Stokes drift - Stokes drift

O întindere de lemn de plutire de -a lungul coastei de nord a statului Washington . Deriva Stokes - pe lângă deriva Ekman și curenții geostrofici - este unul dintre procesele relevante în transportul resturilor marine .

Stokes se deplasează în valuri adânci de apă, cu o lungime de undă de aproximativ două ori mai mare decât adâncimea apei. Faceți clic aici pentru o animație (4,15 MB).
Descriere (și a animației) :
Cercurile roșii sunt pozițiile actuale ale particulelor fără masă, care se deplasează cu viteza de curgere . Linia albastru-deschis oferă calea acestor particule, iar culoarea albastru-deschis înconjoară poziția particulelor după fiecare perioadă de undă . Punctele albe sunt particule fluide, urmate și ele în timp. În cazul prezentat aici, viteza orizontală medie euleriană sub jgheabul de undă este zero.
Observați că perioada de undă , experimentată de o particulă de fluid în apropierea suprafeței libere , este diferită de perioada de undă într-o poziție orizontală fixă (așa cum este indicat de cercurile albastru deschis). Acest lucru se datorează schimbării Doppler .

Stokes derivă în valuri de apă puțin adâncă , cu o lungime de undă mult mai mare decât adâncimea apei. Faceți clic aici pentru o animație (1,29 MB).
Descriere (și a animației) :
Cercurile roșii sunt pozițiile actuale ale particulelor fără masă, care se deplasează cu viteza de curgere . Linia albastru deschis dă calea acestor particule, iar culoarea albastru deschis înconjoară poziția particulelor după fiecare perioadă de undă . Punctele albe sunt particule fluide, urmate și ele în timp. În cazul prezentat aici, viteza orizontală medie euleriană sub jgheabul de undă este zero.
Observați că perioada de undă , experimentată de o particulă de fluid în apropierea suprafeței libere , este diferită de perioada de undă într-o poziție orizontală fixă (așa cum este indicat de cercurile albastru deschis). Acest lucru se datorează schimbării Doppler .

Pentru o mișcare de undă pură în dinamica fluidelor , viteza de deriva a lui Stokes este viteza medie atunci când urmăriți o parcelă de fluid specifică în timp ce se deplasează odată cu fluxul de fluid . De exemplu, o particulă care plutește la suprafața liberă a undelor de apă , experimentează o viteză netă de deriva a lui Stokes în direcția propagării undelor .

Mai general, viteza de deriva a lui Stokes este diferența dintre viteza medie de curgere lagrangiană a unei parcele de fluid și viteza medie de curgere euleriană a fluidului într-o poziție fixă. Acest neliniară fenomen este numit după George Gabriel Stokes , care au derivat expresii pentru această derivă în sale 1847 studiul de valuri de apă .

Stokes Abaterea este diferența în poziții finale, după o cantitate predefinită de timp ( de obicei , o perioadă de undă ), așa cum rezultă dintr - o descriere în Lagrangianului și coordonatele Euleriene . Poziția finală în descrierea lagrangiană este obținută prin urmărirea unei pachete de fluid specifice în intervalul de timp. Poziția finală corespunzătoare din descrierea euleriană se obține prin integrarea vitezei de curgere la o poziție fixă - egală cu poziția inițială din descrierea lagrangiană - în același interval de timp.

Viteza de deriva a lui Stokes este egală cu deriva de la Stokes împărțită la intervalul de timp considerat. Adesea, viteza de deriva a lui Stokes este denumită în mod vag drept derivă a lui Stokes. Derivația Stokes poate apărea în toate cazurile de curgere oscilatorie care sunt neomogene în spațiu. De exemplu, în valuri de apă , maree și valuri atmosferice .

În descrierea lagrangiană , coletele fluide se pot îndepărta departe de pozițiile inițiale. Ca rezultat, definiția fără echivoc a vitezei Lagrangiene medii și a vitezei de deriva a lui Stokes, care poate fi atribuită unei anumite poziții fixe, nu este în niciun caz o sarcină banală. Cu toate acestea, o astfel de descriere lipsită de ambiguitate este oferită de teoria generalizată Lagrangiană (GLM) a lui Andrews și McIntyre în 1978 .

Deriva Stokes este importantă pentru transferul de masă a tuturor tipurilor de materiale și organisme prin fluxuri oscilatorii. Mai mult, derivarea lui Stokes este importantă pentru generarea circulațiilor Langmuir . Pentru valurile de apă neliniare și periodice , au fost calculate și tabelate rezultate precise asupra derivei Stokes.

Descrierea matematică

Mișcarea lagrangiană a unei parcele fluide cu vectorul de poziție x = ξ ( α , t) în coordonatele euleriană este dată de:

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ xi}}} \, = \, {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ xi}}} {\ partial t}} \, = \, {\ boldsymbol { u}} ({\ boldsymbol {\ xi}}, t),}

unde ∂ ξ / ∂t este derivata parțială a lui ξ ( α , t) față de t și

ξ ( α , t) este vectorul de poziție lagrangianal unei parcele fluide,

u ( x , t) este viteza euleriană,

x este vectorul de poziție în sistemul de coordonate eulerian ,

α este vectorul de poziție în sistemul de coordonate Lagrangian ,

t este momentul .

