Lungime de undă - Wavelength

Lungimea de undă a unei unde sinusoidale , λ, poate fi măsurată între oricare două puncte cu aceeași fază , cum ar fi între creste (în partea de sus) sau jgheaburi (în partea de jos) sau treceri zero corespunzătoare, așa cum se arată.

În fizică , lungimea de undă este perioada spațială a unei unde periodice - distanța pe care se repetă forma undei. Este distanța dintre punctele consecutive corespunzătoare ale aceleiași faze pe val, cum ar fi două creste adiacente, jgheaburi sau treceri zero , și este o caracteristică atât a valurilor călătoare, cât și a valurilor staționare , precum și a altor tipare de unde spațiale. Inversă a lungimii de undă se numește frecvența spațială . Lungimea de undă este desemnată în mod obișnuit prin litera greacă lambda (λ). Termenul de lungime de undă se aplică uneori și undelor modulate și învelișurilor sinusoidale ale undelor modulate sau undelor formate prin interferența mai multor sinusoide.

Presupunând o undă sinusoidală care se mișcă la o viteză de undă fixă, lungimea de undă este invers proporțională cu frecvența undei: undele cu frecvențe mai mari au lungimi de undă mai mici, iar frecvențele inferioare au lungimi de undă mai mari.

Lungimea de undă depinde de mediul (de exemplu, vid, aer sau apă) prin care circulă o undă. Exemple de unde sunt undele sonore , lumina , undele de apă și semnalele electrice periodice dintr-un conductor . O undă sonoră este o variație a presiunii aerului , în timp ce în lumină și în alte radiații electromagnetice puterea câmpului electric și magnetic variază. Valurile de apă sunt variații ale înălțimii unui corp de apă. Într-o vibrație de rețea cristalină , pozițiile atomice variază.

Gama de lungimi de undă sau frecvențe pentru fenomenele de undă se numește spectru . Numele își are originea în spectrul luminii vizibile, dar acum poate fi aplicat întregului spectru electromagnetic , precum și spectrului sonor sau al spectrului de vibrații .

Undele sinusoidale

În mediul liniar , orice model de undă poate fi descris în termeni de propagare independentă a componentelor sinusoidale. Lungimea de undă λ a unei forme de undă sinusoidală care se deplasează la viteza constantă v este dată de

unde v se numește viteza de fază (magnitudinea vitezei de fază ) a undei și f este frecvența undei . Într-un mediu dispersiv , viteza de fază în sine depinde de frecvența undei, făcând relația dintre lungimea de undă și frecvența neliniară.

În cazul radiației electromagnetice - cum ar fi lumina - în spațiul liber , viteza fazei este viteza luminii , aproximativ 3 × 10 8  m / s. Astfel, lungimea de undă a unei unde electromagnetice (radio) de 100 MHz este de aproximativ: 3 × 10 8  m / s împărțită la 10 8  Hz = 3 metri. Lungimea de undă a luminii vizibile variază de la roșu intens , de aproximativ 700 nm , la violet , de aproximativ 400 nm (pentru alte exemple, a se vedea spectrul electromagnetic ).

Pentru undele sonore din aer, viteza sunetului este de 343 m / s (la temperatura camerei și presiunea atmosferică ). Lungimile de undă ale frecvențelor sonore audibile urechii umane (20  Hz –20 kHz) sunt astfel între aproximativ 17  m și , respectiv, 17  mm . Frecvențele ceva mai mari sunt folosite de lilieci, astfel încât să poată rezolva ținte mai mici de 17 mm. Lungimile de undă în sunetul sonor sunt mult mai lungi decât cele în lumină vizibilă.

Undele staționare sinusoidale dintr-o cutie care constrânge punctele finale să fie noduri vor avea un număr întreg de jumătăți de lungimi de undă care se potrivesc în cutie.
Un val staționar (negru) descris ca suma a două unde de propagare care călătoresc în direcții opuse (roșu și albastru)

Valuri staționare

Un val staționar este o mișcare ondulatorie care rămâne într-un singur loc. O undă staționară sinusoidală include puncte staționare fără mișcare, numite noduri , iar lungimea de undă este de două ori distanța dintre noduri.

