Triunghi - Triangle

Triunghi echilateral
Poligonul regulat 3 adnotat.svg
Un triunghi regulat
Tip Poligon regulat
Marginile și vârfurile 3
Simbolul Schläfli {3}
Diagrama Coxeter CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrie Diedru (D 3 ), comandă 2 × 3
Unghi intern ( grade ) 60 °
Poligon dual De sine
Proprietăți Convex , ciclic , echilateral , izogonal , izotoxal
Triunghi
Triangle illustration.svg
Un triunghi
Marginile și vârfurile 3
Simbolul Schläfli {3} (pentru echilateral)
Zonă diverse metode;
Vezi mai jos
Unghi intern ( grade ) 60 ° (pentru echilateral)
triunghi, tri, trei, unghi
Triunghi = Tri (trei) + Unghi

Un triunghi este un poligon cu trei margini și trei vârfuri . Este una dintre formele de bază în geometrie . Un triunghi cu nodurile A , B și C este notat .

În geometria euclidiană , orice trei puncte, atunci când sunt necoliniare , determină un triunghi unic și simultan, un plan unic (adică un spațiu euclidian bidimensional ). Cu alte cuvinte, există un singur plan care conține acel triunghi și fiecare triunghi este conținut într-un anumit plan. Dacă întreaga geometrie este doar planul euclidian , există un singur plan și toate triunghiurile sunt conținute în el; totuși, în spațiile euclidiene cu dimensiuni superioare, acest lucru nu mai este adevărat. Acest articol este despre triunghiuri în geometria euclidiană și, în special, planul euclidian, cu excepția cazului în care se menționează altfel.

Tipuri de triunghi

Diagrama Euler a tipurilor de triunghiuri, utilizând definiția că triunghiurile izoscele au cel puțin 2 laturi egale (adică, triunghiurile echilaterale sunt isoscele).

Terminologia pentru clasificarea triunghiurilor este mai veche de peste două mii de ani, fiind definită chiar pe prima pagină a Elementelor lui Euclid . Numele folosite pentru clasificarea modernă sunt fie o transliterare directă a grecului lui Euclid, fie traducerile lor în latină.

După lungimile laturilor

Matematicianul grec antic Euclid a definit trei tipuri de triunghi în funcție de lungimea laturilor lor:

Greacă : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. „Din figurile trilaterale, un triunghi isopleuron [echilateral] este cel care are cele trei laturi egale, un isoscel cel care are doar două dintre laturile sale egale și un scalen cel care are cele trei laturi inegale.”

  • Un triunghi echilateral ( grecesc : ἰσόπλευρον , romanizatisópleuron , lit. „laturi egale”) are trei laturi de aceeași lungime. Un triunghi echilateral este, de asemenea, un poligon regulat, cu toate unghiurile care măsoară 60 °.
  • Un triunghi isoscel ( grecesc : ἰσοσκελὲς , romanizatisoskelés , lit. „picioare egale”) are două laturi de lungime egală. Un triunghi isoscel are, de asemenea, două unghiuri de aceeași măsură, și anume unghiurile opuse celor două laturi de aceeași lungime. Acest fapt este conținutul teoremei triunghiului isoscel , cunoscut de Euclid . Unii matematicieni definesc un triunghi isoscel pentru a avea exact două laturi egale, în timp ce alții definesc un triunghi isoscel ca unul cu cel puțin două laturi egale. Această din urmă definiție ar face ca toate triunghiurile echilaterale să fie triunghiuri isoscele. Triunghiul dreptunghiular 45–45–90, care apare în faianța pătrată a tetrakisului , este isoscel.
  • Un triunghi scalen ( grecesc : σκαληνὸν , romanizatskalinón , lit. „inegal”) are toate laturile sale de lungimi diferite. În mod echivalent, are toate unghiurile de măsură diferită.

Semnele de haș , numite și semne de bifare, sunt utilizate în diagrame de triunghiuri și alte figuri geometrice pentru a identifica laturile de lungimi egale. O latură poate fi marcată cu un model de „căpușe”, segmente de linie scurtă sub formă de semne de contorizare ; două laturi au lungimi egale dacă ambele sunt marcate cu același model. Într-un triunghi, modelul nu este de obicei mai mare de 3 căpușe. Un triunghi echilateral are același model pe toate cele 3 laturi, un triunghi isoscel are același model pe doar 2 laturi, iar un triunghi scalen are modele diferite pe toate laturile, deoarece nici o latură nu este egală.

În mod similar, modelele de 1, 2 sau 3 arcuri concentrice din interiorul unghiurilor sunt utilizate pentru a indica unghiuri egale: un triunghi echilateral are același model pe toate cele 3 unghiuri, un triunghi isoscel are același model pe doar 2 unghiuri și un triunghi scalen are modele diferite pe toate unghiurile, deoarece niciun unghi nu este egal.

Prin unghiuri interne

Prima pagină a Elementelor lui Euclid , din prima versiune tipărită a lumii (1482), care prezintă secțiunea „definiții” din Cartea I. Triunghiul dreptunghiular este etichetat „ ortogonius ”, iar cele două unghiuri prezentate sunt „acutus” și „angulus obtusus” .

Triunghiurile pot fi, de asemenea, clasificate în funcție de unghiurile lor interne , măsurate aici în grade .

  • Un triunghi dreptunghiular (sau unghi dreptunghiular , numit anterior triunghi dreptunghiular ) are unul dintre unghiurile sale interioare care măsoară 90 ° (un unghi drept ). Partea opusă unghiului drept este hipotenuza , cea mai lungă parte a triunghiului. Celelalte două laturi se numesc picioarele sau catheti (singular: cathetus ) ale triunghiului. Triunghiurile dreptunghiulare respectă teorema lui Pitagora : suma pătratelor lungimilor celor două picioare este egală cu pătratul lungimii hipotenuzei: a 2 + b 2 = c 2 , unde a și b sunt lungimile picioarelor și c este lungimea hipotenuzei. Triunghiurile dreptunghiulare speciale sunt triunghiuri dreptunghiulare cu proprietăți suplimentare care facilitează calculele care le implică. Unul dintre cele mai faimoase două este triunghiul dreptunghiular 3-4 , unde 3 2 + 4 2 = 5 2 . Triunghiul 3-4 este, de asemenea, cunoscut sub numele de triunghi egiptean. În această situație, 3, 4 și 5 sunt un triplu pitagoric . Celălalt este un triunghi isoscel care are 2 unghiuri care măsoară 45 de grade (45-45-90 triunghi).
  • Un triunghi cu toate unghiurile interioare care măsoară mai puțin de 90 ° este un triunghi acut sau un unghi triunghiular acut . Dacă c este lungimea celei mai lungi laturi, atunci a 2 + b 2 > c 2 , unde a și b sunt lungimile celorlalte laturi.
  • Un triunghi cu un unghi interior care măsoară mai mult de 90 ° este un triunghi obtuz sau un triunghi unghi obtuz . Dacă c este lungimea celei mai lungi laturi, atunci a 2 + b 2 < c 2 , unde a și b sunt lungimile celorlalte laturi.
  • Un triunghi cu un unghi interior de 180 ° (și vârfuri coliniare ) este degenerat . Un triunghi drept degenerat are vârfuri coliniare, dintre care două sunt coincidente.

