Proiecție 3D - 3D projection

Clasificarea unor proiecții 3D

O proiecție 3D (sau proiecție grafică ) este o tehnică de proiectare utilizată pentru a afișa un obiect tridimensional (3D) pe o suprafață bidimensională (2D). Aceste proiecții se bazează pe perspectiva vizuală și analiza aspectelor pentru a proiecta un obiect complex pentru vizualizarea capacității pe un plan mai simplu. Acest concept de extindere a geometriei 2D la 3D a fost stăpânit de Heron din Alexandria în primul secol . Heron ar putea fi numit tatăl 3D. Proiecția 3D este baza conceptului pentru Grafica pe computer care simulează fluxurile de fluide pentru a imita efecte realiste. Grupului ILM al lui Lucas Films i se atribuie introducerea conceptului (și chiar a termenului „Efect de particule”).

În 1982, prima secvență complet digitală generată de computer pentru un fișier de film a fost în: Star Trek II: The Wrath of Khan . Un brevet din 1984 legat de acest concept a fost scris de William E Masters, „Proces și sistem automatizat de fabricație computerizat” US4665492A folosind particule de masă pentru a fabrica o ceașcă. Procesul de depunere a particulelor este o tehnologie de imprimare 3D .

Proiecțiile 3D utilizează calitățile primare ale formei de bază a unui obiect pentru a crea o hartă a punctelor, care sunt apoi conectate între ele pentru a crea un element vizual. Rezultatul este un grafic care conține proprietăți conceptuale pentru a interpreta că figura sau imaginea nu sunt de fapt plane (2D), ci mai degrabă, ca un obiect solid (3D) vizualizat pe un afișaj 2D.

Obiectele 3D sunt afișate în mare măsură pe suporturi bidimensionale (adică monitoare de hârtie și computer). Ca atare, proiecțiile grafice sunt un element de proiectare utilizat în mod obișnuit; în special, în desenul ingineresc , proiectarea și grafica computerizată . Proiecțiile pot fi calculate prin utilizarea analizei matematice și a formulelor sau prin utilizarea diferitelor tehnici geometrice și optice.

Prezentare generală

Comparate mai multe tipuri de proiecție grafică

Diferite proiecții și modul în care sunt produse

Proiecția se realizează prin utilizarea „proiectoarelor” imaginare; imaginea mentală proiectată devine viziunea tehnicianului asupra imaginii dorite, terminate. Metodele asigură o procedură de imagistică uniformă în rândul persoanelor instruite în grafică tehnică (desen mecanic, proiectare asistată de computer etc.). Urmând o metodă, tehnicianul poate produce imaginea imaginată pe o suprafață plană, cum ar fi hârtia de desen.

Există două categorii de proiecție grafică, fiecare cu propria metodă:

Proiecție paralelă

Proiecția paralelă corespunde unei proiecții în perspectivă cu un punct de vedere ipotetic; adică una în care camera se află la o distanță infinită de obiect și are o distanță focală infinită sau „zoom”.

În proiecția paralelă, liniile de vedere de la obiect la planul de proiecție sunt paralele între ele. Astfel, liniile care sunt paralele în spațiul tridimensional rămân paralele în imaginea proiectată bidimensională. Proiecția paralelă corespunde, de asemenea, unei proiecții în perspectivă cu o distanță focală infinită (distanța de la obiectivul camerei și punctul focal ), sau „ zoom ”.

Imaginile desenate în proiecție paralelă se bazează pe tehnica axonometriei („a măsura de-a lungul axelor”), așa cum este descris în teorema lui Pohlke . În general, imaginea rezultată este oblică (razele nu sunt perpendiculare pe planul imaginii); dar în cazuri speciale rezultatul este ortografic (razele sunt perpendiculare pe planul imaginii). Axonometria nu trebuie confundată cu proiecția axonometrică , deoarece în literatura engleză aceasta din urmă se referă de obicei doar la o clasă specifică de pictoriale (vezi mai jos).

Proiecție ortografică

Proiecția ortografică este derivată din principiile geometriei descriptive și este o reprezentare bidimensională a unui obiect tridimensional. Este o proiecție paralelă (liniile de proiecție sunt paralele atât în realitate, cât și în planul de proiecție). Este tipul de proiecție ales pentru desenele de lucru .

