctele ξ unde derivata luipăcat ( x )/Xeste zero și astfel se ajunge la un extremum local. Acest lucru rezultă din derivata funcției sinc:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {sinc} (x) = {\ frac {\ cos (x) - \ operatorname {sinc} (x)} {x}}.}$

Primii termeni din seria infinită pentru coordonata x a n -a extremului cu coordonata x pozitivă sunt

${\ displaystyle x_ {n} = qq ^ {- 1} - {\ frac {2} {3}} q ^ {- 3} - {\ frac {13} {15}} q ^ {- 5} - { \ frac {146} {105}} q ^ {- 7} - \ cdots,}$

Unde

${\ displaystyle q = \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi,}$

și unde n ciudat duce la un minim local și chiar n la un maxim local. Din cauza simetrie în jurul y axei, există extremelor cu x coordonatele - x _n . În plus, există un maxim absolut la ξ ₀ = (0, 1) .

Funcția sinc normalizată are o reprezentare simplă ca produs infinit :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2}}} \ dreapta)}$

și este legat de funcția gamma Γ ( x ) prin formula de reflecție a lui Euler :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = {\ frac {1} {\ Gamma (1 + x) \ Gamma (1-x)}}.}$

Euler a descoperit că

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {2 ^ {n}}} \dreapta),}$

și din cauza identității produs-sumă

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {k} \ cos \ left ({\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ right) = {\ frac {1} {2 ^ {k- 1}}} \ sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k-1}} \ cos \ left ({\ frac {n-1/2} {2 ^ {k-1}}} x \ right ), \ quad \ forall k \ geq 1,}$

produsul Euler poate fi reformat ca sumă

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ cos \ left ({\ frac {n-1/2} {N}} x \ right).}$

Continuu transformata Fourier a sinc normalizat (la frecvența obișnuită) este RECT ( f ) :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sinc} (t) \, e ^ {- i2 \ pi ft} \, dt = \ operatorname {rect} (f),}$

unde funcția dreptunghiulară este 1 pentru argument între -1/2 și 1/2, și zero în caz contrar. Aceasta corespunde cu faptul că filtrul sinc este ideal ( cărămidă perete , adică răspuns la frecvență dreptunghiular) filtru trece-low .

Această integrală Fourier, inclusiv cazul special

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, dx = \ operatorname {rect} (0) = 1}$

este o integrală necorespunzătoare (vezi integrala Dirichlet ) și nu o integrală Lebesgue convergentă , ca

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \ right | \, dx = + \ infty.}$

Functia sinc normalizată are proprietăți care ideal în relație pentru a face interpolare din eșantionul bandlimited funcții:

• Este o funcție de interpolare, adică sinc (0) = 1 și sinc ( k ) = 0 pentru numărul întreg k zero .
• Funcțiile x _k ( t ) = sinc ( t - k ) ( k întreg) formează o bază ortonormală pentru funcții limitate de bandă în spațiul funcțional L ² ( R ) , cu cea mai mare frecvență unghiulară ω _H = π (adică cea mai mare frecvență a ciclului) f _H =1/2).

Alte proprietăți ale celor două funcții sinc includ:

• Sincronul normalizat este funcția Bessel sferică de ordinul zero, de primul fel, j ₀ ( x ) . Sinc normalizat este j ₀ (π x ) .
• unde Si ( x ) este integrala sinusoidală ,
  $${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \, d \ theta = \ operatorname {Si} (x).}$$

  
• λ sinc ( λx ) (nu normalizat) este una dintre cele două soluții liniar independente la ecuația diferențială ordinară liniară
  $${\ displaystyle x {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {dy} {dx}} + \ lambda ^ {2} xy = 0.}$$

  
  Celălalt este cos ( λx )/X, care nu este delimitat la x = 0 , spre deosebire de omologul său de funcție sinc.
• Folosind sinc normalizat,
  $${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ theta)} {\ theta ^ {2}}} \, d \ theta = \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sinc} ^ {2} (x) \, dx = 1,}$$

  
• ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \, d \ theta = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } \ left ({\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \ right) ^ {2} \, d \ theta = \ pi.}$
• ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ^ {3} (\ theta)} {\ theta ^ {3}}} \, d \ theta = {\ frac { 3 \ pi} {4}}.}$
• ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ^ {4} (\ theta)} {\ theta ^ {4}}} \, d \ theta = {\ frac { 2 \ pi} {3}}.}$
• Următoarea integrală necorespunzătoare implică funcția sinc (nu normalizată):
  $${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x ^ {n} +1}} = 1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {(kn) ^ {2} -1}} = {\ frac {1} {\ operatorname {sinc} ({\ frac {\ pi} {n}}) }}.}$$

  

Relația cu distribuția delta Dirac

Funcția sinc normalizată poate fi utilizată ca o funcție delta născută , ceea ce înseamnă că se menține următoarea limită slabă :

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {\ pi x} {a}} \ right)} {\ pi x}} = \ lim _ {a \ la 0} {\ frac {1} {a}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = \ delta (x).}$

Aceasta nu este o limită obișnuită, deoarece partea stângă nu converge. Mai degrabă înseamnă asta

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {a}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {x} { a}} \ right) \ varphi (x) \, dx = \ varphi (0)}$

pentru fiecare funcție Schwartz , așa cum se poate vedea din teorema inversiunii Fourier . În expresia de mai sus, ca o → 0 , numărul de oscilații pe unitatea de lungime a funcției sinc se apropie infinit. Cu toate acestea, expresia oscilează întotdeauna în interiorul unui plic de ±1/π x, indiferent de valoarea unui .