Un triunghi care are două unghiuri cu aceeași măsură are și două laturi cu aceeași lungime și, prin urmare, este un triunghi isoscel. Rezultă că într-un triunghi în care toate unghiurile au aceeași măsură, toate cele trei laturi au aceeași lungime și, prin urmare, este echilateral.

Triunghi dreptunghic Triunghi obuz Triunghi acut
Dreapta Obtuz Acut
 
  Oblic

Fapte de bază

Un triunghi, care arată unghiul exterior d.

Se presupune că triunghiurile sunt figuri plane bidimensionale , cu excepția cazului în care contextul prevede altfel (a se vedea mai jos triunghiuri non-plane ). În tratamente riguroase, un triunghi este, prin urmare, numit 2- simplex (vezi și Polytope ). Faptele elementare despre triunghiuri au fost prezentate de Euclid , în cărțile 1-4 din Elementele sale , scrise în jurul anului 300 î.Hr.

Măsurile unghiurilor interioare ale triunghiului adună întotdeauna până la 180 de grade (aceeași culoare pentru a indica că sunt egale).

Suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui triunghi în spațiu euclidian este întotdeauna de 180 de grade. Acest fapt este echivalent cu postulatul paralel al lui Euclid . Aceasta permite determinarea măsurii celui de-al treilea unghi al oricărui triunghi, dată fiind măsura a două unghiuri. Un unghi exterior al unui triunghi este un unghi care este o pereche liniară (și, prin urmare, suplimentară ) față de un unghi interior. Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia; aceasta este teorema unghiului exterior . Suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare (câte unul pentru fiecare vârf) ale oricărui triunghi este de 360 ​​de grade.

Asemănare și congruență

Se spune că două triunghiuri sunt similare , dacă fiecare unghi al unui triunghi are aceeași măsură ca unghiul corespunzător din celălalt triunghi. Laturile corespunzătoare ale triunghiurilor similare au lungimi care sunt în aceeași proporție și această proprietate este, de asemenea, suficientă pentru a stabili asemănarea.

Câteva teoreme de bază despre triunghiuri similare sunt:

  • Dacă și numai dacă o pereche de unghiuri interne a două triunghiuri au aceeași măsură una cu cealaltă și o altă pereche are, de asemenea, aceeași măsură una cu cealaltă, triunghiurile sunt similare.
  • Dacă și numai dacă o pereche de laturi corespunzătoare a două triunghiuri sunt în aceeași proporție ca și o altă pereche de laturi corespunzătoare, iar unghiurile lor incluse au aceeași măsură, atunci triunghiurile sunt similare. ( Unghiul inclus pentru oricare două laturi ale unui poligon este unghiul intern dintre aceste două laturi.)
  • Dacă și numai dacă trei perechi de laturi corespunzătoare a două triunghiuri sunt toate în aceeași proporție, atunci triunghiurile sunt similare.

Două triunghiuri care sunt congruente au exact aceeași dimensiune și formă: toate perechile de unghiuri interioare corespunzătoare sunt egale în măsură și toate perechile de laturi corespunzătoare au aceeași lungime. (Acesta este un total de șase egalități, dar trei sunt adesea suficiente pentru a demonstra congruența.)

Unele condiții individuale necesare și suficiente pentru ca o pereche de triunghiuri să fie congruente sunt:

  • Postulat SAS: Două laturi dintr-un triunghi au aceeași lungime cu două laturi în celălalt triunghi, iar unghiurile incluse au aceeași măsură.
  • ASA: Două unghiuri interioare și latura inclusă într-un triunghi au aceeași măsură și, respectiv, lungime ca cele din celălalt triunghi. (Partea inclusă pentru o pereche de unghiuri este partea care le este comună.)
  • SSS: Fiecare latură a unui triunghi are aceeași lungime ca o latură corespunzătoare a celuilalt triunghi.
  • AAS: Două unghiuri și o latură corespunzătoare (neinclusă) într-un triunghi au aceeași măsură și, respectiv, lungime ca cele din celălalt triunghi. (Aceasta este uneori denumită AAcorrS și apoi include ASA mai sus.)

Unele condiții suficiente individual sunt:

  • Teorema Hypotenuse-Leg (HL): Hipotenuza și un picior într-un triunghi dreptunghiular au aceeași lungime cu cele dintr-un alt triunghi dreptunghiular. Aceasta se mai numește RHS (unghi drept, hipotenuză, lateral).
  • Teorema unghiului hipotenuzei: Hipotenuza și un unghi acut dintr-un triunghi dreptunghi au aceeași lungime și măsură, respectiv, ca și cele din celălalt triunghi dreptunghiular. Acesta este doar un caz particular al teoremei AAS.

O condiție importantă este:

  • Condiție unghi lateral-lateral (sau unghi-lateral-lateral): Dacă două laturi și un unghi corespunzător neincluse ale unui triunghi au aceeași lungime și măsură, respectiv, ca cele dintr-un alt triunghi, atunci acest lucru nu este suficient pentru a demonstra congruenţă; dar dacă unghiul dat este opus laturii mai lungi a celor două laturi, atunci triunghiurile sunt congruente. Teorema hipotenuzei-picior este un caz particular al acestui criteriu. Condiția Side-Side-Angle nu garantează de la sine că triunghiurile sunt congruente, deoarece un triunghi ar putea fi unghi obtuz și celălalt unghi acut.

