Teorema Viena-Khinchin - Wiener–Khinchin theorem

În matematică aplicate , The teorema Wiener-Khinchin , de asemenea , cunoscut sub numele de teorema Wiener-Khintchine și , uneori , ca teorema Wiener-Khinchin-Einstein sau teorema Khinchin-Kolmogorov , prevede că autocorelație funcția unui proces aleatoriu larg sens staționar are o descompunere spectrală dată de spectrul de putere al acelui proces.

Istorie

Norbert Wiener a demonstrat această teoremă pentru cazul unei funcții deterministe în 1930; Ulterior, Aleksandr Khinchin a formulat un rezultat analog pentru procesele stochastice staționare și a publicat acel analog probabilistic în 1934. Albert Einstein a explicat, fără dovezi, ideea într-o scurtă notă de două pagini în 1914.

Cazul unui proces continuu

Pentru timp continuu, Wiener-Khinchin teorema spune că , dacă este un proces stocastic larg sens al cărui autocorelare funcție (uneori numită autocovariance ) definit în termeni de statistică valoare așteptată , (asteriscul reprezintă complex conjugat , și, desigur , poate fi omisă dacă procesul aleatoriu are o valoare reală), există și este finit la fiecare întârziere , apoi există o funcție monotonă în domeniul frecvenței astfel încât ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ operatorname {E} {\ big [} x (t) ^ {*} x (t- \ tau) {\ big]}}$${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle F (f)}$${\ displaystyle - \ infty <f <\ infty}$

${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi i \ tau f} dF (f),}$

unde integrala este o integrală Riemann – Stieltjes . Acesta este un fel de descompunere spectrală a funcției de corelare automată. F se numește funcția de distribuție spectrală a puterii și este o funcție de distribuție statistică. Uneori se numește spectru integrat.

Transformata Fourier a nu există în general, deoarece funcțiile aleatorii stochastice nu sunt, în general, nici pătrate-integrabile, nici absolut integrabile . Nici nu se presupune că este absolut integrabil, deci nici nu trebuie să aibă o transformată Fourier. ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle r_ {xx}}$

Dar dacă este absolut continuu , de exemplu, dacă procesul este pur nedeterminist, atunci este diferențiat aproape peste tot . În acest caz, se poate defini , puterea densitatea spectrală a , prin luarea derivatului medie de . Deoarece derivatele din stânga și din dreapta există pretutindeni, putem pune peste tot, (obținând că F este integralul derivatei sale medii), iar teorema simplifică la ${\ displaystyle F (f)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S (f)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S (f) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ big (} F (f + \ varepsilon) -F (f) {\ big)} + \ lim _ {\ varepsilon \ uparrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ big (} F (f + \ varepsilon) -F (f ) {\ big)} \ right)}$

${\ displaystyle r_ {xx} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (f) e ^ {2 \ pi i \ tau f} \, df.}$

Dacă acum se presupune că r și S îndeplinesc condițiile necesare pentru ca inversiunea Fourier să fie valabilă, teorema Wiener – Khinchin ia forma simplă de a spune că r și S sunt o pereche transformată Fourier și

${\ displaystyle S (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} r_ {xx} (\ tau) e ^ {- 2 \ pi if \ tau} \, d \ tau.}$

Cazul unui proces în timp discret

Pentru cazul discret în timp, densitatea spectrală a puterii funcției cu valori discrete este ${\ displaystyle x [n]}$

${\ displaystyle S (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} r_ {xx} [k] e ^ {- i (2 \ pi f) k},}$

Unde

${\ displaystyle r_ {xx} [k] = \ operatorname {E} {\ big [} x [n] ^ {*} x [nk] {\ big]}}$

este funcția de autocorelație discretă a , cu condiția ca aceasta să fie absolut integrabilă. Fiind o secvență eșantionată și discretă, densitatea spectrală este periodică în domeniul frecvenței. Acest lucru se datorează problemei aliasării : contribuția oricărei frecvențe mai mare decât frecvența Nyquist pare a fi egală cu cea a aliasului său între 0 și 1. Din acest motiv, domeniul funcției este de obicei limitat la 0 și 1 sau între -0,5 și 0,5. ${\ displaystyle x [n]}$${\ displaystyle S}$

