Sferă -Sphere

Sferă
Sphere wireframe 10deg 6r.svg
Tip Suprafață netedă Suprafață
algebrică
Euler char. 2
Grupul de simetrie O(3)
Suprafață 4πr 2
Volum 4/3πr 3

O sferă (din greaca veche σφαῖρα ( sphaîra )  „glob, minge”) este un obiect geometric care este un analog tridimensional cu un cerc bidimensional . O sferă este mulțimea de puncte care sunt toate la aceeași distanță r de un punct dat din spațiul tridimensional. Acest punct dat este centrul sferei, iar r este raza sferei. Cele mai vechi mențiuni cunoscute despre sfere apar în lucrările matematicienilor greci antici .

Sfera este un obiect fundamental în multe domenii ale matematicii . Sferele și formele aproape sferice apar și în natură și industrie. Bulele precum bulele de săpun iau o formă sferică în echilibru. Pământul este adesea aproximat ca o sferă în geografie , iar sfera cerească este un concept important în astronomie . Articolele fabricate, inclusiv vasele sub presiune și majoritatea oglinzilor și lentilelor curbate se bazează pe sfere. Sferele se rotesc lin în orice direcție, astfel încât majoritatea mingilor folosite în sport și jucării sunt sferice, la fel ca rulmenții cu bile .

Terminologie de bază

Două raze ortogonale ale unei sfere

După cum am menționat mai devreme, r este raza sferei; orice linie de la centru până la un punct de pe sferă se mai numește și rază.

Dacă o rază este extinsă prin centru spre partea opusă a sferei, se creează un diametru . Ca și raza, lungimea unui diametru se mai numește și diametru și se notează d . Diametrele sunt cele mai lungi segmente de linie care pot fi trasate între două puncte de pe sferă: lungimea lor este de două ori mai mare decât raza, d = 2 r . Două puncte de pe sferă conectate printr-un diametru sunt puncte antipodale unul altuia.

O sferă unitară este o sferă cu rază unitară ( r = 1). Pentru comoditate, sferele sunt adesea considerate ca având centrul la originea sistemului de coordonate, iar sferele din acest articol își au centrul la origine, cu excepția cazului în care este menționat un centru.

Un cerc mare de pe sferă are același centru și rază ca și sferă și o împarte în două emisfere egale .

Deși Pământul nu este perfect sferic, termenii împrumutați din geografie sunt convenabil să se aplice sferei. Dacă un anumit punct de pe o sferă este desemnat (arbitrar) drept polul său nord , punctul său antipod se numește polul sudic . Cercul cel mare echidistant de fiecare este atunci ecuatorul . Cercurile mari care trec prin poli se numesc linii de longitudine sau meridiane . O linie care leagă cei doi poli poate fi numită axă de rotație . Cercurile mici de pe sferă care sunt paralele cu ecuatorul sunt linii de latitudine . În geometria care nu are legătură cu corpurile astronomice, terminologia geocentrică ar trebui folosită doar pentru ilustrare și menționată ca atare, cu excepția cazului în care nu există nicio șansă de neînțelegere.

Matematicienii consideră că o sferă este o suprafață închisă bidimensională încorporată în spațiul euclidian tridimensional . Ei fac o distincție între o sferă și o minge , care este o varietate tridimensională cu graniță care include volumul conținut de sferă. O bilă deschisă exclude sfera însăși, în timp ce o bilă închisă include sfera: o bilă închisă este uniunea dintre bila deschisă și sfera, iar o sferă este limita unei bile (închise sau deschise). Distincția dintre minge și sferă nu a fost întotdeauna menținută și mai ales referințele matematice mai vechi vorbesc despre o sferă ca pe un solid. Distincția dintre „ cerc ” și „ disc ” în plan este similară.

Sferele mici sunt uneori numite sferule, de exemplu în sferulele marțiane .

Ecuații

În geometria analitică , o sferă cu centru ( x 0 , y 0 , z 0 ) și raza r este locul tuturor punctelor ( x , y , z ) astfel încât

Deoarece poate fi exprimată ca un polinom pătratic, o sferă este o suprafață cvadrică , un tip de suprafață algebrică .