Folosind triunghiuri dreptunghiulare și conceptul de similitudine, funcțiile trigonometrice sinus și cosinus pot fi definite. Acestea sunt funcțiile unui unghi care sunt investigate în trigonometrie .

Triunghiuri dreptunghiulare

Teorema lui Pitagora

O teoremă centrală este teorema lui Pitagora , care afirmă în orice triunghi dreptunghiular , pătratul lungimii hipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi. Dacă hipotenuza are lungimea c , iar picioarele au lungimi a și b , atunci teorema afirmă că

Inversul este adevărat: dacă lungimile laturilor unui triunghi satisfac ecuația de mai sus, atunci triunghiul are un unghi drept partea opusă c .

Câteva alte fapte despre triunghiurile dreptunghiulare:

  • Unghiurile acute ale unui triunghi dreptunghiular sunt complementare .
  • Dacă picioarele unui triunghi dreptunghiular au aceeași lungime, atunci unghiurile opuse acelor picioare au aceeași măsură. Deoarece aceste unghiuri sunt complementare, rezultă că fiecare măsoară 45 de grade. Prin teorema lui Pitagora, lungimea hipotenuzei este lungimea unui picior de ori 2 .
  • Într-un triunghi dreptunghiular cu unghiuri acute care măsoară 30 și 60 de grade, hipotenuza este de două ori lungimea laturii mai scurte, iar partea mai lungă este egală cu lungimea timpilor laterali mai scurți 3 :

Pentru toate triunghiurile, unghiurile și laturile sunt legate de legea cosinusului și legea sinusurilor (numite și regula cosinusului și regula sinusului ).

Existența unui triunghi

Stare pe laterale

De triunghi inegalității statelor care suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi trebuie să fie mai mare sau egală cu lungimea celei de a treia parte. Această sumă poate egala lungimea celei de-a treia fețe numai în cazul unui triunghi degenerat, unul cu vârfuri coliniare. Nu este posibil ca suma respectivă să fie mai mică decât lungimea celei de-a treia părți. Un triunghi cu trei lungimi de laturi pozitive date există și numai dacă acele lungimi de laturi satisfac inegalitatea triunghiului.

Condiții pe unghiuri

Trei unghiuri date formează un triunghi nedegenerat (și într-adevăr o infinitate a lor) dacă și numai dacă ambele condiții sunt valabile: (a) fiecare dintre unghiuri este pozitiv și (b) unghiurile sunt la 180 °. Dacă sunt permise triunghiuri degenerate, unghiurile de 0 ° sunt permise.

Condiții trigonometrice

Trei unghiuri pozitive α , β și γ , fiecare dintre ele mai mici de 180 °, sunt unghiurile unui triunghi dacă și numai dacă se îndeplinește una dintre următoarele condiții:

ultima egalitate aplicându-se numai dacă niciunul dintre unghiuri nu este de 90 ° (deci valoarea funcției tangente este întotdeauna finită).

Puncte, linii și cercuri asociate cu un triunghi

Există mii de construcții diferite care găsesc un punct special asociat cu (și adesea în interiorul) unui triunghi, satisfăcând unele proprietăți unice: consultați articolul Enciclopedia Centrelor Triunghiului pentru un catalog al acestora. Adesea ele sunt construite prin găsirea a trei linii asociate într-un mod simetric cu cele trei laturi (sau vârfuri) și apoi demonstrarea faptului că cele trei linii se întâlnesc într-un singur punct: un instrument important pentru a demonstra existența acestora este teorema lui Ceva , care oferă o criteriu pentru a determina când trei astfel de linii sunt concurente . În mod similar, liniile asociate cu un triunghi sunt adesea construite demonstrând că trei puncte construite simetric sunt coliniare : aici teorema lui Menelaus oferă un criteriu general util. În această secțiune sunt explicate doar câteva dintre cele mai întâlnite construcții.

Circumscris este centrul unui cerc care trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului.

O bisectoare perpendiculare a unei laturi a unui triunghi este o linie dreaptă care trece prin punctul mediu al laturii și care este perpendiculară pe ea, adică formând un unghi drept cu ea. Cele trei bisectoare perpendiculare se întâlnesc într-un singur punct, circumcentrul triunghiului , de obicei notat cu O ; acest punct este centrul circumcercului , cercul trecând prin toate cele trei vârfuri. Diametrul acestui cerc, numit circumdiametru , poate fi găsit din legea sinelor enunțate mai sus. Raza circumcercului este numită circumradius .

Teorema lui Thales implică faptul că dacă circumcentrul este situat pe o parte a triunghiului, atunci unghiul opus este unul drept. Dacă circumcentrul este situat în interiorul triunghiului, atunci triunghiul este acut; dacă circumcentrul este situat în afara triunghiului, atunci triunghiul este obtuz.

Intersecția altitudinilor este ortocentrul .

O altitudine a unui triunghi este o linie dreaptă printr - un vârf și perpendicular (adică formând un unghi drept) , în partea opusă. Această latură opusă se numește baza altitudinii, iar punctul în care altitudinea intersectează baza (sau extensia sa) se numește piciorul altitudinii. Lungimea altitudinii este distanța dintre bază și vârf. Cele trei altitudini se intersectează într - un singur punct, numit orthocenter triunghiului, de obicei notată cu H . Ortocentrul se află în interiorul triunghiului dacă și numai dacă triunghiul este acut.

Intersecția bisectoarelor unghiulare este centrul cercului .

O bisectoare a unui triunghi este o linie dreaptă printr-un vârf care taie unghiul corespunzător în jumătate. Cele trei bisectoare unghiulare se intersectează într-un singur punct, incinerul , de obicei notat cu I , centrul cercului triunghiului . Cercul este cercul care se află în interiorul triunghiului și atinge toate cele trei laturi. Raza sa se numește inradius . Există alte trei cercuri importante, de excircles ; se află în afara triunghiului și ating o parte, precum și extensiile celorlalte două. Centrele in- și cercurile formează un sistem ortocentric .

Intersecția medianelor este centroul .