Cerere

Teorema este utilă pentru analiza sistemelor liniare de invariant în timp ( sisteme LTI) atunci când intrările și ieșirile nu sunt pătrate-integrabile, deci transformatele lor Fourier nu există. Un corolar este că transformata Fourier a funcției de autocorelație a ieșirii unui sistem LTI este egală cu produsul transformatei Fourier a funcției de autocorelație a intrării sistemului de ori de magnitudinea pătrată a transformatei Fourier a răspunsului impulsului sistemului. . Acest lucru funcționează chiar și atunci când transformatele Fourier ale semnalelor de intrare și ieșire nu există deoarece aceste semnale nu sunt integrabile pătrat, astfel încât intrările și ieșirile sistemului nu pot fi legate direct de transformata Fourier a răspunsului la impuls.

Deoarece transformata Fourier a funcției de autocorelație a unui semnal este spectrul de putere al semnalului, acest corolar este echivalent cu a spune că spectrul de putere al ieșirii este egal cu spectrul de putere al timpilor de intrare a funcției de transfer de energie .

Acest corolar este utilizat în metoda parametrică pentru estimarea spectrului de putere.

Discrepanțe în terminologie

În multe manuale și în mare parte din literatura tehnică se presupune tacit că inversarea Fourier a funcției de autocorelație și a densității spectrale de putere este valabilă, iar teorema Wiener-Khinchin este afirmată, foarte simplu, ca și cum ar fi spus că transformata Fourier a funcția de autocorelație a fost egală cu densitatea spectrală a puterii , ignorând toate întrebările de convergență (Einstein este un exemplu). Dar teorema (așa cum sa menționat aici) a fost aplicată de Norbert Wiener și Aleksandr Khinchin la funcțiile eșantionului (semnalelor) proceselor aleatorii staționare cu sens larg , semnale ale căror transformate Fourier nu există. Întregul punct al contribuției lui Wiener a fost acela de a da sens descompunerii spectrale a funcției de autocorelație a unei funcții de eșantionare a unui proces aleator staționar cu sens larg chiar și atunci când integralele pentru transformata Fourier și inversarea Fourier nu au sens.

Complica problema în continuare este că transformata Fourier discretă există întotdeauna pentru secvențe digitale de lungime finită, ceea ce înseamnă că teorema poate fi aplicată orbește pentru a calcula corelațiile automate ale secvențelor numerice. După cum sa menționat mai devreme, relația acestor date eșantionate discrete cu un model matematic este adesea înșelătoare, iar erorile conexe pot apărea ca o divergență atunci când lungimea secvenței este modificată.

Unii autori se referă la funcția de autocovarianță. Apoi continuă să o normalizeze, împărțind la , pentru a obține ceea ce se referă la ei ca funcție de autocorelație. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R (0)}$

Referințe

Lecturi suplimentare

• Brockwell, Peter A .; Davis, Richard J. (2002). Introducere în serii temporale și prognoză (ediția a doua). New York: Springer-Verlag. ISBN   038721657X .
• Chatfield, C. (1989). The Analysis of Time Series - An Introduction (Ediția a patra). Londra: Chapman și Hall. ISBN   0412318202 .
• Fuller, Wayne (1996). Introducere în seriile de timp statistice . Seria Wiley în probabilitate și statistici (ed. A doua). New York: Wiley. ISBN   0471552399 .
• Wiener, Norbert (1949). „Extrapolare, interpolare și netezire a seriei temporare staționare”. Cambridge, Massachusetts: Technology Press și Johns Hopkins Univ. Presa. Citați jurnalul necesită |journal= ( ajutor ) (un document clasificat scris pentru Dept. of War în 1943).
• Yaglom, AM (1962). O introducere în teoria funcțiilor staționare aleatorii . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice – Hall.