Figura superioară arată trei valuri staționare într-o cutie. Se consideră că pereții casetei necesită ca unda să aibă noduri la pereții casetei (un exemplu de condiții la graniță ) care determină ce lungimi de undă sunt permise. De exemplu, pentru o undă electromagnetică, dacă cutia are pereți metalici ideali, condiția nodurilor de la pereți rezultă deoarece pereții metalici nu pot susține un câmp electric tangențial, forțând unda să aibă amplitudine zero la perete.

Unda staționară poate fi privită ca suma a două unde sinusoidale călătoare cu viteze îndreptate opus. În consecință, lungimea de undă, perioada și viteza de undă sunt legate la fel ca pentru o undă călătorie. De exemplu, viteza luminii poate fi determinată din observarea undelor staționare într-o cutie metalică care conține un vid ideal.

Reprezentarea matematică

Undele sinusoidale circulante sunt adesea reprezentate matematic în termeni de viteza lor v (în direcția x), frecvența f și lungimea de undă λ ca:

unde y este valoarea undei la orice poziție x și timpul t , iar A este amplitudinea undei. De asemenea, acestea sunt exprimate în mod obișnuit în termeni de număr de undă k (de 2π ori reciprocul lungimii de undă) și frecvența unghiulară ω (de 2π ori frecvența) ca:

în care lungimea de undă și numărul de undă sunt legate de viteză și frecvență ca:

sau

In a doua forma prezentată mai sus, faza ( kx - ωt ) este adesea generalizat la ( kr - ωt ) , prin înlocuirea wavenumber k cu un vector de undă care specifică direcția și numărul de undă a unui val de avion în 3-spațiu , parametrizat de vectorul de poziție r . În acest caz, numărul de undă k , magnitudinea lui k , este încă în aceeași relație cu lungimea de undă așa cum se arată mai sus, v fiind interpretat ca viteză scalară în direcția vectorului de undă. Prima formă, folosind lungimea de undă reciprocă în fază, nu se generalizează la fel de ușor ca o undă într-o direcție arbitrară.

Generalizările la sinusoidele altor faze și la exponențialele complexe sunt de asemenea comune; vezi unde plane . Convenția tipică a utilizării fazei cosinusului în locul fazei sinusoidale atunci când se descrie o undă se bazează pe faptul că cosinusul este partea reală a exponențialei complexe în undă

Mass-media generală

Lungimea de undă este redusă într-un mediu cu propagare mai lentă.
Refracție: la intrarea într-un mediu unde viteza acestuia este mai mică, unda își schimbă direcția.
Separarea culorilor printr-o prismă (faceți clic pentru animație)

Viteza unei unde depinde de mediul în care se propagă. În special, viteza luminii într-un mediu este mai mică decât în vid , ceea ce înseamnă că aceeași frecvență va corespunde unei lungimi de undă mai mici în mediu decât în ​​vid, așa cum se arată în figura din dreapta.

Această modificare a vitezei la intrarea într-un mediu provoacă refracție sau o schimbare a direcției undelor care întâlnesc interfața dintre medii într-un unghi. Pentru undele electromagnetice , această modificare a unghiului de propagare este guvernată de legea lui Snell .

Viteza de undă într-un mediu nu numai că poate diferi de cea din altul, dar viteza variază de obicei în funcție de lungimea de undă. Ca urmare, schimbarea direcției la intrarea într-un mediu diferit se modifică odată cu lungimea de undă a undei.

Pentru undele electromagnetice, viteza într-un mediu este guvernată de indicele său de refracție conform

unde c este viteza luminii în vid și n0 ) este indicele de refracție al mediului la lungimea de undă λ 0 , unde acesta din urmă este măsurat în vid mai degrabă decât în ​​mediu. Lungimea de undă corespunzătoare în mediu este

Când sunt indicate lungimile de undă ale radiației electromagnetice, lungimea de undă în vid este de obicei intenționată, cu excepția cazului în care lungimea de undă este identificată în mod specific ca lungimea de undă în alt mediu. În acustică, unde un mediu este esențial pentru existența undelor, valoarea lungimii de undă este dată pentru un mediu specificat.

Variația vitezei luminii cu lungimea de undă este cunoscută sub numele de dispersie și este, de asemenea, responsabilă pentru fenomenul familiar în care lumina este separată în culori componente printr-o prismă . Separarea are loc atunci când indicele de refracție din interiorul prismei variază în funcție de lungimea de undă, astfel încât diferite lungimi de undă se propagă la viteze diferite în interiorul prismei, determinându-le să se refracteze la unghiuri diferite. Relația matematică care descrie modul în care viteza luminii într-un mediu variază în funcție de lungimea de undă este cunoscută sub numele de relație de dispersie .