Adesea, coordonatele Lagrangiene α sunt alese pentru a coincide cu coordonatele eulerian x la momentul inițial t = t ₀ :

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t_ {0}) \, = \, {\ boldsymbol {\ alpha}}.}

Dar sunt posibile și alte modalități de etichetare a pachetelor de lichide.

Dacă valoarea medie a unei cantități este notată printr-o bară, atunci vectorul mediu al vitezei eulerian ū _E și vectorul mediu al vitezei lagrangiene ū _L sunt:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {E} \, & = \, {\ overline {{\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}}, \\ {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {L} \, & = \, {\ overline {{\ dot {\ boldsymbol {\ xi}}} ({\ boldsymbol {\ alfa}}, t)}} \, = \, {\ overline {\ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t)} {\ partial t}} \ right)}} \, = \, {\ overline {{\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t), t)}} . \ end {align}}}

Pot fi utilizate diferite definiții ale mediei , în funcție de subiectul studiat, a se vedea teoria ergodică :

timp mediu,
media spațială ,
ansamblul mediu și
medie de fază .

Viteza de deriva Stokes ū _S este definită ca diferența dintre viteza euleriană medie și viteza lagrangiană medie:

{\ displaystyle {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {S} \, = \, {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {L} \, - \, {\ overline {\ boldsymbol { u}}} _ {E}.}

În multe situații, cartarea cantităților medii de la o anumită poziție euleriană x la o poziție Lagrangiană corespunzătoare α formează o problemă. Deoarece o coletă fluidă cu eticheta α parcurge de-a lungul unei căi cu multe poziții euleriene diferite x , nu este posibil să se atribuie α unui x unic . O bază solidă din punct de vedere matematic pentru o cartografiere neechivocă între cantitățile medii lagrangiene și euleriane este oferită de teoria mediei lagrangiene generalizate (GLM) de Andrews și McIntyre (1978) .

Exemplu: un flux compresibil unidimensional

Pentru viteza euleriană ca undă monocromatică de orice natură într-un mediu continuu: se obține cu ușurință prin teoria perturbării - cu un parametru mic - pentru poziția particulelor ${\ displaystyle u = {\ hat {u}} \ sin \ left (kx- \ omega t \ right),}$ ${\ displaystyle k {\ hat {u}} / \ omega}$ ${\ displaystyle x = \ xi (\ xi _ {0}, t):}$

{\ displaystyle {\ dot {\ xi}} = \, {u} ({\ xi}, t) = {\ hat {u}} \ sin \, \ left (k \ xi - \ omega t \ right) ,}

{\ displaystyle \ xi (\ xi _ {0}, t) \ approx \ xi _ {0} + {\ frac {\ hat {u}} {\ omega}} \ cos (k \ xi _ {0} - \ omega t) - {\ frac {1} {4}} {\ frac {k {\ hat {u}} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin 2 (k \ xi _ { 0} - \ omega t) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {k {\ hat {u}} ^ {2}} {\ omega}} t.}

Aici ultimul termen descrie viteza de deriva a lui Stokes ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k {\ hat {u}} ^ {2} / \ omega.}$

Exemplu: valuri de apă adâncă

Stokes derivă sub valuri periodice în apă adâncă, pentru o perioadă T = 5 s și o adâncime medie a apei de 25 m. Stânga : viteze de curgere orizontale instantanee . Dreapta : viteze de curgere medii . Linia solidă neagră: viteza medie euleriană; linie întreruptă roșie: viteza Lagrangiană medie, derivată din Media Lagrangiană Generalizată (GLM).

Deriva lui Stokes a fost formulată pentru valurile de apă de către George Gabriel Stokes în 1847. Pentru simplitate, este considerat cazul apei cu adâncime infinită , cu propagarea undelor liniare a unei unde sinusoidale pe suprafața liberă a unui strat fluid:

{\ displaystyle \ eta \, = \, a \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right),}

Unde

η este elevarea a suprafeței libere în z -Direcția (metri),

a este amplitudinea undei (metri),

k este numărul de undă : k = 2π / λ ( radiani pe metru),

ω este frecvența unghiulară : ω = 2π / T ( radiani pe secundă ),

x este coordonata orizontală și direcția de propagare a undei (metri),

z este coordonata verticală , cu direcția z pozitivă îndreptată spre stratul fluid (metri),

λ este lungimea undei (metri) și

T este perioada de undă ( secunde ).

După cum se derivă mai jos, componenta orizontală ū _S ( z ) a vitezei de deriva Stokes pentru valurile de apă adâncă este de aproximativ:

{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {S} \, \ approx \, \ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz} \, = \, {\ frac {4 \ pi ^ {2} \, a ^ {2}} {\ lambda \, T}} \, {\ text {e}} ^ {4 \ pi \, z / \ lambda}.}

După cum se poate observa, viteza de deriva Stokes ū _S este o mărime neliniară în ceea ce privește amplitudinea undei a . Mai mult, viteza de deriva a lui Stokes se descompune exponențial cu adâncimea: la o adâncime de un sfert de lungime de undă, z = -¼ λ , este de aproximativ 4% din valoarea sa la suprafața liberă medie , z = 0 .