Dacă normalul planului de vizionare (direcția camerei) este paralel cu una dintre axele primare (care este axa x , y sau z ), transformarea matematică este următoarea; Pentru a proiecta punctul 3D , , pe punctul 2D , folosind o proiecție ortografică paralelă cu axa y (unde pozitiv y reprezintă direcția înainte - vizualizare profil), pot fi utilizate următoarele ecuații: ${\ displaystyle a_ {x}}$ ${\ displaystyle a_ {y}}$ ${\ displaystyle a_ {z}}$ ${\ displaystyle b_ {x}}$ ${\ displaystyle b_ {y}}$

{\ displaystyle b_ {x} = s_ {x} a_ {x} + c_ {x}}

{\ displaystyle b_ {y} = s_ {z} a_ {z} + c_ {z}}

unde vectorul s este un factor de scară arbitrar și c este un decalaj arbitrar. Aceste constante sunt opționale și pot fi utilizate pentru a alinia corect fereastra. Folosind multiplicarea matricei , ecuațiile devin:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} b_ {x} \\ b_ {y} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} s_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_ {z} \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} c_ {x} \\ c_ {z} \ end {bmatrix}} .}

În timp ce imaginile proiectate ortografic reprezintă natura tridimensională a obiectului proiectat, ele nu reprezintă obiectul deoarece ar fi înregistrat fotografic sau perceput de către un spectator care îl observa direct. În special, lungimile paralele în toate punctele dintr-o imagine proiectată ortografic sunt de aceeași scară, indiferent dacă sunt departe sau aproape de vizualizatorul virtual. Ca rezultat, lungimile nu sunt scurtate, așa cum ar fi într-o proiecție în perspectivă.

Proiecție multiview

Simboluri utilizate pentru a defini dacă o proiecție multiview este fie al treilea unghi (dreapta), fie primul unghi (stânga).

Cu proiecții multiview , sunt produse până la șase imagini (numite vederi primare ) ale unui obiect, fiecare plan de proiecție fiind paralel cu una dintre axele de coordonate ale obiectului. Vizualizările sunt poziționate una față de cealaltă în conformitate cu oricare dintre cele două scheme: proiecția cu unghiul întâi sau al treilea . În fiecare, aspectele vizualizărilor pot fi considerate ca fiind proiectate pe planuri care formează o cutie cu 6 fețe în jurul obiectului. Deși pot fi desenate șase fețe diferite, de obicei trei vizualizări ale unui desen oferă suficiente informații pentru a crea un obiect 3D. Aceste vizualizări sunt cunoscute sub numele de vedere frontală , vedere de sus și vedere finală . De asemenea, sunt folosiți termenii elevație , plan și secțiune .

Proiecție oblică

Banc de vase desenat în proiecția dulapului cu un unghi de 45 ° și un raport de 2/3

Arc de piatră desenat în perspectivă militară

În proiecțiile oblice , razele de proiecție paralele nu sunt perpendiculare pe planul de vizualizare ca și în cazul proiecției ortografice, ci lovesc planul de proiecție la un unghi diferit de nouăzeci de grade. Atât în proiecția ortografică, cât și în cea oblică, liniile paralele din spațiu apar paralele pe imaginea proiectată. Datorită simplității sale, proiecția oblică este utilizată exclusiv în scopuri picturale, mai degrabă decât pentru desene formale, de lucru. Într-un desen pictural oblic , unghiurile afișate între axe, precum și factorii de scurtare (scară) sunt arbitrare. Distorsiunea creată astfel este de obicei atenuată prin alinierea unui plan al obiectului imaginat pentru a fi paralel cu planul de proiecție, creându-se astfel o imagine adevărată, de dimensiuni complete, a planului ales. Tipuri speciale de proiecții oblice sunt:

Proiecție cavalier (45 °)

În proiecția cavalieră (uneori perspectivă cavalieră sau punct de vedere înalt ) un punct al obiectului este reprezentat de trei coordonate, x , y și z . Pe desen, este reprezentat doar de două coordonate, x ″ și y ″ . Pe desenul plat, două axe, x și z pe figură, sunt perpendiculare, iar lungimea pe aceste axe este trasată cu o scară 1: 1; este astfel similar cu proiecțiile dimetrice , deși nu este o proiecție axonometrică , deoarece a treia axă, aici y , este trasată în diagonală, făcând un unghi arbitrar cu axa x ″ , de obicei 30 sau 45 °. Lungimea celei de-a treia axe nu este scalată.