Fie a, b, c, d, e numere reale cu a ≠ 0 și pune

Apoi ecuația

nu are puncte reale ca soluții dacă și se numește ecuația unei sfere imaginare . Dacă , singura soluție a este punctul și se spune că ecuația este ecuația unei sfere punctuale . În cele din urmă, în cazul , este o ecuație a unei sfere al cărei centru este și a cărei rază este .

Dacă a din ecuația de mai sus este zero, atunci f ( x , y , z ) = 0 este ecuația unui plan. Astfel, un plan poate fi considerat ca o sferă cu rază infinită al cărei centru este un punct la infinit .

Parametric

O ecuație parametrică pentru sfera cu rază și centru poate fi parametrizată folosind funcții trigonometrice .

Simbolurile folosite aici sunt aceleași cu cele utilizate în coordonatele sferice . r este constantă, în timp ce θ variază de la 0 la π și variază de la 0 la 2 π .

Proprietăți

Volum închis

Sferă și cilindru circumscris

În trei dimensiuni, volumul din interiorul unei sfere (adică volumul unei bile , dar denumit în mod clasic volumul unei sfere) este

unde r este raza și d este diametrul sferei. Arhimede a derivat mai întâi această formulă arătând că volumul din interiorul unei sfere este de două ori mai mare decât volumul dintre sferă și cilindrul circumscris acelei sfere (având înălțimea și diametrul egale cu diametrul sferei). Acest lucru poate fi dovedit prin înscrierea unui con cu susul în jos în semisferă, remarcând că aria unei secțiuni transversale a conului plus aria unei secțiuni transversale a sferei este aceeași cu aria secțiunii transversale a cilindrului circumscris. , și aplicând principiul lui Cavalieri . Această formulă poate fi, de asemenea, derivată folosind calcul integral , adică integrarea discului pentru a însuma volumele unui număr infinit de discuri circulare de grosime infinitezimal stivuite unul lângă altul și centrate de-a lungul axei x de la x = − r la x = r , presupunând sfera cu raza r este centrată la origine.

Dovada volumului sferei, folosind calcul

La orice x dat , volumul incremental ( δV ) este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale a discului la x și grosimea acestuia ( δx ):

Volumul total este suma tuturor volumelor incrementale:

În limita pe măsură ce δx se apropie de zero, această ecuație devine:

La orice x dat , un triunghi dreptunghic conectează x , y și r la origine; prin urmare, aplicând teorema lui Pitagora rezultă :

Folosind această înlocuire dă

care poate fi evaluat pentru a da rezultatul

O formulă alternativă se găsește folosind coordonatele sferice , cu element de volum

asa de

Pentru cele mai multe scopuri practice, volumul din interiorul unei sfere înscrise într-un cub poate fi aproximativ 52,4% din volumul cubului, deoarece V =π/6 d 3 , unde d este diametrul sferei și, de asemenea, lungimea unei laturi a cubului șiπ/6 ≈ 0,5236. De exemplu, o sferă cu diametrul de 1  m are 52,4% din volumul unui cub cu lungimea muchiei de 1  m, sau aproximativ 0,524 m 3 .

Suprafață

Aria suprafeței unei sfere cu raza r este:

Arhimede a derivat mai întâi această formulă din faptul că proiecția către suprafața laterală a unui cilindru circumscris păstrează suprafața. O altă abordare pentru obținerea formulei vine din faptul că ea este egală cu derivata formulei pentru volum față de r , deoarece volumul total din interiorul unei sfere cu raza r poate fi considerat ca însumarea ariei suprafeței unui număr infinit. de cochilii sferice de grosime infinitezimală stivuite concentric unele în interiorul celeilalte de la raza 0 la raza r . La grosimea infinitezimală, discrepanța dintre suprafața interioară și cea exterioară a oricărei învelișuri date este infinitezimală, iar volumul elementar de la raza r este pur și simplu produsul dintre suprafața de la raza r și grosimea infinitezimală.