O mediană a unui triunghi este o linie dreaptă printr-un vârf și punctul de mijloc al părții opuse și împarte triunghiul în două zone egale. Cele trei medianele se intersectează într - un singur punct, triunghiul lui centroida barycenter sau geometrică, de obicei , notată cu G . Centroidul unui obiect triunghiular rigid (decupat dintr-o foaie subțire de densitate uniformă) este, de asemenea, centrul său de masă : obiectul poate fi echilibrat pe centroidul său într-un câmp gravitațional uniform. Centroidul reduce fiecare mediană în raportul 2: 1, adică distanța dintre un vârf și centroid este de două ori distanța dintre centroid și punctul mediu al părții opuse.

Cercul cu nouă puncte demonstrează o simetrie în care șase puncte se află pe marginea triunghiului.

Punctele medii ale celor trei laturi și picioarele celor trei altitudini se află toate pe un singur cerc, cercul cu nouă puncte al triunghiului . Celelalte trei puncte pentru care este numit sunt punctele medii ale porțiunii de altitudine dintre vârfuri și ortocentru . Raza cercului cu nouă puncte este jumătate din cea a circumcercului. Atinge cercul (în punctul Feuerbach ) și cele trei cercuri .

Linia lui Euler este o linie dreaptă prin ortocentrul (albastru), centrul cercului cu nouă puncte (roșu), centroul (portocaliu) și circumcentrul (verde)

Ortocentrul (punctul albastru), centrul cercului cu nouă puncte (roșu), centroidul (portocaliu) și circumcentrul (verde) se află toate pe o singură linie, cunoscută sub numele de linia lui Euler (linia roșie). Centrul cercului cu nouă puncte se află în punctul mediu dintre ortocentru și circumcentru, iar distanța dintre centroid și circumcentru este jumătate din cea dintre centru și ortocentru.

Centrul cercului nu este în general situat pe linia lui Euler.

Dacă se reflectă o mediană în bisectoarea unghiulară care trece prin același vârf, se obține o simediană . Cei trei simmedieni se intersectează într-un singur punct, punctul simmedian al triunghiului.

Calculând laturile și unghiurile

Există diverse metode standard pentru calcularea lungimii unei laturi sau a măsurii unui unghi. Anumite metode sunt potrivite pentru calcularea valorilor într-un triunghi unghiular; metode mai complexe pot fi necesare în alte situații.

Rapoarte trigonometrice în triunghiuri dreptunghiulare

Un triunghi dreptunghiular include întotdeauna un unghi de 90 ° (π / 2 radiani), aici cu eticheta C. Unghiurile A și B pot varia. Funcțiile trigonometrice specifică relațiile dintre lungimile laturilor și unghiurile interioare ale unui triunghi dreptunghiular.

În triunghiurile dreptunghiulare , raporturile trigonometrice ale sinusului, cosinusului și tangentei pot fi utilizate pentru a găsi unghiuri necunoscute și lungimile laturilor necunoscute. Laturile triunghiului sunt cunoscute după cum urmează:

  • Ipotenuzei este partea opusă unghiului drept, sau definit ca cea mai lungă latură a unui triunghi unghi dreapta, în acest caz h .
  • Partea opusă este partea opusă unghiului care ne interesează, în acest caz a .
  • Partea adiacentă este partea care este în contact cu unghiul care ne interesează și unghiul drept, de unde și numele său. În acest caz, partea adiacentă este b .

Sinus, cosinus și tangent

Sinusul unui unghi este raportul dintre lungimea laturii opusă lungimea ipotenuzei. În cazul nostru

Acest raport nu depinde de triunghiul dreptunghiular ales, atâta timp cât conține unghiul A , deoarece toate aceste triunghiuri sunt similare .

Cosinusul unui unghi este raportul dintre lungimea laturii adiacente lungimea ipotenuzei. În cazul nostru

Tangenta unui unghi este raportul dintre lungimea laturii opusă lungimea laturii adiacente. În cazul nostru

Acronimul „ SOH-CAH-TOA ” este un mnemonic util pentru aceste rapoarte.

Funcții inverse

Funcțiile trigonometrice inverse pot fi utilizate pentru a calcula unghiurile interne pentru un triunghi unghiular dreptunghiular cu lungimea oricărei două laturi.

Arcsin poate fi folosit pentru a calcula un unghi de la lungimea laturii opuse și lungimea hipotenuzei.

Arccos poate fi folosit pentru a calcula un unghi de la lungimea laturii adiacente și lungimea hipotenuzei.

Arctan poate fi folosit pentru a calcula un unghi de la lungimea laturii opuse și lungimea laturii adiacente.

În cursurile introductive de geometrie și trigonometrie, notația sin −1 , cos −1 etc. sunt adesea folosite în locul arcsin, arccos etc. Cu toate acestea, arcsin, arccos etc., notația este standard în matematica superioară unde trigonometria funcțiile sunt de obicei ridicate la puteri, deoarece aceasta evită confuzia între inversul multiplicativ și inversul compozițional .

Reguli sinus, cosinus și tangente

Un triunghi cu laturile de lungime a, b și c și, respectiv, unghiurile α, β și γ.

Legea Sines , sau regula sine, prevede că raportul dintre lungimea unei laturi a sinusul unghiului său corespunzător opus este constantă, care este

Acest raport este egal cu diametrul cercului circumscris al triunghiului dat. O altă interpretare a acestei teoreme este că fiecare triunghi cu unghiuri α, β și γ este similar cu un triunghi cu lungimi laterale egale cu sin α, sin β și sin γ. Acest triunghi poate fi construit construind mai întâi un cerc cu diametrul 1 și inscriind în el două dintre unghiurile triunghiului. Lungimea laturilor triunghiului respectiv va fi sin α, sin β și sin γ. Latura a cărei lungime este sin α este opusă unghiului a cărui măsură este α etc.

Legea cosinusului sau regula cosinus, se conectează lungimea o latură necunoscută a unui triunghi cu lungimea celelalte laturi și invers unghi față de partea necunoscută. Conform legii:

Pentru un triunghi cu lungimea laturilor a , b , c și unghiuri ale lui α, β, respectiv γ, date două lungimi cunoscute ale unui triunghi a și b , și unghiul dintre cele două laturi cunoscute γ (sau unghiul opus necunoscutului partea c ), pentru a calcula a treia parte c , se poate utiliza următoarea formulă:

Dacă se cunosc lungimile tuturor celor trei laturi ale oricărui triunghi, se pot calcula cele trei unghiuri:

Legea tangente sau regula tangenta, poate fi utilizată pentru a găsi o latură sau un unghi atunci când sunt cunoscute două laturi și un unghi sau două unghiuri și o parte. Se afirmă că:

Soluția triunghiurilor

„Soluția triunghiurilor” este principala problemă trigonometrică : găsirea caracteristicilor lipsă ale unui triunghi (trei unghiuri, lungimile celor trei laturi etc.) atunci când sunt date cel puțin trei dintre aceste caracteristici. Triunghiul poate fi situat pe un plan sau pe o sferă . Această problemă apare adesea în diferite aplicații trigonometrice, cum ar fi geodezie , astronomie , construcții , navigație etc.