Proiecția cabinetului

Termenul de proiecție a dulapului (uneori perspectivă a dulapului ) provine din utilizarea sa în ilustrațiile industriei mobilei. La fel ca perspectiva cavalieră, o față a obiectului proiectat este paralelă cu planul de vizualizare, iar a treia axă este proiectată ca ieșind într-un unghi (de obicei 30 ° sau 45 ° sau arctan (2) = 63,4 °). Spre deosebire de proiecția cavalier, unde a treia axă își păstrează lungimea, cu proiecția dulapului, lungimea liniilor care se retrag este tăiată la jumătate.

Proiecție militară

O variantă de proiecție oblică se numește proiecție militară . În acest caz, secțiunile orizontale sunt trasate izometric, astfel încât planurile de podea să nu fie distorsionate și verticalele să fie trasate într-un unghi. Proiecția militară este dată de rotația în planul xy și o translație verticală o cantitate z .

Proiecție axonometrică

Cele trei vederi axonometrice

Proiecțiile axonometrice arată o imagine a unui obiect așa cum este privită dintr-o direcție de înclinare pentru a dezvălui toate cele trei direcții (axe) ale spațiului într-o singură imagine. Proiecțiile axonometrice pot fi ortografice sau oblice . Desenele instrumentelor axonometrice sunt adesea folosite pentru aproximarea proiecțiilor grafice în perspectivă, dar există o distorsiune în aproximare. Deoarece proiecțiile picturale conțin în mod înnăscut această distorsiune, în desenele instrumentale ale pictorialelor se pot lua atunci mari libertăți pentru economia efortului și cel mai bun efect.

Proiecția axonometrică este subdivizată în continuare în trei categorii: proiecție izometrică , proiecție dimetrică și proiecție trimetrică , în funcție de unghiul exact la care vederea se abate de la ortogonală. O caracteristică tipică a pictorialelor ortografice este aceea că o axă a spațiului este de obicei afișată ca verticală.

Proiecțiile axonometrice sunt, de asemenea, cunoscute uneori ca vederi auxiliare , spre deosebire de viziunile primare ale proiecțiilor multiview .

Proiecție izometrică

În pictorialele izometrice (pentru metode, a se vedea Proiecția isometrică ), direcția de vizualizare este de așa natură încât cele trei axe ale spațiului apar la fel de scurtate și există un unghi comun de 120 ° între ele. Distorsiunea cauzată de scurtare este uniformă, prin urmare proporționalitatea tuturor laturilor și lungimilor sunt păstrate, iar axele au o scală comună. Aceasta permite citirea sau preluarea măsurătorilor direct din desen.

Proiecție dimetrică

În pictorialele dimetrice (pentru metode, a se vedea proiecția dimetrică ), direcția de vizionare este de așa natură încât două din cele trei axe ale spațiului apar la fel de scurtate, dintre care scala și unghiurile de prezentare aferente sunt determinate în funcție de unghiul de vizualizare; scala celei de-a treia direcții (verticală) este determinată separat. Aproximările sunt frecvente în desenele dimetrice.

Proiecție trimetrică

În pictorialele trimetrice (pentru metode, a se vedea Proiecția trimetrică ), direcția de vizualizare este de așa natură încât toate cele trei axe ale spațiului apar inegal în mod scurtat. Scara de-a lungul fiecăreia dintre cele trei axe și unghiurile dintre ele sunt determinate separat, așa cum este dictat de unghiul de vizualizare. Aproximările din desenele trimetrice sunt frecvente.

Limitări ale proiecției paralele

Un exemplu al limitărilor proiecției izometrice. Diferența de înălțime dintre bilele roșii și albastre nu poate fi determinată local.