Dovada suprafeței, folosind calcul

La orice rază dată r , volumul incremental ( δV ) este egal cu produsul dintre suprafața de la raza r ( A ( r ) ) și grosimea unei învelișuri ( δr ):

Volumul total este însumarea tuturor volumelor de shell:

În limita pe măsură ce δr se apropie de zero, această ecuație devine:

Inlocuitor V :

Prin diferențierea ambelor părți ale acestei ecuații în raport cu r rezultă A în funcție de r :

Acesta este în general abreviat ca:

unde r este considerat acum a fi raza fixă ​​a sferei.

Alternativ, elementul de zonă de pe sferă este dat în coordonate sferice prin dA = r 2 sin θ dθ dφ . În coordonatele carteziene , elementul zonă este

Suprafața totală poate fi astfel obținută prin integrare :

Sfera are cea mai mică suprafață dintre toate suprafețele care înconjoară un anumit volum și cuprinde cel mai mare volum dintre toate suprafețele închise cu o anumită suprafață. Prin urmare, sfera apare în natură: de exemplu, bulele și picăturile mici de apă sunt aproximativ sferice, deoarece tensiunea superficială minimizează local suprafața.

Suprafața relativă la masa unei mingi se numește suprafață specifică și poate fi exprimată din ecuațiile menționate mai sus ca

unde ρ este densitatea (raportul dintre masă și volum).

Alte proprietăți geometrice

O sferă poate fi construită ca suprafață formată prin rotirea unui cerc în jurul oricăruia dintre diametrele sale ; aceasta este, în esență, definiția tradițională a unei sfere, așa cum este dată în Elementele lui Euclid . Deoarece un cerc este un tip special de elipsă , o sferă este un tip special de elipsoid de revoluție . Înlocuind cercul cu o elipsă rotită în jurul axei sale majore , forma devine un sferoid prolat ; rotit în jurul axei minore, un sferoid aplatizat.

O sferă este determinată în mod unic de patru puncte care nu sunt coplanare . Mai general, o sferă este determinată în mod unic de patru condiții, cum ar fi trecerea printr-un punct, a fi tangentă la un plan etc. Această proprietate este analogă cu proprietatea că trei puncte necoliniare determină un cerc unic într-un plan.

În consecință, o sferă este determinată în mod unic de (adică trece prin) un cerc și un punct care nu se află în planul acelui cerc.

Examinând soluțiile comune ale ecuațiilor a două sfere , se poate observa că două sfere se intersectează într-un cerc, iar planul care conține acel cerc se numește planul radical al sferelor care se intersectează. Deși planul radical este un plan real, cercul poate fi imaginar (sferele nu au niciun punct real în comun) sau constă dintr-un singur punct (sferele sunt tangente în acel punct).

Unghiul dintre două sfere într-un punct real de intersecție este unghiul diedric determinat de planurile tangente la sferele din acel punct. Două sfere se intersectează la același unghi în toate punctele cercului lor de intersecție. Ele se intersectează în unghi drept (sunt ortogonale ) dacă și numai dacă pătratul distanței dintre centrele lor este egal cu suma pătratelor razelor lor.

Creion cu sfere

Dacă f ( x , y , z ) = 0 și g ( x , y , z ) = 0 sunt ecuațiile a două sfere distincte atunci

este, de asemenea, ecuația unei sfere pentru valori arbitrare ale parametrilor s și t . Mulțimea tuturor sferelor care satisfac această ecuație se numește creion de sfere determinate de cele două sfere inițiale. În această definiție, o sferă este permisă să fie un plan (rază infinită, centru la infinit) și dacă ambele sfere originale sunt plane, atunci toate sferele creionului sunt plane, altfel există un singur plan (planul radical) în creion.

Unsprezece proprietăți ale sferei

Un vector normal la o sferă, un plan normal și secțiunea sa normală. Curbura curbei de intersecție este curbura secțională. Pentru sferă, fiecare secțiune normală printr-un punct dat va fi un cerc de aceeași rază: raza sferei. Aceasta înseamnă că fiecare punct de pe sferă va fi un punct ombilical.