Medii neuniforme

Diverse lungimi de undă locale pe o bază de creastă la creastă într-un val oceanic care se apropie de țărm

Lungimea de undă poate fi un concept util chiar dacă unda nu este periodică în spațiu. De exemplu, într-un val oceanic care se apropie de țărm, prezentat în figură, valul de intrare se ondulează cu o lungime de undă locală variabilă, care depinde în parte de adâncimea fundului mării în comparație cu înălțimea valului. Analiza valului se poate baza pe compararea lungimii de undă locale cu adâncimea locală a apei.

O undă sinusoidală care călătorește într-un mediu neuniform, cu pierdere

Valurile care sunt sinusoidale în timp, dar se propagă printr-un mediu ale cărui proprietăți variază în funcție de poziție (un mediu neomogen ) se pot propaga cu o viteză care variază în funcție de poziție și, ca urmare, este posibil să nu fie sinusoidale în spațiu. Figura din dreapta arată un exemplu. Pe măsură ce unda încetinește, lungimea de undă devine mai scurtă și amplitudinea crește; după un loc de răspuns maxim, lungimea de undă scurtă este asociată cu o pierdere mare și unda se stinge.

Analiza ecuațiilor diferențiale a unor astfel de sisteme se face adesea aproximativ, folosind metoda WKB (cunoscută și ca metoda Liouville – Green ). Metoda integrează faza prin spațiu utilizând un număr de undă local , care poate fi interpretat ca indicând o „lungime de undă locală” a soluției în funcție de timp și spațiu. Această metodă tratează sistemul local ca și cum ar fi uniform cu proprietățile locale; în special, viteza de undă locală asociată cu o frecvență este singurul lucru necesar pentru a estima numărul de undă local corespunzător sau lungimea de undă. În plus, metoda calculează o amplitudine care se schimbă încet pentru a satisface alte constrângeri ale ecuațiilor sau ale sistemului fizic, cum ar fi conservarea energiei în val.

Cristale

O undă pe o linie de atomi poate fi interpretată în funcție de o varietate de lungimi de undă.

Undele din solidele cristaline nu sunt continue, deoarece sunt compuse din vibrații de particule discrete dispuse într-o rețea regulată. Acest lucru produce aliasing, deoarece aceeași vibrație poate fi considerată a avea o varietate de lungimi de undă diferite, așa cum se arată în figură. Descrierile care utilizează mai multe dintre aceste lungimi de undă sunt redundante; este convențional să alegeți cea mai mare lungime de undă care se potrivește fenomenului. Gama de lungimi de undă suficiente pentru a oferi o descriere a tuturor undelor posibile într-un mediu cristalin corespunde vectorilor de undă limitați la zona Brillouin .

Această nedeterminare a lungimii de undă în solide este importantă în analiza fenomenelor de undă, cum ar fi benzile de energie și vibrațiile rețelei . Este echivalent matematic cu aliasarea unui semnal care este eșantionat la intervale discrete.

Forme de undă mai generale

Valuri aproape periodice peste apă puțin adâncă

Conceptul de lungime de undă este cel mai adesea aplicat undelor sinusoidale sau aproape sinusoidale, deoarece într-un sistem liniar sinusoidul este forma unică care se propagă fără schimbare de formă - doar o schimbare de fază și potențial o schimbare de amplitudine. Lungimea de undă (sau, alternativ, numărul de undă sau vectorul de undă ) este o caracterizare a undei în spațiu, care este funcțional legată de frecvența sa, astfel cum este constrânsă de fizica sistemului. Sinusoidele sunt cele mai simple soluții de undă călătoare , iar soluțiile mai complexe pot fi construite prin suprapunere .

În cazul special al mediilor uniforme și fără dispersie, undele, altele decât sinusoidele, se propagă cu o formă și o viteză constante neschimbate. În anumite circumstanțe, valurile de formă neschimbătoare pot apărea și în mediile neliniare; de exemplu, figura prezintă valurile oceanelor în ape puțin adânci, care au creste mai ascuțite și jgheaburi mai plate decât cele ale unui sinusoid, tipic unei unde cnoidale , un val călător numit astfel deoarece este descris de funcția eliptică Jacobi de ordinul m de obicei notat ca cn ( x ; m ) . Valurile oceanice de amplitudine mare cu anumite forme se pot propaga neschimbate, din cauza proprietăților mediului undelor de suprafață neliniare.