La scara Penrose descrie o scara care pare să se înalțe (invers acelor de ceasornic) sau coborâre ( în sens orar) încă formează o buclă continuă.

Obiectele desenate cu proiecție paralelă nu apar mai mari sau mai mici, deoarece se extind mai aproape de sau departe de vizualizator. Deși este avantajos pentru desenele de arhitectură , unde măsurătorile trebuie luate direct din imagine, rezultatul este o distorsiune percepută, deoarece, spre deosebire de proiecția în perspectivă , nu așa funcționează în mod normal ochii sau fotografia noastră. De asemenea, poate duce cu ușurință la situații în care adâncimea și altitudinea sunt dificil de măsurat, așa cum se arată în ilustrația din dreapta.

În acest desen izometric, sfera albastră este cu două unități mai mare decât cea roșie. Cu toate acestea, această diferență de altitudine nu este evidentă dacă se acoperă jumătatea dreaptă a imaginii, deoarece casetele (care servesc drept indicii care sugerează înălțimea) sunt apoi ascunse.

Această ambiguitate vizuală a fost exploatată în opera de artă , precum și în desenele cu „obiecte imposibile”. Cascada lui MC Escher (1961), deși nu utilizează strict proiecția paralelă, este un exemplu binecunoscut, în care un canal de apă pare să călătorească fără ajutor de-a lungul unei căi descendente, pentru ca apoi să cadă paradoxal din nou pe măsură ce revine la sursă. Apa pare astfel să nu respecte legea conservării energiei . Un exemplu extrem este descris în filmul Inception , unde, printr-un truc forțat de perspectivă, o scară imobilă își schimbă conectivitatea. Jocul video Fez folosește trucuri de perspectivă pentru a determina unde un jucător poate și nu se poate mișca într-un mod asemănător unui puzzle.

Proiecție în perspectivă

Perspectiva unui solid geometric folosind două puncte de fugă. În acest caz, harta solidului (proiecție ortogonală) este trasată sub perspectivă, ca și cum ar fi îndoit planul de sol.

Proiecție axonometrică a unei scheme care afișează elementele relevante ale perspectivei planului vertical al imaginii . Punctul în picioare (PS) este situat pe planul solului π , iar punctul de vedere (PV) este chiar deasupra acestuia. PP este proiecția sa pe planul de imagine α . LO și LT sunt orizontul și liniile de sol ( linea d'orizzonte și linea di terra ). Liniile aldine s și q se află pe π și interceptează α la Ts și respectiv Tq . Liniile paralele prin PV (în roșu) intercepta LO în punctele de fugă Fs și FQ : astfel , se poate trage proeminențele s ' și q' , și , prin urmare , de asemenea , intersecția lor R ' pe R .

Proiecția de perspectivă sau transformarea perspectivei este o proiecție liniară în care obiectele tridimensionale sunt proiectate pe un plan de imagine . Acest lucru are ca efect obiectele îndepărtate să pară mai mici decât obiectele mai apropiate.

De asemenea, înseamnă că liniile care sunt de natură paralelă (adică se întâlnesc la punctul infinit ) par să se intersecteze în imaginea proiectată, de exemplu, dacă căile ferate sunt prezentate cu proiecție în perspectivă, ele par să convergă către un singur punct, numit punctul de fugă . Lentilele fotografice și ochiul uman funcționează în același mod, prin urmare proiecția în perspectivă arată cel mai realist. Proiecția de perspectivă este de obicei clasificată în perspectivă cu un punct , două puncte și trei puncte , în funcție de orientarea planului de proiecție către axele obiectului descris.

Metodele de proiecție grafică se bazează pe dualitatea dintre linii și puncte, prin care două linii drepte determină un punct, în timp ce două puncte determină o linie dreaptă. Proiecția ortogonală a punctului ochiului pe planul imaginii se numește punctul principal de fuga (PP în schema din stânga, din termenul italian punto principal , inventat în timpul Renașterii).

Două puncte relevante ale unei linii sunt:

intersecția sa cu planul de imagine și
punctul său de fugă, găsit la intersecția dintre linia paralelă de la punctul ochiului și planul imaginii.