Calculând aria unui triunghi

Aria unui triunghi poate fi demonstrată, de exemplu prin intermediul congruenței triunghiurilor , ca jumătate din aria unui paralelogram care are aceeași lungime și înălțime a bazei.
O derivare grafică a formulei care evită procedura obișnuită de dublare a zonei triunghiului și apoi înjumătățire.

Calculul ariei T a unui triunghi este o problemă elementară întâlnită adesea în multe situații diferite. Cea mai cunoscută și simplă formulă este:

unde b este lungimea bazei triunghiului și h este înălțimea sau altitudinea triunghiului. Termenul "bază" reprezintă orice latură, iar "înălțime" reprezintă lungimea unei perpendiculare de la vârful opus bazei pe linia care conține baza. În 499 CE Aryabhata , a folosit această metodă ilustrată în Aryabhatiya (secțiunea 2.6).

Deși simplă, această formulă este utilă numai dacă înălțimea poate fi găsită cu ușurință, ceea ce nu este întotdeauna cazul. De exemplu, topograful unui câmp triunghiular ar putea fi relativ ușor de măsurat lungimea fiecărei laturi, dar relativ dificil de construit o „înălțime”. În practică pot fi utilizate diverse metode, în funcție de ceea ce se știe despre triunghi. Următoarea este o selecție de formule utilizate frecvent pentru aria unui triunghi.

Folosind trigonometria

Aplicarea trigonometriei pentru a găsi altitudinea h .

Înălțimea unui triunghi poate fi găsită prin aplicarea trigonometriei .

Cunoașterea SAS : Folosind etichetele din imaginea din dreapta, altitudinea este h = un păcat . Înlocuind acest lucru în formula derivată mai sus, aria triunghiului poate fi exprimată ca:

(unde α este unghiul interior la A , β este unghiul interior la B , este unghiul interior la C și c este linia AB ).

Mai mult, din moment ce sin α = sin ( π - α) = sin (β + ) și în mod similar pentru celelalte două unghiuri:

Cunoașterea AAS :

și analog dacă partea cunoscută este a sau c .

Cunoașterea ASA :

și analog dacă partea cunoscută este b sau c .

Folosind formula lui Heron

Forma triunghiului este determinată de lungimile laturilor. Prin urmare, zona poate fi derivată și din lungimile laturilor. După formula lui Heron :

unde este semiperimetrul , sau jumătate din perimetrul triunghiului.

Alte trei moduri echivalente de a scrie formula lui Heron sunt

Folosind vectori

Aria unui paralelogram încorporat într-un spațiu euclidian tridimensional poate fi calculată folosind vectori . Lăsați vectorii AB și AC punct , respectiv , de la A la B și de la A la C . Aria paralelogramului ABDC este atunci

care este magnitudinea produsului încrucișat al vectorilor AB și AC . Aria triunghiului ABC este jumătate din aceasta,

Aria triunghiului ABC poate fi, de asemenea, exprimată în termeni de produse punct , după cum urmează:

În spațiul euclidian bidimensional, exprimând vectorul AB ca vector liber în spațiul cartezian egal cu ( x 1 , y 1 ) și AC ca ( x 2 , y 2 ), acesta poate fi rescris ca:

Folosind coordonate

Dacă vârful A este situat la originea (0, 0) a unui sistem de coordonate cartesiene și coordonatele celorlalte două vârfuri sunt date de B = ( x B , y B ) și C = ( x C , y C ) , atunci aria poate fi calculată ca 12 ori valoarea absolută a determinantului

Pentru trei vârfuri generale, ecuația este:

care poate fi scris ca

Dacă punctele sunt etichetate secvențial în sens invers acelor de ceasornic, expresiile determinante de mai sus sunt pozitive și semnele valorii absolute pot fi omise. Formula de mai sus este cunoscută sub numele de formula șiretului sau formula topografului.

Dacă localizăm vârfurile în planul complex și le notăm în sens invers acelor de ceasornic ca a = x A + y A i , b = x B + y B i și c = x C + y C i , și denotăm conjugatele lor complexe ca ,, și , apoi formula

este echivalent cu formula șiretului.

În trei dimensiuni, aria unui triunghi general A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) și C = ( x C , y C , z C ) este Suma pitagorică a ariilor proiecțiilor respective pe cele trei planuri principale (adică x = 0, y = 0 și z = 0):

Folosind integrale de linie

Zona din cadrul oricărei curbe închise, cum ar fi un triunghi, este dat de integralei linie în jurul curbei distanței algebrice sau semnate de un punct de pe curba de la o linie dreaptă orientate arbitrar L . Punctele din dreapta lui L , orientate, sunt considerate a fi la distanță negativă de L , în timp ce greutatea integralei este considerată a fi componenta lungimii arcului paralelă cu L, mai degrabă decât lungimea arcului în sine.

Această metodă este potrivită pentru calcularea ariei unui poligon arbitrar . Luând L ca axă x , integrala de linie dintre vârfurile consecutive ( x i , y i ) și ( x i +1 , y i +1 ) este dată de baza ori a înălțimii medii, și anume ( x i +1 - x i ) ( y i + y i +1 ) / 2 . Semnul zonei este un indicator general al direcției de traversare, cu zona negativă indicând traversarea în sens invers acelor de ceasornic. Aria unui triunghi cade apoi ca în cazul unui poligon cu trei laturi.

În timp ce metoda integrală de linie are în comun cu alte metode bazate pe coordonate, alegerea arbitrară a unui sistem de coordonate, spre deosebire de celelalte, nu face o alegere arbitrară a vârfului triunghiului ca origine sau a laturii ca bază. Mai mult, alegerea sistemului de coordonate definit de L se angajează la doar două grade de libertate, mai degrabă decât la cele trei obișnuite, deoarece greutatea este o distanță locală (de exemplu, x i +1 - x i în cele de mai sus) de unde metoda nu necesită alegerea o axă normală L .