În cartea lor Geometry and the Imagination , David Hilbert și Stephan Cohn-Vossen descriu unsprezece proprietăți ale sferei și discută dacă aceste proprietăți determină în mod unic sfera. Mai multe proprietăți sunt valabile pentru planul , care poate fi considerat ca o sferă cu rază infinită. Aceste proprietăți sunt:

  1. Punctele de pe sferă sunt toate la aceeași distanță de un punct fix. De asemenea, raportul dintre distanța punctelor sale față de două puncte fixe este constant.
    Prima parte este definiția obișnuită a sferei și o determină în mod unic. A doua parte poate fi dedusă cu ușurință și urmează un rezultat similar al lui Apollonius din Perga pentru cerc . Această a doua parte este valabilă și pentru avion .
  2. Contururile și secțiunile plane ale sferei sunt cercuri.
    Această proprietate definește sfera în mod unic.
  3. Sfera are lățimea și circumferința constantă.
    Lățimea unei suprafețe este distanța dintre perechile de plane tangente paralele. Numeroase alte suprafețe convexe închise au lățime constantă, de exemplu corpul Meissner . Circumferința unei suprafețe este circumferința limitei proiecției sale ortogonale pe un plan. Fiecare dintre aceste proprietăți o implică pe cealaltă.
  4. Toate punctele unei sfere sunt ombilici .
    În orice punct al unei suprafețe, o direcție normală este în unghi drept față de suprafață, deoarece pe sferă acestea sunt liniile care iradiază din centrul sferei. Intersecția unui plan care conține normala cu suprafața va forma o curbă numită secțiune normală, iar curbura acestei curbe este curbura normală . Pentru majoritatea punctelor de pe majoritatea suprafețelor, diferite secțiuni vor avea curburi diferite; valorile maxime si minime ale acestora se numesc curburi principale . Orice suprafață închisă va avea cel puțin patru puncte numite puncte ombilicale . La un ombilic toate curburele secționale sunt egale; în special curburele principale sunt egale. Punctele ombilicale pot fi considerate ca punctele în care suprafața este aproape apropiată de o sferă.
    Pentru sferă, curburele tuturor secțiunilor normale sunt egale, deci fiecare punct este un ombilic. Sfera și planul sunt singurele suprafețe cu această proprietate.
  5. Sfera nu are o suprafață de centre.
    Pentru o secțiune normală dată există un cerc de curbură care este egal cu curbura secțiunii, este tangent la suprafață și ale cărui linii centrale se află de-a lungul liniei normale. De exemplu, cele două centre care corespund curburelor secțiunilor maxime și minime sunt numite puncte focale , iar mulțimea tuturor acestor centre formează suprafața focală .
    Pentru majoritatea suprafețelor, suprafața focală formează două foi care sunt fiecare o suprafață și se întâlnesc în punctele ombilicale. Mai multe cazuri sunt speciale:
    * Pentru suprafețele canale, o foaie formează o curbă, iar cealaltă foaie este o suprafață
    * Pentru conuri , cilindri, tori și ciclide ambele foi formează curbe.
    * Pentru sferă, centrul fiecărui cerc osculator se află în centrul sferei, iar suprafața focală formează un singur punct. Această proprietate este unică sferei.
  6. Toate geodezicele sferei sunt curbe închise.
    Geodezicele sunt curbe pe o suprafață care oferă cea mai scurtă distanță între două puncte. Ele sunt o generalizare a conceptului de linie dreaptă în plan. Pentru sferă, geodezicele sunt cercuri mari. Multe alte suprafețe împărtășesc această proprietate.
  7. Dintre toate solidele cu un volum dat, sfera este cea cu cea mai mică suprafață; dintre toate solidele care au o suprafață dată, sfera este cea care are cel mai mare volum.
    Rezultă din inegalitatea izoperimetrică . Aceste proprietăți definesc sfera în mod unic și pot fi văzute în bulele de săpun : un balon de săpun va cuprinde un volum fix, iar tensiunea superficială îi minimizează suprafața pentru acel volum. Prin urmare, un balon de săpun care plutește liber aproximează o sferă (deși astfel de forțe externe precum gravitația vor distorsiona ușor forma bulei). Poate fi văzut și pe planete și stele unde gravitația minimizează suprafața corpurilor cerești mari.
  8. Sfera are cea mai mică curbură medie totală dintre toate solidele convexe cu o suprafață dată.
    Curbura medie este media celor două curburi principale, care este constantă deoarece cele două curburi principale sunt constante în toate punctele sferei.
  9. Sfera are o curbură medie constantă.
    Sfera este singura suprafață încorporată care nu are graniță sau singularități cu curbură medie pozitivă constantă. Alte suprafețe imersate precum suprafețele minime au o curbură medie constantă.
  10. Sfera are o curbură Gaussiană pozitivă constantă.
    Curbura gaussiană este produsul celor două curburi principale. Este o proprietate intrinsecă care poate fi determinată prin măsurarea lungimii și unghiurilor și este independentă de modul în care suprafața este încorporată în spațiu. Prin urmare, îndoirea unei suprafețe nu va modifica curbura Gauss, iar alte suprafețe cu curbură Gaussian pozitivă constantă pot fi obținute prin tăierea unei mici fante în sferă și îndoirea acesteia. Toate aceste alte suprafețe ar avea limite, iar sfera este singura suprafață care nu are o limită cu curbură Gaussiană constantă, pozitivă. Pseudosfera este un exemplu de suprafață cu curbură Gaussiană negativă constantă.
  11. Sfera este transformată în sine printr-o familie cu trei parametri de mișcări rigide.
    Rotirea în jurul oricărei axe a unei sfere unitare la origine va mapa sfera pe ea însăși. Orice rotație în jurul unei linii prin origine poate fi exprimată ca o combinație de rotații în jurul axei cu trei coordonate (vezi unghiuri Euler ). Prin urmare, există o familie de rotații cu trei parametri, astfel încât fiecare rotație transformă sfera în sine; această familie este grupul de rotație SO(3) . Planul este singura altă suprafață cu o familie de transformări cu trei parametri (translații de-a lungul axelor x și y și rotații în jurul originii). Cilindrii circulari sunt singurele suprafețe cu familii cu doi parametri de mișcări rigide, iar suprafețele de revoluție și elicoizii sunt singurele suprafețe cu o familie cu un parametru.

