Formulele lui Vieta - Vieta's formulas

În matematică , formulele lui Vieta sunt formule care raportează coeficienții unui polinom la sumele și produsele rădăcinilor sale . Numite după François Viète (mai frecvent menționat de forma latinizată a numelui său, „Franciscus Vieta”), formulele sunt utilizate în mod specific în algebră .

Formule de bază

Orice polinom general de grad n

${\ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

(cu coeficienții fiind numere reale sau complexe și a _n ≠ 0 ) se cunoaște prin teorema fundamentală a algebrei că are n (nu neapărat distincte) rădăcini complexe r ₁ , r ₂ , ..., r _n . Formulele lui Vieta corelează coeficienții polinomului cu sume semnate de produse din rădăcinile r ₁ , r ₂ , ..., r _n după cum urmează:

${\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} + r_ {2} + \ dots + r_ {n-1} + r_ {n} = - {\ dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n }}} \\ (r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + \ cdots + r_ {1} r_ {n}) + (r_ {2} r_ {3} + r_ {2 } r_ {4} + \ cdots + r_ {2} r_ {n}) + \ cdots + r_ {n-1} r_ {n} = {\ dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} } \\ {} \ quad \ vdots \\ r_ {1} r_ {2} \ dots r_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ dfrac {a_ {0}} {a_ {n}}} . \ end {cases}}}$

Formulele lui Vieta pot fi scrise în mod echivalent ca

${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {k} r_ {i_ { j}} \ right) = (- 1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}},}$

pentru k = 1, 2, ..., n (indicii i _k sunt sortați în ordine crescătoare pentru a se asigura că fiecare produs din k rădăcini este utilizat exact o dată).

Laturile din stânga ale formulelor lui Vieta sunt polinoamele simetrice elementare ale rădăcinilor.

Generalizare la inele

Formulele lui viète sunt frecvent utilizate cu polinoame cu coeficienți în orice domeniu integral R . Apoi, coeficienții aparțin inelului fracțiunilor lui R (și, eventual, sunt în R în sine, dacă se întâmplă să fie inversabile în R ), iar rădăcinile sunt luate într-o extensie închisă algebric . De obicei, R este inelul numerelor întregi , câmpul fracțiilor este câmpul numerelor raționale și câmpul închis algebric este câmpul numerelor complexe . ${\ displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$

Formulele lui Vieta sunt apoi utile deoarece oferă relații între rădăcini fără a fi nevoie să le calculeze.

Pentru polinoame peste un inel comutativ , care nu este un domeniu integrantă, formulele sunt valabile Localitate numai atunci când este un non-zero , împărțitor și factori . De exemplu, în inelul întregului modul 8, polinomul are patru rădăcini: 1, 3, 5 și 7. Formulele lui Vieta nu sunt adevărate dacă, să spunem și , pentru că . Cu toate acestea, are un factor ca și cum , iar formulele lui Vieta sunt valabile dacă stabilim oricare și sau și . ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ dots (x-r_ {n})}$${\ displaystyle P (x) = x ^ {2} -1}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 3}$${\ displaystyle P (x) \ neq (x-1) (x-3)}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle (x-1) (x-7)}$${\ displaystyle (x-3) (x-5)}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 7}$${\ displaystyle r_ {1} = 3}$${\ displaystyle r_ {2} = 5}$

Exemplu

Formulele lui Vieta aplicate polinomului pătratic și cubic:

Rădăcinile de pătratice polinomului Satisfy ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}$

Prima dintre aceste ecuații poate fi utilizată pentru a găsi minimul (sau maximul) lui P ; vezi Ecuația pătratică § Formulele lui Vieta .

Rădăcinile de cub polinomului Satisfy ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + r_ {2} r_ {3} = {\ frac {c} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} r_ {3} = - {\ frac {d} {a}}.}$

Dovadă

Formulele lui Vieta pot fi dovedite prin extinderea egalității

${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n})}$

(ceea ce este adevărat deoarece sunt toate rădăcinile acestui polinom), înmulțind factorii din partea dreaptă și identificând coeficienții fiecărei puteri a${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n}}$${\ displaystyle x.}$

În mod formal, dacă se extinde , termenii sunt exact unde este 0 sau 1, în consecință, dacă este inclus în produs sau nu, și k este numărul care este exclus, deci numărul total de factori din produs este n (numărare cu multiplicitate k ) - deoarece există n alegeri binare (include sau x ), există termeni - geometric, aceștia pot fi înțelese ca vârfurile unui hipercub. Gruparea acestor termeni după grade produce polinoamele simetrice elementare în - pentru x ^k , toate produsele distincte k- ori ale${\ displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n}),}$${\ displaystyle (-1) ^ {nk} r_ {1} ^ {b_ {1}} \ cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle x ^ {k}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}.}$

Ca exemplu, ia în considerare pătratul . Compararea puteri identice , vom găsi , și , cu care putem identifica , de exemplu , și , care sunt cu formula Vieta lui e pentru . ${\ displaystyle f (x) = a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {2} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) = a_ {2} (x ^ {2} -x (r_ {1} + r_ {2}) + r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {2} = a_ {2}}$${\ displaystyle a_ {1} = - a_ {2} (r_ {1} + r_ {2})}$${\ displaystyle a_ {0} = a_ {2} (r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - a_ {1} / a_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = a_ {0} / a_ {2}}$${\ displaystyle n = 2}$

Istorie

După cum se reflectă în nume, formulele au fost descoperite de matematicianul francez François Viète din secolul al XVI-lea , pentru cazul rădăcinilor pozitive.

În opinia matematicianului britanic Charles Hutton din secolul al XVIII-lea , așa cum este citat de Funkhouser, principiul general (nu numai pentru rădăcinile reale pozitive) a fost înțeles pentru prima dată de matematicianul francez din secolul al XVII-lea Albert Girard :

... [Girard a fost] prima persoană care a înțeles doctrina generală a formării coeficienților puterilor din suma rădăcinilor și a produselor lor. El a fost primul care a descoperit regulile pentru însumarea puterilor rădăcinilor oricărei ecuații.

Vezi si

• Identitățile lui Newton
• Polinom simetric elementar
• Polinom simetric
• Conținut (algebră)
• Proprietățile rădăcinilor polinomiale
• Teorema lui Gauss – Lucas
• Teorema rațiunii raționale

Referințe

• „Teorema Viète” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "O scurtă relatare a istoriei funcțiilor simetrice ale rădăcinilor ecuațiilor", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357-365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Un curs de algebră , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; și colab. (2006), Compendiul OMI: o colecție de probleme sugerate pentru olimpiadele internaționale de matematică, 1959–2004 , Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6