Când se lucrează în coordonate polare , nu este necesar să se convertească în coordonate carteziene pentru a utiliza integrarea de linie, deoarece integrala de linie dintre vârfurile consecutive ( r i , θ i ) și ( r i +1 , θ i +1 ) a unui poligon este dată direct prin r i r i +1 sin (θ i +1 - θ i ) / 2 . Acest lucru este valabil pentru toate valorile lui θ, cu o oarecare scădere a preciziei numerice atunci când | θ | este mai multe ordine de mărime mai mari decât π. Cu această formulare, zona negativă indică traversarea în sensul acelor de ceasornic, care ar trebui să fie luată în considerare atunci când se amestecă coordonatele polare și carteziene. Așa cum alegerea axei y ( x = 0 ) este imaterială pentru integrarea liniei în coordonate carteziene, la fel este și alegerea poziției zero ( θ = 0 ) imaterială aici.

Formule asemănătoare formulei lui Heron

Trei formule au aceeași structură ca formula lui Heron, dar sunt exprimate în termeni de variabile diferite. În primul rând, desemnând medianele din laturile a , b și respectiv c ca m a , m b și m c și semi-suma lor ( m a + m b + m c ) / 2 ca σ, avem

Apoi, denotând altitudinile din laturile a , b și respectiv c ca h a , h b și h c și denotând semi-suma reciprocelor altitudinilor așa cum avem

Și denumind semi-suma sinelor unghiurilor ca S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , avem

unde D este diametrul circumcercului:

Folosind teorema lui Pick

Consultați teorema lui Pick pentru o tehnică pentru găsirea ariei oricărui poligon de rețea arbitrar (unul desenat pe o grilă cu puncte de rețea adiacente vertical și orizontal la distanțe egale și cu vârfuri pe puncte de rețea).

Teorema afirmă:

unde este numărul de puncte de rețea interne și B este numărul de puncte de rețea situate pe marginea poligonului.

Alte formule de zonă

Există numeroase alte formule de zonă, cum ar fi

unde r este inradius , și s este semiperimetrul (de fapt, această formulă este valabilă pentru toți poligoanele tangențiale ) și

unde sunt razele cercurilor tangente la laturile a, b, respectiv c .

De asemenea avem

și

pentru circumdiametrul D ; și

pentru unghiul α ≠ 90 °.

Zona poate fi exprimată și ca

În 1885, Baker a oferit o colecție de peste o sută de formule de zonă distincte pentru triunghi. Acestea includ:

pentru circumradius (raza circumcercului) R și

Limita superioară a zonei

Zona T a oricărui triunghi cu perimetrul p satisface

cu menținerea egalității dacă și numai dacă triunghiul este echilateral.

Alte limite superioare pe zona T sunt date de

și

ambele ținând din nou dacă și numai dacă triunghiul este echilateral.

Bisectând zona

Există infinit de multe linii care împart aria unui triunghi . Trei dintre ele sunt medianele, care sunt singurele bisectoare care trec prin centroid. Alte trei bisectoare sunt paralele cu laturile triunghiului.

Orice linie printr-un triunghi care împarte atât aria triunghiului cât și perimetrul acestuia în jumătate trece prin incinerul triunghiului. Pot fi una, două sau trei dintre acestea pentru orice triunghi dat.

Alte formule pentru triunghiurile euclidiene generale

Formulele din această secțiune sunt adevărate pentru toate triunghiurile euclidiene.

Mediane, bisectoare unghiulare, bisectoare laterale perpendiculare și altitudini

Medianele și părțile sunt legate de

și

,

și echivalent pentru m b și m c .

Pentru unghiul O latură opusă a , lungimea bisectoarea unghiului intern este dată de

pentru semiperimetru s , unde lungimea bisectoarei este măsurată de la vârf până unde se întâlnește cu partea opusă.

Bisectoarele perpendiculare interioare sunt date de

unde sunt laturile și zona este

Altitudinea de, de exemplu, latura de lungime a este

Circumradius și inradius

Următoarele formule implică circumradius R și inradius r :

unde h a etc. sunt altitudinile față de laturile subscrise;

și

.

Produsul a două laturi ale unui triunghi este egal cu altitudinea până la a treia parte de diametrul D al circumcercului:

Triunghiuri adiacente

Să presupunem că două triunghiuri adiacente, dar care nu se suprapun, împărtășesc aceeași parte a lungimii f și au același circumcerc, astfel încât latura lungimii f este o coardă a circumcercului și triunghiurile au lungimi laterale ( a , b , f ) și ( c , d , f ), cu cele două triunghiuri formând împreună un patrulater ciclic cu lungimi laterale în ordine ( a , b , c , d ). Atunci

Centroid

Fie G centroidul unui triunghi cu vârfuri A , B și C și fie P orice punct interior. Apoi distanțele dintre puncte sunt legate de

Suma pătratelor laturilor triunghiului este egală cu de trei ori suma distanțelor pătrate ale centrului de la vârfuri:

Fie q a , q b și q c distanțele de la centroid la laturile lungimilor a , b și c . Atunci

și

pentru zona T .

Circumcenter, stimulator și ortocentru

Teorema lui Carnot afirmă că suma distanțelor de la circumcentru la cele trei laturi este egală cu suma circumradiusului și a inradiusului. Aici lungimea unui segment este considerată a fi negativă dacă și numai dacă segmentul se află în întregime în afara triunghiului. Această metodă este utilă în special pentru deducerea proprietăților unor forme mai abstracte de triunghiuri, cum ar fi cele induse de algebre Lie , care altfel au aceleași proprietăți ca triunghiurile obișnuite.

Teorema lui Euler afirmă că distanța d dintre circumcenter și stimulator este dată de

sau echivalent

unde R este circumradius și r este inradius. Astfel, pentru toate triunghiurile R ≥ 2 r , cu menținerea egalității pentru triunghiurile echilaterale.

Dacă notăm că ortocentrul împarte o altitudine în segmente de lungimi u și v , o altă altitudine în lungimi de segmente w și x , iar a treia altitudine în lungimi de segmente y și z , atunci uv = wx = yz .

Distanța de la o latură la circumcentru este egală cu jumătate din distanța de la vârful opus la ortocentru.