Tratament pe domenii de matematică

Geometrie sferică

Cerc mare pe o sferă

Elementele de bază ale geometriei plane euclidiene sunt punctele și liniile . Pe sferă, punctele sunt definite în sensul obișnuit. Analogul „liniei” este geodezicul , care este un cerc mare ; caracteristica definitorie a unui cerc mare este că planul care conține toate punctele sale trece și prin centrul sferei. Măsurarea prin lungimea arcului arată că cea mai scurtă cale dintre două puncte situate pe sferă este segmentul mai scurt al cercului mare care include punctele.

Multe teoreme din geometria clasică sunt valabile și pentru geometria sferică, dar nu toate o fac, deoarece sfera nu reușește să satisfacă unele dintre postulatele geometriei clasice , inclusiv postulatul paralel . În trigonometria sferică , unghiurile sunt definite între cercuri mari. Trigonometria sferică diferă de trigonometria obișnuită în multe privințe. De exemplu, suma unghiurilor interioare ale unui triunghi sferic depășește întotdeauna 180 de grade. De asemenea, oricare două triunghiuri sferice similare sunt congruente.

Orice pereche de puncte de pe o sferă care se află pe o linie dreaptă prin centrul sferei (adică diametrul) se numesc puncte antipodale - pe sferă, distanța dintre ele este exact jumătate din lungimea circumferinței. Orice altă pereche (adică nu antipodă) de puncte distincte pe o sferă

  • culcați într-un mare cerc unic,
  • segmentează-l într-un arc minor (adică mai scurt) și unul major (adică mai lung) și
  • ca lungimea arcului minor să fie cea mai mică distanță dintre ele pe sferă.

Geometria sferică este o formă de geometrie eliptică , care împreună cu geometria hiperbolică formează geometria non-euclidiană .

