Funcționează pe un număr întreg n care este log (p) dacă n este egal cu p ^ k și zero în caz contrar
În matematică , funcția von Mangoldt este o funcție aritmetică numită după matematicianul german Hans von Mangoldt . Este un exemplu de funcție aritmetică importantă care nu este nici multiplicativă, nici aditivă .
Definiție
Funcția von Mangoldt, notată cu Λ ( n ) , este definită ca
Valorile lui Λ ( n ) pentru primele nouă numere întregi pozitive (adică numere naturale) sunt
care este legat de (secvența A014963 din OEIS ).
Funcția sumatorie von Mangoldt , ψ ( x ) , cunoscută și ca a doua funcție Chebyshev , este definită ca
Von Mangoldt a furnizat o dovadă riguroasă a unei formule explicite pentru ψ ( x ) care implică o sumă peste zerourile non-banale ale funcției zeta Riemann . Aceasta a fost o parte importantă a primei dovezi a teoremei numărului prim .
Proprietăți
Funcția von Mangoldt satisface identitatea
Suma este preluată asupra tuturor numerelor întregi d care împart n . Acest lucru este dovedit de teorema fundamentală a aritmeticii , deoarece termenii care nu sunt puteri ale primilor sunt egali cu 0 . De exemplu, luați în considerare cazul n = 12 = 2 2 × 3 . Atunci
Prin inversarea lui Möbius , avem
Seria Dirichlet
Funcția von Mangoldt joacă un rol important în teoria seriei Dirichlet și, în special, funcția zeta Riemann . De exemplu, unul are
Derivatul logaritmică este apoi
Acestea sunt cazuri speciale ale unei relații mai generale pe seria Dirichlet. Dacă unul are
pentru o funcție complet multiplicativă f ( n ) , iar seria converge pentru Re ( s )> σ 0 , atunci
converge pentru Re ( s )> σ 0 .
Funcția Chebyshev
A doua funcție Chebyshev ψ ( x ) este funcția rezumativă a funcției von Mangoldt:
Mellin transforma a funcției Cebîșev poate fi găsit prin aplicarea formulei lui Perron :
care este valabil pentru Re ( s )> 1 .
Serie exponențială
Hardy și Littlewood au examinat seria
în limita y → 0 + . Presupunând ipoteza Riemann , ei demonstrează că
În particular , această funcție este oscilatorie cu divergente oscilații : există o valoare K > 0 astfel încât ambele inegalități
țineți infinit de des în orice vecinătate de 0. Graficul din dreapta indică faptul că acest comportament nu este la început evident din punct de vedere numeric: oscilațiile nu sunt văzute clar până când seria nu este însumată peste 100 de milioane de termeni și sunt vizibile doar atunci când y <10 −5 .
Riesz înseamnă
Media Riesz a funcției von Mangoldt este dată de
Aici, λ și δ sunt numere care caracterizează media Riesz. Trebuie să luați c > 1 . Suma peste ρ este suma peste zerourile funcției zeta Riemann și
se poate dovedi a fi o serie convergentă pentru λ > 1 .
Aproximare prin zerouri zeta Riemann
Prima undă zero Riemann zeta din suma care aproximează funcția von Mangoldt
Există o formulă explicită pentru funcția Mangoldt rezumativă dată de
Dacă separăm zerourile banale ale funcției zeta, care sunt numerele întregi negative, obținem
Luând derivatul ambelor părți, ignorând problemele de convergență, obținem o „egalitate” a distribuțiilor
(Stânga) Funcția von Mangoldt, aproximată de unde zero zeta. (Dreapta) Transformata Fourier a funcției von Mangoldt oferă un spectru cu părți imaginare ale zerourilor zeta Riemann ca vârfuri la ordinele
x- axei.
Prin urmare, ar trebui să ne așteptăm ca suma peste zerouri zeta netriviale
vârfuri la primii. De fapt, acesta este cazul, așa cum se poate vedea în graficul alăturat, și poate fi verificat și prin calcul numeric.
Transformata Fourier a funcției von Mangoldt oferă un spectru cu vârfuri la ordonate egale cu părțile imaginare ale zerourilor funcției zeta Riemann. Aceasta este uneori numită dualitate.
Vezi si
Referințe
-
Apostol, Tom M. (1976), Introducere în teoria numerelor analitice , Texte de licență în matematică, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001
-
Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH (eds.). O introducere în teoria numerelor (ediția a VI-a). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243 . Zbl 1159.11001 .
linkuri externe