Punctul principal de fuga este punctul de fuga al tuturor liniilor orizontale perpendiculare pe planul imaginii. Punctele de fugă ale tuturor liniilor orizontale se află pe linia orizontului . Dacă, așa cum se întâmplă adesea, planul imaginii este vertical, toate liniile verticale sunt trasate vertical și nu au un punct de fugă finit pe planul imaginii. Diverse metode grafice pot fi ușor avute în vedere pentru proiectarea scenelor geometrice. De exemplu, liniile trasate de la punctul ochiului la 45 ° până la planul de imagine îl intersectează pe acesta din urmă de-a lungul unui cerc a cărui rază este distanța punctului ochiului de la plan, urmărind astfel acel cerc ajută la construirea tuturor punctelor de fugă de 45 ° linii; în special, intersecția acelui cerc cu linia orizontului constă din două puncte de distanță . Acestea sunt utile pentru desenarea podelelor din tabla de șah care, la rândul lor, servesc la localizarea bazei obiectelor pe scenă. În perspectiva unui solid geometric din dreapta, după alegerea principalului punct de fugă - care determină linia orizontului - punctul de fugă de 45 ° din partea stângă a desenului completează caracterizarea punctului de vedere (la fel de îndepărtat). Două linii sunt trasate din proiecția ortogonală a fiecărui vârf, una la 45 ° și una la 90 ° până la planul de imagine. După intersecția liniei solului, acele linii merg spre punctul de distanță (pentru 45 °) sau punctul principal (pentru 90 °). Noua lor intersecție localizează proiecția hărții. Înălțimile naturale sunt măsurate deasupra liniei solului și apoi proiectate în același mod până când întâlnesc verticala de pe hartă.

În timp ce proiecția ortografică ignoră perspectiva pentru a permite măsurători precise, proiecția în perspectivă arată obiectele îndepărtate ca fiind mai mici pentru a oferi realism suplimentar.

Formula matematică

Proiecția de perspectivă necesită o definiție mai implicată în comparație cu proiecțiile ortografice. Un ajutor conceptual pentru înțelegerea mecanicii acestei proiecții este să vă imaginați proiecția 2D ca și cum obiectul (obiectele) ar fi vizualizate printr-un vizor al camerei. Poziția, orientarea și câmpul vizual al camerei controlează comportamentul transformării proiecției. Următoarele variabile sunt definite pentru a descrie această transformare:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x, y, z}}$ - poziția 3D a unui punct A care urmează să fie proiectat.
${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z}}$ - poziția 3D a unui punct C care reprezintă camera.
${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z}}$ - Orientarea camerei (reprezentată de unghiurile Tait – Bryan ).
${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x, y, z}}$ - poziția suprafeței afișajului față de orificiul C al camerei.

Majoritatea convențiilor folosesc valori z pozitive (planul fiind în fața orificiului), cu toate acestea, valorile z negative sunt fizic mai corecte, dar imaginea va fi inversată atât pe orizontală, cât și pe verticală. Care are ca rezultat:

${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}}$ - proiecția 2D a ${\ displaystyle \ mathbf {a}.}$

Când și vectorul 3D este proiectat către vectorul 2D . ${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle 1,2,0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle 1,2 \ rangle}$

În caz contrar, pentru a calcula, mai întâi definim un vector ca poziția punctului A față de un sistem de coordonate definit de cameră, cu originea în C și rotit cu față de sistemul de coordonate inițial. Acest lucru se realizează scăzând din și apoi aplicând o rotație la rezultat. Această transformare este adesea numită a ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {x, y, z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {\ theta}}$ transformarea camerei și poate fi exprimată după cum urmează, exprimând rotația în termeni de rotații în jurulaxelorx, yșiz(aceste calcule presupun că axele sunt ordonate ca unsistem de axestângaci):