Lungimea de undă a unei forme de undă periodice, dar non-sinusoidale.

Dacă o undă călătoare are o formă fixă ​​care se repetă în spațiu sau în timp, aceasta este o undă periodică . Astfel de unde sunt uneori considerate ca având o lungime de undă, chiar dacă nu sunt sinusoidale. Așa cum se arată în figură, lungimea de undă este măsurată între punctele corespunzătoare consecutive de pe forma de undă.

Pachete Wave

Un pachet de unde de propagare

Pachetele de unde localizate , „explozii” de acțiune unde unde fiecare pachet de undă călătorește ca o unitate, găsesc aplicații în multe domenii ale fizicii. Un pachet de unde are un anvelopă care descrie amplitudinea generală a undei; în interiorul plicului, distanța dintre vârfurile sau jgheaburile adiacente este uneori numită lungime de undă locală . Un exemplu este prezentat în figură. În general, anvelopa pachetului de unde se mișcă cu o viteză diferită de undele constitutive.

Folosind analiza Fourier , pachetele de unde pot fi analizate în sume (sau integrale) infinite de unde sinusoidale de diferite numere de undă sau lungimi de undă.

Louis de Broglie a postulat că toate particulele cu o valoare specifică a impulsului p au lungimea de undă λ = h / p , unde h este constanta lui Planck . Această ipoteză a stat la baza mecanicii cuantice . În zilele noastre, această lungime de undă se numește lungimea de undă de Broglie . De exemplu, electronii dintr-un afișaj CRT au o lungime de undă De Broglie de aproximativ 10 −13 m. Pentru a preveni răspândirea funcției de undă pentru o astfel de particulă pe tot spațiul, de Broglie a propus utilizarea pachetelor de unde pentru a reprezenta particulele care sunt localizate în spațiu. Răspândirea spațială a pachetului de unde și răspândirea numărului de undă a sinusoidelor care alcătuiesc pachetul, corespund incertitudinilor în poziția și impulsul particulelor, al căror produs este delimitat de principiul incertitudinii Heisenberg .

Interferență și difracție

Interferență cu două fante

Model de intensitate a luminii pe un ecran pentru trecerea luminii prin două fante. Etichetele din dreapta se referă la diferența de lungime a traseului de la cele două fante, care sunt idealizate aici ca surse punctuale.

Când se adaugă forme de undă sinusoidale, acestea se pot întări reciproc (interferență constructivă) sau se pot anula reciproc (interferență distructivă) în funcție de faza lor relativă. Acest fenomen este utilizat în interferometru . Un exemplu simplu este un experiment datorat lui Young în care lumina este trecută prin două fante . Așa cum se arată în figură, lumina este trecută prin două fante și strălucește pe un ecran. Calea luminii către o poziție pe ecran este diferită pentru cele două fante și depinde de unghiul path pe care calea îl face cu ecranul. Dacă presupunem că ecranul este suficient de departe de fante (adică s este mare în comparație cu separarea fantei d ) atunci căile sunt aproape paralele, iar diferența de cale este pur și simplu d sin θ. În consecință, condiția pentru interferența constructivă este:

unde m este un număr întreg, iar pentru interferența distructivă este:

Astfel, dacă lungimea de undă a luminii este cunoscută, separarea fantei poate fi determinată din modelul de interferență sau franjuri și invers .

Pentru mai multe fante, modelul este

unde q este numărul de fante și g este constanta de rețea. Primul factor, I 1 , este rezultatul unei singure fante, care modulează al doilea factor care variază mai rapid, care depinde de numărul de fante și de distanțarea acestora. În figura I 1 a fost setată la unitate, o aproximare foarte dură.

Efectul interferenței este de a redistribui lumina, astfel încât energia conținută în lumină să nu fie modificată, exact acolo unde apare.

Difracție cu o singură fantă

Modelul de difracție al unei fante duble are un plic cu o singură fantă .

Noțiunea de diferență de cale și interferență constructivă sau distructivă folosită mai sus pentru experimentul cu dublă fantă se aplică și afișării unei singure fante de lumină interceptate pe un ecran. Rezultatul principal al acestei interferențe este de a răspândi lumina din fanta îngustă într-o imagine mai largă de pe ecran. Această distribuție a energiei valurilor se numește difracție .

