Funcția Von Mangoldt - Von Mangoldt function

În matematică , funcția von Mangoldt este o funcție aritmetică numită după matematicianul german Hans von Mangoldt . Este un exemplu de funcție aritmetică importantă care nu este nici multiplicativă, nici aditivă .

Definiție

Funcția von Mangoldt, notată cu Λ ( n ) , este definită ca

Valorile lui Λ ( n ) pentru primele nouă numere întregi pozitive (adică numere naturale) sunt

care este legat de (secvența A014963 din OEIS ).

Funcția sumatorie von Mangoldt , ψ ( x ) , cunoscută și ca a doua funcție Chebyshev , este definită ca

Von Mangoldt a furnizat o dovadă riguroasă a unei formule explicite pentru ψ ( x ) care implică o sumă peste zerourile non-banale ale funcției zeta Riemann . Aceasta a fost o parte importantă a primei dovezi a teoremei numărului prim .

Proprietăți

Funcția von Mangoldt satisface identitatea

Suma este preluată asupra tuturor numerelor întregi d care împart n . Acest lucru este dovedit de teorema fundamentală a aritmeticii , deoarece termenii care nu sunt puteri ale primilor sunt egali cu 0 . De exemplu, luați în considerare cazul n = 12 = 2 2 × 3 . Atunci

Prin inversarea lui Möbius , avem

Seria Dirichlet

Funcția von Mangoldt joacă un rol important în teoria seriei Dirichlet și, în special, funcția zeta Riemann . De exemplu, unul are

Derivatul logaritmică este apoi

Acestea sunt cazuri speciale ale unei relații mai generale pe seria Dirichlet. Dacă unul are

pentru o funcție complet multiplicativă f  ( n ) , iar seria converge pentru Re ( s )> σ 0 , atunci

converge pentru Re ( s )> σ 0 .

Funcția Chebyshev

A doua funcție Chebyshev ψ ( x ) este funcția rezumativă a funcției von Mangoldt:

Mellin transforma a funcției Cebîșev poate fi găsit prin aplicarea formulei lui Perron :

care este valabil pentru Re ( s )> 1 .

Serie exponențială

Mangoldt-series.svg

Hardy și Littlewood au examinat seria

în limita y → 0 + . Presupunând ipoteza Riemann , ei demonstrează că

În particular , această funcție este oscilatorie cu divergente oscilații : există o valoare K > 0 astfel încât ambele inegalități

țineți infinit de des în orice vecinătate de 0. Graficul din dreapta indică faptul că acest comportament nu este la început evident din punct de vedere numeric: oscilațiile nu sunt văzute clar până când seria nu este însumată peste 100 de milioane de termeni și sunt vizibile doar atunci când y <10 −5 .

Riesz înseamnă

Media Riesz a funcției von Mangoldt este dată de

Aici, λ și δ sunt numere care caracterizează media Riesz. Trebuie să luați c > 1 . Suma peste ρ este suma peste zerourile funcției zeta Riemann și

se poate dovedi a fi o serie convergentă pentru λ > 1 .

Aproximare prin zerouri zeta Riemann

Prima undă zero Riemann zeta din suma care aproximează funcția von Mangoldt

Există o formulă explicită pentru funcția Mangoldt rezumativă dată de

Dacă separăm zerourile banale ale funcției zeta, care sunt numerele întregi negative, obținem

Luând derivatul ambelor părți, ignorând problemele de convergență, obținem o „egalitate” a distribuțiilor

(Stânga) Funcția von Mangoldt, aproximată de unde zero zeta. (Dreapta) Transformata Fourier a funcției von Mangoldt oferă un spectru cu părți imaginare ale zerourilor zeta Riemann ca vârfuri la ordinele x- axei.

Prin urmare, ar trebui să ne așteptăm ca suma peste zerouri zeta netriviale

vârfuri la primii. De fapt, acesta este cazul, așa cum se poate vedea în graficul alăturat, și poate fi verificat și prin calcul numeric.

Transformata Fourier a funcției von Mangoldt oferă un spectru cu vârfuri la ordonate egale cu părțile imaginare ale zerourilor funcției zeta Riemann. Aceasta este uneori numită dualitate.

Vezi si

Referințe

linkuri externe