Acest lucru complică imaginea informală a lui δ ( x ) ca fiind zero pentru toate x, cu excepția punctului x = 0 , și ilustrează problema gândirii funcției delta ca o funcție mai degrabă decât ca o distribuție. O situație similară se regăsește în fenomenul Gibbs .

Suma

Toate sumele din această secțiune se referă la funcția sinc normalizată.

Suma sinc ( n ) peste numărul întreg n de la 1 la ∞ este egalăπ - 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {sinc} (n) = \ operatorname {sinc} (1) + \ operatorname {sinc} (2) + \ operatorname {sinc} (3 ) + \ operatorname {sinc} (4) + \ cdots = {\ frac {\ pi -1} {2}}.}$

Suma pătratelor este, de asemenea, egală π - 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {sinc} ^ {2} (n) = \ operatorname {sinc} ^ {2} (1) + \ operatorname {sinc} ^ {2 } (2) + \ operatorname {sinc} ^ {2} (3) + \ operatorname {sinc} ^ {2} (4) + \ cdots = {\ frac {\ pi -1} {2}}.}$

Când semnele adunărilor alternează și încep cu +, suma este egală cu1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, \ operatorname {sinc} (n) = \ operatorname {sinc} (1) - \ operatorname {sinc } (2) + \ operatorname {sinc} (3) - \ operatorname {sinc} (4) + \ cdots = {\ frac {1} {2}}.}$

Sumele alternante ale pătratelor și cuburilor sunt, de asemenea, egale 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, \ operatorname {sinc} ^ {2} (n) = \ operatorname {sinc} ^ {2} (1) - \ operatorname {sinc} ^ {2} (2) + \ operatorname {sinc} ^ {2} (3) - \ operatorname {sinc} ^ {2} (4) + \ cdots = {\ frac { 1} {2}},}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, \ operatorname {sinc} ^ {3} (n) = \ operatorname {sinc} ^ {3} (1) - \ operatorname {sinc} ^ {3} (2) + \ operatorname {sinc} ^ {3} (3) - \ operatorname {sinc} ^ {3} (4) + \ cdots = {\ frac { 1} {2}}.}$

Extinderea seriei

Seria Taylor a funcției sinc nenormalizate poate fi obținută din cea a sinusului:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n +1)!}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6} } {7!}} + \ Cdots}$

Seria converge pentru toate x . Versiunea normalizată urmează cu ușurință:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ pi x} {\ pi x}} = 1 - {\ frac {\ pi ^ {2} x ^ {2}} {3!}} + {\ frac {\ pi ^ {4} x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {\ pi ^ {6} x ^ {6}} {7!}} + \ Cdots}$

Euler a comparat faimos această serie cu extinderea formei de produs infinit pentru a rezolva problema de la Basel .

Dimensiuni superioare

Produsul funcțiilor sincronice 1-D oferă cu ușurință o funcție sinc multivariată pentru grila carteziană pătrată ( rețea ): sinc _C ( x , y ) = sinc ( x ) sinc ( y ) , a cărui transformată Fourier este funcția indicator a unui pătrat în spațiul de frecvență (adică, peretele de cărămidă definit în spațiul 2-D). Funcția sinc pentru o rețea non-cartesiană (de exemplu, rețea hexagonală ) este o funcție a cărei transformată Fourier este funcția indicator a zonei Brillouin a rețelei respective. De exemplu, funcția sinc pentru rețeaua hexagonală este o funcție a cărei transformată Fourier este funcția indicator a hexagonului unitar în spațiul de frecvență. Pentru o rețea non-carteziană, această funcție nu poate fi obținută printr-un produs tensor simplu. Cu toate acestea, formula explicită pentru funcția sinc pentru cuburile hexagonale , centrate pe corp , cubice centrate pe față și alte rețele cu dimensiuni superioare pot fi derivate în mod explicit folosind proprietățile geometrice ale zonelor Brillouin și conexiunea lor cu zonotopii .

De exemplu, o rețea hexagonală poate fi generată de intervalul liniar (întreg) al vectorilor

${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ end {bmatrix} } \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathbf {u} _ {2} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \\ - {\ frac {\ sqrt {3} } {2}} \ end {bmatrix}}.}$

Denotând

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} = {\ tfrac {2} {3}} \ mathbf {u} _ {1}, \ quad {\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} = {\ tfrac {2} {3}} \ mathbf {u} _ {2}, \ quad {\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} = - {\ tfrac {2} {3}} (\ mathbf {u} _ {1} + \ mathbf {u} _ {2}), \ quad \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}},}$

se poate obține funcția sinc pentru acest zăbrel hexagonal ca

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {sinc} _ {\ text {H}} (\ mathbf {x}) = {\ tfrac {1} {3}} {\ big (} & \ cos \ left (\ pi {\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf { x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \\ & {} + \ cos \ left (\ pi {\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \\ & {} + \ cos \ left (\ pi {\ boldsymbol {\ xi} } _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \ operatorname {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf {x} \ right) {\ big)}. \ end {align}}}$

Această construcție poate fi utilizată pentru proiectarea ferestrei Lanczos pentru rețele multidimensionale generale.

Vezi si

• Filtru anti-aliasing
• Filtru sincer
• Reeșantionarea Lanczos
• Formula de interpolare Whittaker – Shannon
• Shannon wavelet
• Proiecție tripartă Winkel (cartografie)
• Integrală trigonometrică
• Funcțiile trigonometrice ale matricilor
• Integrala Borwein
• Integrala Dirichlet

Referințe

linkuri externe

• Weisstein, Eric W. „Sinc Function” . MathWorld .