Derivare

Se presupune că undele sunt de amplitudine infinitesimală, iar suprafața liberă oscilează în jurul nivelului mediu z = 0 . Undele se propagă sub acțiunea gravitației, cu un vector de accelerație constantă prin gravitație (îndreptat în jos în direcția z negativă ). Mai mult, fluidul este presupus a fi inviscid și incompresibil , cu o densitate de masă constantă . Fluidul Fluxul este irrotational . La adâncime infinită, fluidul este luat în repaus .

Acum fluxul poate fi reprezentat de un potențial de viteză φ , satisfăcând ecuația lui Laplace și

{\ displaystyle \ varphi \, = \, {\ frac {\ omega} {k}} \, a \; {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ dreapta).}

Pentru a avea soluții non-banale pentru această problemă a valorii proprii , lungimea undei și perioada de undă nu pot fi alese în mod arbitrar, dar trebuie să satisfacă relația de dispersie a apei profunde :

{\ displaystyle \ omega ^ {2} \, = \, g \, k.}

cu g accelerația prin gravitație în ( m / s ² ). În cadrul teoriei liniare , componentele orizontale și verticale, ξ _x și respectiv ξ _z , ale poziției lagrangiene ξ sunt:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ xi _ {x} \, & = \, x \, + \, \ int \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \; {\ text {d}} t \, = \, x \, - \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right), \ \\ xi _ {z} \, & = \, z \, + \, \ int \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \; {\ text {d}} t \, = \, z \, + \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right). \ end {align}}}

Componenta orizontală ū _S a vitezei de deriva a lui Stokes este estimată utilizând o expansiune Taylor în jurul valorii de x a componentei de viteză orizontală euleriană u _x = ∂ξ _x / ∂t în poziția ξ :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {u}} _ {S} \, & = \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {\ xi}}, t)}} \, - \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)}} \, \\ & = \, {\ overline {\ left [u_ {x} ({\ boldsymbol {x} }, t) \, + \, \ left (\ xi _ {x} -x \ right) \, {\ frac {\ partial u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ partial x}} \, + \, \ left (\ xi _ {z} -z \ right) \, {\ frac {\ partial u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ partial z }} \, + \, \ cdots \ right]}} - \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)}} \\ & \ approx \, {\ overline {\ left (\ xi _ {x} -x \ right) \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ xi _ {x}} {\ partial x \, \ partial t}}}} \, + \, {\ overline {\ left (\ xi _ {z} -z \ right) \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ xi _ {x}} {\ partial z \, \ partial t}}}} \\ & = \, {\ overline {{\ bigg [} -a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg ]} \, {\ bigg [} - \ omega \, k \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \, \\ & + \, {\ overline {{\ bigg [} a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]} \, {\ bigg [} \ omega \, k \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \, \\ & = \, {\ ov erline {\ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz} \, {\ bigg [} \ sin ^ {2} \, \ left (kx- \ omega t \ right) + \ cos ^ {2} \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \\ & = \, \ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz}. \ end {align}}}

Vezi si

Referințe

Istoric

ADAUGĂ Craik (2005). „George Gabriel Stokes despre teoria undelor de apă”. Revizuirea anuală a mecanicii fluidelor . 37 (1): 23-42. Bibcode : 2005AnRFM..37 ... 23C . doi : 10.1146 / annurev.fluid.37.061903.175836 .
GG Stokes (1847). „Despre teoria undelor oscilatorii”. Tranzacțiile Societății Filozofice din Cambridge . 8 : 441-455.
Retipărit în: GG Stokes (1880). Matematică și fizică Papers, Volumul I . Cambridge University Press. pp. 197–229.

Alte

DG Andrews și ME McIntyre (1978). „O teorie exactă a undelor neliniare pe un flux lagrangian mediu”. Jurnalul mecanicii fluidelor . 89 (4): 609-646. Cod Bib : 1978JFM .... 89..609A . doi : 10.1017 / S0022112078002773 .
ADAUGĂ Craik (1985). Interacțiunile valurilor și fluxurile de fluide . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36829-2.
MS Longuet-Higgins (1953). „Transport în masă în valuri de apă”. Tranzacții filozofic al Royal Society A . 245 (903): 535-581. Cod Bib : 1953RSPTA.245..535L . doi : 10.1098 / rsta.1953.0006 .
Phillips, OM (1977). Dinamica oceanului superior (ed. A II-a). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29801-8.
G. Falkovich (2011). Mecanica fluidelor (Un curs scurt pentru fizicieni) . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4.
Kubota, M. (1994). „Un mecanism pentru acumularea de resturi marine plutitoare la nord de Hawaii”. Jurnal de oceanografie fizică . 24 (5): 1059-1064. Cod Bib : 1994JPO .... 24.1059K . doi : 10.1175 / 1520-0485 (1994) 024 <1059: AMFTAO> 2.0.CO; 2 .

Languages

In other projects