Suma pătratelor distanțelor de la vârfuri la ortocentrul H plus suma pătratelor laturilor este egală cu douăsprezece ori pătratul circumradiusului:

Unghiuri

În plus față de legea sinusurilor , legea cosinusului , legea tangențelor și condițiile de existență trigonometrică date anterior, pentru orice triunghi

Teorema trisectorială a lui Morley

Triunghiul Morley, rezultat din trisecția fiecărui unghi interior. Acesta este un exemplu de regulă de subdiviziune finită .

Teorema trisectorială a lui Morley afirmă că în orice triunghi, cele trei puncte de intersecție ale trisectorilor unghiului adiacent formează un triunghi echilateral, numit triunghi Morley.

Figurile înscrise într-un triunghi

Conics

După cum sa discutat mai sus, fiecare triunghi are un cerc unic inscripționat (cerc) care este interior triunghiului și tangent la toate cele trei laturi.

Fiecare triunghi are un inelipse Steiner unic, care este interior triunghiului și tangent la punctele medii ale laturilor. Teorema lui Marden arată cum să găsim focarele acestei elipse . Această elipsă are cea mai mare zonă a oricărei elipse tangente la toate cele trei laturi ale triunghiului.

Inellipse Mandart unui triunghi este elipsa înscrisă în tangenta triunghi la laturile sale la punctele de contact ale excircles sale.

Pentru orice elipsă înscris într - un triunghi ABC , să fie focii P și Q . Atunci

Poligon convex

Fiecare poligon convex cu zona T poate fi înscris într - un triunghi de zonă de cel mult egal cu 2 T . Egalitatea se menține (exclusiv) pentru un paralelogram .

Hexagon

Lemoine hexagonul este un hexagon ciclic cu vârfuri date de cele șase intersecții ale laturilor unui triunghi cu cele trei linii care sunt paralele cu laturile și care trec prin ei punctul symmedian . Fie forma sa simplă, fie forma sa auto-intersectată , hexagonul Lemoine este interior triunghiului cu două vârfuri pe fiecare parte a triunghiului.

Pătrate

Fiecare triunghi acut are trei pătrate inscripționate (pătrate în interiorul său, astfel încât toate cele patru vârfuri ale unui pătrat se află pe o parte a triunghiului, astfel încât două dintre ele se află pe aceeași parte și, prin urmare, o parte a pătratului coincide cu o parte a unei laturi a triunghiului). Într-un triunghi dreptunghiular, două dintre pătrate coincid și au un vârf la unghiul drept al triunghiului, deci un triunghi dreptunghi are doar două pătrate inscripționate distincte . Un triunghi obtuz are un singur pătrat inscripționat, cu o latură care coincide cu o parte a celei mai lungi laturi a triunghiului. Într-un triunghi dat, o latură comună mai lungă este asociată cu un pătrat mai mic înscris. Dacă un pătrat inscripționat are latura de lungime q a și triunghiul are o latură de lungime a , a cărei parte coincide cu o latură a pătratului, atunci q a , a , altitudinea h a din partea a și a triunghiului zona T sunt legate conform

Cel mai mare raport posibil dintre aria pătratului înscris și aria triunghiului este 1/2, care apare atunci când a 2 = 2 T , q = a / 2 , iar altitudinea triunghiului de la baza lungimii a este egal cu a . Cel mai mic raport posibil dintre latura unui pătrat inscripționat și partea altuia în același triunghi non-obtuz este Ambele cazuri extreme apar pentru triunghiul dreptunghi isoscel.

Triunghiuri

Dintr-un punct interior dintr-un triunghi de referință, cele mai apropiate puncte de pe cele trei laturi servesc drept vârfuri ale triunghiului pedalei acelui punct. Dacă punctul interior este circumcentrul triunghiului de referință, vârfurile triunghiului pedalei sunt punctele medii ale laturilor triunghiului de referință, astfel încât triunghiul pedalei se numește triunghi punct mediu sau triunghi medial. Triunghiul punctului mediu împarte triunghiul de referință în patru triunghiuri congruente, care sunt similare triunghiului de referință.

Triunghiul Gergonne sau triunghi InTouch unui triunghi de referință are vârfurile sale la cele trei puncte de tangență laturi ale triunghiului de referință cu incircle său. Triunghiul extouch al unui triunghi de referință are vârfurile sale de la punctele de tangență ale excircles ale triunghiului de referință cu laturile sale ( care nu se extinde).

Cifre circumscrise în jurul unui triunghi

Triunghiul tangențială a unui triunghi de referință (altul decât un triunghi dreptunghic) este triunghiul ale cărui laturi sunt pe liniile tangente la circumscris triunghiului de referință la nodurile sale.

După cum s-a menționat mai sus, fiecare triunghi are un cerc circular unic, un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri, al căror centru este intersecția bisectoarelor perpendiculare ale laturilor triunghiului.

Mai mult, fiecare triunghi are o circumellipse Steiner unică , care trece prin vârfurile triunghiului și are centrul său la centroul triunghiului. Dintre toate elipsele care trec prin vârfurile triunghiului, are cea mai mică zonă.

Kiepert hiperbola este unic conică , care trece prin triunghiul trei noduri, centroida sale și circumscris acestuia.

Dintre toate triunghiurile conținute într-un poligon convex dat, există un triunghi cu aria maximă ale cărui vârfuri sunt toate vârfurile poligonului dat.

Specificarea locației unui punct într-un triunghi

O modalitate de a identifica locațiile punctelor dintr-un triunghi (sau în exterior) este plasarea triunghiului într-o locație și orientare arbitrare în planul cartezian și utilizarea coordonatelor carteziene. Deși este convenabilă pentru multe scopuri, această abordare are dezavantajul că valorile coordonate ale tuturor punctelor sunt dependente de plasarea arbitrară în plan.

Două sisteme evită această caracteristică, astfel încât coordonatele unui punct să nu fie afectate de mișcarea triunghiului, rotirea acestuia sau reflectarea acestuia ca într-o oglindă, oricare dintre acestea să dea un triunghi congruent sau chiar prin redimensionarea acestuia pentru a da un triunghi similar. :

  • Coordonatele triliniare specifică distanțele relative ale unui punct față de laturi, astfel încât coordonatele indică faptul că raportul dintre distanța punctului de la prima parte la distanța sa de a doua parte este etc.
  • Coordonatele baricentrice ale formei specifică locația punctului în funcție de greutățile relative care ar trebui să fie puse pe cele trei vârfuri pentru a echilibra triunghiul altfel fără greutate pe punctul dat.