Geometrie diferențială

Sfera este o suprafață netedă cu curbură Gaussiană constantă în fiecare punct egal cu 1/ r 2 . Conform Teoremei lui Gauss , această curbură este independentă de încorporarea sferei în spațiul tridimensional. De asemenea, în urma lui Gauss, o sferă nu poate fi mapată pe un plan menținând ambele zone și unghiuri. Prin urmare, orice proiecție a hărții introduce o formă de distorsiune.

O sferă cu raza r are un element de zonă . Acest lucru poate fi găsit din elementul de volum în coordonate sferice cu r menținut constant.

O sferă de orice rază centrată pe zero este o suprafață integrală de următoarea formă diferențială :

Această ecuație reflectă faptul că vectorul de poziție și planul tangent la un punct sunt întotdeauna ortogonale unul față de celălalt. Mai mult, vectorul normal orientat spre exterior este egal cu vectorul de poziție scalat cu 1/r .

În geometria riemanniană , conjectura ariei de umplere afirmă că emisfera este umplerea izometrică optimă (zona cea mai mică) a cercului riemannian .

Topologie

În topologie , o sferă n este definită ca un spațiu homeomorf la limita unei bile ( n + 1 ) ; astfel, este homeomorf la n -sfera euclidiană , dar poate lipsită de metrica sa .

  • O sferă 0 este o pereche de puncte cu topologia discretă .
  • O 1-sferă este un cerc ( până la homeomorfism); astfel, de exemplu, (imaginea) oricărui nod este o 1-sferă.
  • O 2-sferă este o sferă obișnuită (până la homeomorfism); astfel, de exemplu, orice sferoid este o 2-sferă.

Sfera n se notează S n . Este un exemplu de varietate topologică compactă fără graniță . O sferă nu trebuie să fie netedă ; dacă este netedă, nu trebuie să fie diferită de sfera euclidiană (o sferă exotică ).

Sfera este imaginea inversă a unui set de un punct sub funcția continuă || x || , deci este închis; S n este, de asemenea, mărginit, deci este compact prin teorema Heine–Borel .

În mod remarcabil, este posibil să se transforme o sferă obișnuită pe dos într-un spațiu tridimensional cu posibile auto-intersecții, dar fără a crea cute, într-un proces numit eversiune a sferei .

Coeficientul antipodal al sferei este suprafața numită plan proiectiv real , care poate fi considerată și emisfera nordică cu punctele antipodale ale ecuatorului identificate.

Curbe pe o sferă

Secțiunea plană a unei sfere: 1 cerc
Intersecția coaxială a unei sfere și a unui cilindru: 2 cercuri

Cercuri

Cercurile de pe sferă sunt, asemenea cercurilor din plan, formate din toate punctele aflate la o anumită distanță de un punct fix de pe sferă. Intersecția unei sfere și a unui plan este un cerc, un punct sau un gol. Cercurile mari sunt intersecția sferei cu un plan care trece prin centrul unei sfere: altele se numesc cercuri mici.

Suprafețele mai complicate pot intersecta o sferă și în cercuri: intersecția unei sfere cu o suprafață de revoluție a cărei axă conține centrul sferei (sunt coaxiale ) constă din cercuri și/sau puncte dacă nu este goală. De exemplu, diagrama din dreapta arată intersecția unei sfere și a unui cilindru, care constă din două cercuri. Dacă raza cilindrului ar fi cea a sferei, intersecția ar fi un singur cerc. Dacă raza cilindrului ar fi mai mare decât cea a sferei, intersecția ar fi goală.

Loxodrom

Loxodrom

În navigație , o linie loxodromă sau loxodrom este un arc care traversează toate meridianele de longitudine în același unghi. Loxodromurile sunt aceleași ca liniile drepte în proiecția Mercator . O linie loxodoră nu este o spirală sferică . Cu excepția unor cazuri simple, formula unei linii loxodoare este complicată.

Clelia se curbe

spirală sferică cu

O curbă Clelia este o curbă pe o sferă pentru care longitudinea și colatitudinea satisfac ecuația

.

Cazuri speciale sunt: ​​curba lui Viviani ( ) și spiralele sferice ( ) precum spirala lui Seiffert . Curbele Clelia aproximează calea sateliților pe orbită polară .