Se disting două tipuri de difracție, în funcție de separarea dintre sursă și ecran: difracția Fraunhofer sau difracția câmpului îndepărtat la separări mari și difracția Fresnel sau difracția câmpului apropiat la separări apropiate.

În analiza fantei unice, se ia în considerare lățimea diferită de zero a fantei și fiecare punct din diafragmă este luat ca sursă a unei contribuții la fasciculul de lumină ( undele lui Huygens ). Pe ecran, lumina care ajunge din fiecare poziție din fantă are o lungime diferită a traseului, deși este posibil o diferență foarte mică. În consecință, apare interferența.

În modelul de difracție Fraunhofer suficient de departe de o singură fantă, într-o aproximare cu unghi mic , intensitatea răspândită S este legată de poziția x printr-o funcție sinc pătrată :

 cu 

unde L este lățimea fantei, R este distanța modelului (pe ecran) de fanta, iar λ este lungimea de undă a luminii utilizate. Funcția S are zerouri în care u este un număr întreg diferit de zero, unde sunt la valori x la o proporție de separare față de lungimea de undă.

Rezoluție limitată prin difracție

Difracția este limitarea fundamentală a puterii de rezoluție a instrumentelor optice, cum ar fi telescoapele (inclusiv radiotelescopii ) și microscopele . Pentru o deschidere circulară, spotul de imagine limitat la difracție este cunoscut sub numele de disc Airy ; distanța x în formula de difracție cu o singură fantă este înlocuită cu distanța radială r și sinusul este înlocuit cu 2 J 1 , unde J 1 este o funcție Bessel de ordinul întâi .

Dimensiunea spațială rezolvabilă a obiectelor vizualizate la microscop este limitată în conformitate cu criteriul Rayleigh , raza la primul nul al discului Airy, la o dimensiune proporțională cu lungimea de undă a luminii utilizate și în funcție de diafragma numerică :

unde diafragma numerică este definită ca pentru θ fiind unghiul de jumătate al conului de raze acceptat de obiectivul microscopului .

Dimensiunea unghiulară a porțiunii luminoase centrale (raza până la primul nul al discului Airy ) a imaginii difractate de o deschidere circulară, o măsură folosită cel mai frecvent pentru telescoape și camere, este:

unde λ este lungimea de undă a undelor care sunt concentrate pentru imagistica, D intrare elev diametrul sistemului de formare a imaginii, în aceleași unități, iar rezoluția unghiulară δ este în radiani.

Ca și în cazul altor tipare de difracție, modelul se dimensionează proporțional cu lungimea de undă, astfel încât lungimile de undă mai scurte pot duce la o rezoluție mai mare.

Lungimea de undă

Termenul subwavelength este folosit pentru a descrie un obiect care are una sau mai multe dimensiuni mai mici decât lungimea undei cu care interacționează obiect. De exemplu, termenul de fibră optică sub-lungime de undă înseamnă o fibră optică al cărei diametru este mai mic decât lungimea de undă a luminii care se propagă prin ea.

O particulă de lungime de undă este o particulă mai mică decât lungimea de undă a luminii cu care interacționează (vezi dispersia Rayleigh ). Subwavelength deschiderile sunt găuri mai mici decât lungimea de undă de lumină ce se propagă prin intermediul lor. Astfel de structuri au aplicații în transmisia optică extraordinară și ghidurile de undă în modul zero , printre alte domenii ale fotonicii .

Lungimea de undă se poate referi și la un fenomen care implică obiecte de lungime de undă ; de exemplu, imagistica sub lungime de undă .

Lungimea de undă unghiulară

Relația dintre lungimea de undă, lungimea de undă unghiulară și alte proprietăți de undă.

O cantitate legată de lungimea de undă este lungimea de undă unghiulară (cunoscută și sub numele de lungime de undă redusă ), simbolizată de obicei prin ƛ (lambda-bar). Este egală cu lungimea de undă „regulată” „redusă” cu un factor de 2π ( ƛ = λ / 2π). De obicei se întâlnește în mecanica cuantică, unde este utilizată în combinație cu constanta Planck redusă (simbol ħ , bară h) și frecvența unghiulară (simbolul ω ) sau numărul de undă unghiular (simbolul k ).

Vezi si

Referințe

linkuri externe