Triunghiuri neplanare

Un triunghi neplan este un triunghi care nu este cuprins într-un plan (plat). Câteva exemple de triunghiuri neplanare în geometrii neeuclidiene sunt triunghiuri sferice în geometrie sferică și triunghiuri hiperbolice în geometrie hiperbolică .

În timp ce măsurile unghiurilor interne din triunghiurile plane se ridică întotdeauna la 180 °, un triunghi hiperbolic are măsuri ale unghiurilor care însumează mai puțin de 180 °, iar un triunghi sferic are măsuri ale unghiurilor care însumează mai mult de 180 °. Un triunghi hiperbolic poate fi obținut prin desenarea pe o suprafață curbată negativ, cum ar fi o suprafață de șa , iar un triunghi sferic poate fi obținut prin desenarea pe o suprafață curbată pozitiv, cum ar fi o sferă . Astfel, dacă se desenează un triunghi uriaș pe suprafața Pământului, se va descoperi că suma măsurilor unghiurilor sale este mai mare de 180 °; de fapt va fi între 180 ° și 540 °. În special, este posibil să se traseze un triunghi pe o sferă astfel încât măsura fiecăruia dintre unghiurile sale interne să fie egală cu 90 °, însumând un total de 270 °.

Mai exact, pe o sferă suma unghiurilor unui triunghi este

180 ° × (1 + 4 f ),

unde f este fracțiunea ariei sferei care este închisă de triunghi. De exemplu, să presupunem că desenăm un triunghi pe suprafața Pământului cu vârfuri la Polul Nord, într-un punct al ecuatorului la 0 ° longitudine și un punct al ecuatorului la 90 ° longitudine vestică . Linia cercului mare dintre ultimele două puncte este ecuatorul, iar linia cercului mare dintre oricare dintre aceste puncte și Polul Nord este o linie de longitudine; deci există unghiuri drepte în cele două puncte de pe ecuator. Mai mult, unghiul de la Polul Nord este, de asemenea, de 90 °, deoarece celelalte două vârfuri diferă cu 90 ° de longitudine. Deci suma unghiurilor din acest triunghi este de 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 ° . Triunghiul cuprinde 1/4 din emisfera nordică (90 ° / 360 ° așa cum se vede din Polul Nord) și, prin urmare, 1/8 din suprafața Pământului, deci în formula f = 1/8 ; astfel formula dă corect suma unghiurilor triunghiului ca 270 °.

Din formula de sumă a unghiului de mai sus putem vedea, de asemenea, că suprafața Pământului este locală: Dacă desenăm un triunghi arbitrar mic în vecinătatea unui punct de pe suprafața Pământului, fracția f a suprafeței Pământului care este închisă de triunghi va fi fi arbitrar aproape de zero. În acest caz, formula unghiului se simplifică la 180 °, ceea ce știm este ceea ce ne spune geometria euclidiană pentru triunghiuri pe o suprafață plană.

Triunghiuri în construcție

Clădirea Flatiron din New York are forma unei prisme triunghiulare

Dreptunghiurile au fost cea mai populară și comună formă geometrică pentru clădiri, deoarece forma este ușor de stivuit și de organizat; ca standard, este ușor să proiectați mobilier și corpuri de iluminat pentru a se potrivi în interiorul clădirilor de formă dreptunghiulară. Dar triunghiurile, deși sunt mai dificil de utilizat conceptual, oferă o mare forță. Deoarece tehnologia computerelor îi ajută pe arhitecți să proiecteze noi clădiri creative, formele triunghiulare devin din ce în ce mai răspândite ca părți ale clădirilor și ca formă primară pentru unele tipuri de zgârie-nori, precum și materiale pentru construcții. În Tokyo, în 1989, arhitecții se întrebau dacă este posibil să se construiască un turn de 500 de etaje pentru a oferi spații de birouri accesibile acestui oraș dens, dar, cu pericolul pentru clădiri de la cutremure , arhitecții au considerat că o formă triunghiulară ar fi necesară dacă o astfel de urma să fie construită o clădire.

În New York , pe măsură ce Broadway traversează căile majore, blocurile rezultate sunt tăiate ca triunghiurile, iar clădirile au fost construite pe aceste forme; o astfel de clădire este clădirea Flatiron de formă triunghiulară pe care oamenii imobiliari o recunosc că are o „pustie de spații incomode care nu pot găzdui cu ușurință mobilierul de birou modern”, dar care nu a împiedicat structura să devină o pictogramă de referință. Designerii au realizat case în Norvegia folosind teme triunghiulare. Formele de triunghi au apărut în biserici, precum și în clădiri publice, inclusiv colegii, precum și suporturi pentru design-uri inovatoare de case.

Triunghiurile sunt robuste; în timp ce un dreptunghi se poate prăbuși într-un paralelogram de la presiune la unul dintre punctele sale, triunghiurile au o rezistență naturală care susține structurile împotriva presiunilor laterale. Un triunghi nu își va schimba forma decât dacă laturile sale sunt îndoite sau extinse sau rupte sau dacă articulațiile sale se rup; în esență, fiecare dintre cele trei părți le susține pe celelalte două. Un dreptunghi, în schimb, este mai dependent de rezistența articulațiilor sale într-un sens structural. Unii designeri inovatori au propus realizarea cărămizilor nu din dreptunghiuri, ci cu forme triunghiulare care pot fi combinate în trei dimensiuni. Este probabil ca triunghiurile să fie utilizate din ce în ce mai mult în moduri noi pe măsură ce arhitectura crește în complexitate. Este important să ne amintim că triunghiurile sunt puternice în ceea ce privește rigiditatea, dar în timp ce sunt ambalate într-un aranjament teselat triunghiurile nu sunt la fel de puternice ca hexagoanele sub compresiune (de unde prevalența formelor hexagonale în natură ). Cu toate acestea, triunghiurile teselate păstrează o rezistență superioară pentru consolă , iar aceasta este baza pentru una dintre cele mai puternice structuri create de om, ferma tetraedrică .

Vezi si

Note

Referințe

linkuri externe