Conici sferice

Analogul unei secțiuni conice pe sferă este o conică sferică , o curbă quartică care poate fi definită în mai multe moduri echivalente, inclusiv:

Multe teoreme referitoare la secțiunile conice plane se extind și la conici sferice.

Intersecția unei sfere cu o suprafață mai generală

Intersecția generală sferă-cilindru

Dacă o sferă este intersectată de o altă suprafață, pot exista curbe sferice mai complicate.

Exemplu
sferă – cilindru

Intersecția sferei cu ecuație și cilindrul cu ecuație nu este doar unul sau două cercuri. Este soluția sistemului neliniar de ecuații

(vezi curba implicită și diagramă)

Generalizări

Elipsoide

Un elipsoid este o sferă care a fost întinsă sau comprimată în una sau mai multe direcții. Mai exact, este imaginea unei sfere aflate într-o transformare afină . Un elipsoid are aceeași relație cu sfera pe care o are o elipsă cu un cerc.

Dimensionalitatea

Sferele pot fi generalizate la spații de orice număr de dimensiuni . Pentru orice număr natural n , o „ n -sferă”, adesea scrisă ca S n , este mulțimea de puncte din spațiul euclidian ( n + 1 )-dimensional care se află la o distanță fixă ​​r de un punct central al spațiului respectiv, unde r este, ca mai înainte, un număr real pozitiv. În special:

  • S 0 : o sferă 0 este formată din două puncte discrete,r și r
  • S 1 : o 1-sferă este un cerc cu raza r
  • S 2 : o 2-sferă este o sferă obișnuită
  • S 3 : o sferă cu trei este o sferă în spațiul euclidian cu 4 dimensiuni.

Sferele pentru n > 2 sunt uneori numite hipersfere .

Sfera n a razei unității centrată la origine este denumită S n și este adesea denumită „sfera” n . Sfera obișnuită este o 2-sferă, deoarece este o suprafață bidimensională care este încorporată în spațiul tridimensional.

Spații metrice

Mai general, într-un spațiu metric ( E ​​, d ) , sfera centrului x și razei r > 0 este mulțimea de puncte y astfel încât d ( x , y ) = r .

Dacă centrul este un punct distins care este considerat a fi originea lui E , ca într-un spațiu normat , acesta nu este menționat în definiție și notație. Același lucru este valabil și pentru raza dacă este considerată egală cu unu, ca în cazul unei sfere unitare .

Spre deosebire de o minge , chiar și o sferă mare poate fi un set gol. De exemplu, în Z n cu metrică euclidiană , o sferă cu raza r este nevidă numai dacă r 2 poate fi scris ca sumă a n pătrate de numere întregi .

Un octaedru este o sferă în geometria taxiului , iar un cub este o sferă în geometrie folosind distanța Chebyshev .

Istorie

Geometria sferei a fost studiată de greci. Elementele lui Euclid definește sfera în cartea a XI-a, discută diferite proprietăți ale sferei în cartea a XII-a și arată cum să înscrie cele cinci poliedre regulate într-o sferă în cartea XIII. Euclid nu include aria și volumul unei sfere, doar o teoremă conform căreia volumul unei sfere variază ca a treia putere a diametrului acesteia, probabil datorită lui Eudoxus din Cnidus . Formulele de volum și suprafață au fost stabilite pentru prima dată în lucrarea lui Arhimede Despre sferă și cilindru prin metoda epuizării . Zenodor a fost primul care a afirmat că, pentru o suprafață dată, sfera este solidul de volum maxim.

Arhimede a scris despre problema împărțirii unei sfere în segmente ale căror volume sunt într-un raport dat, dar nu a rezolvat-o. O soluție prin intermediul parabolei și hiperbolei a fost oferită de Dionysodorus of Amisus (c. secolul I î.Hr.), iar o problemă similară - construirea unui segment egal ca volum cu un anumit segment și în suprafață unui alt segment - a fost rezolvată mai târziu. de al-Quhi .

Galerie

Regiuni

Vezi si

Note și referințe

Note

Referințe

Lectură în continuare

linkuri externe