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {d} _ {x} \\\ mathbf {d} _ {y} \\\ mathbf {d} _ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {x}) & \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {x}) \\ 0 & - \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {x}) & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {x}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {y}) & 0 & - \ sin ( \ mathbf {\ theta} _ {y}) \\ 0 & 1 & 0 \\\ sin (\ mathbf {\ theta} _ {y}) & 0 & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {y}) \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & 0 \\ - \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ left ({{\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} _ {x} \\ \ mathbf {a} _ {y} \\\ mathbf {a} _ {z} \\\ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {c} _ {x} \\\ mathbf {c } _ {y} \\\ mathbf {c} _ {z} \\\ end {bmatrix}}} \ right)}

Această reprezentare corespunde rotirii cu trei unghiuri Euler (mai corect, unghiuri Tait – Bryan ), folosind convenția xyz , care poate fi interpretată fie ca „rotire în jurul axelor extrinseci (axele scenei ) în ordinea z , y , x (citind de la dreapta la stânga) "sau" rotiți în jurul axelor intrinseci (axele camerei ) în ordinea x, y, z (citind de la stânga la dreapta) ". Rețineți că, dacă camera nu este rotită ( ), atunci matricele renunță (ca identități), iar acest lucru se reduce la o simplă schimbare: ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {a} - \ mathbf {c}.}$

Alternativ, fără a utiliza matrici (să le înlocuim cu și așa mai departe și să prescurtăm la și la ): ${\ displaystyle a_ {x} -c_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ cos \ left (\ theta _ {\ alpha} \ right)}$ ${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta _ {\ alpha} \ right)}$ ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {d} _ {x} & = c_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x}) -s_ {y} \ mathbf {z} \\\ mathbf {d} _ {y} & = s_ {x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ { z} \ mathbf {x})) + c_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \\\ mathbf {d} _ {z} & = c_ { x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x})) - s_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \ end {align}}}

Acest punct transformat poate fi apoi proiectat pe planul 2D folosind formula (aici, x / y este folosit ca plan de proiecție; literatura poate folosi și x / z ):

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {b} _ {x} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf {d} _ {z}}} \ mathbf {d } _ {x} + \ mathbf {e} _ {x}, \\ [5pt] \ mathbf {b} _ {y} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf { d} _ {z}}} \ mathbf {d} _ {y} + \ mathbf {e} _ {y}. \ end {align}}}

Sau, în formă matricială folosind coordonate omogene , sistemul

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {f} _ {x} \\\ mathbf {f} _ {y} \\\ mathbf {f} _ {w} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {x}} {\ mathbf {e} _ {z}}} \\ 0 & 1 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {y}} {\ mathbf {e} _ {z}}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {\ mathbf {e} _ {z}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {d} _ {x } \\\ mathbf {d} _ {y} \\\ mathbf {d} _ {z} \ end {bmatrix}}}

coroborat cu un argument care folosește triunghiuri similare, conduce la împărțirea prin coordonata omogenă, dând

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {b} _ {x} & = \ mathbf {f} _ {x} / \ mathbf {f} _ {w} \\\ mathbf {b} _ {y} & = \ mathbf {f} _ {y} / \ mathbf {f} _ {w} \ end {align}}}

Distanța vizualizatorului de suprafața afișajului , se referă direct la câmpul vizual, unde este unghiul vizualizat. (Notă: Aceasta presupune că mapați punctele (-1, -1) și (1,1) la colțurile suprafeței dvs. de vizualizare) ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ cdot \ arctan (1 / \ mathbf {e} _ {z})}$

Ecuațiile de mai sus pot fi rescrise și ca:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {b} _ {x} & = (\ mathbf {d} _ {x} \ mathbf {s} _ {x}) / (\ mathbf {d} _ {z } \ mathbf {r} _ {x}) \ mathbf {r} _ {z}, \\\ mathbf {b} _ {y} & = (\ mathbf {d} _ {y} \ mathbf {s} _ {y}) / (\ mathbf {d} _ {z} \ mathbf {r} _ {y}) \ mathbf {r} _ {z}. \ end {align}}}

În care este dimensiunea afișajului, este dimensiunea suprafeței de înregistrare ( CCD sau film ), este distanța de la suprafața de înregistrare la pupila de intrare ( centrul camerei ) și este distanța, de la punctul 3D proiectat, la pupila de intrare . ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {z}}$

Pot fi necesare operații ulterioare de decupare și scalare pentru a mapa planul 2D pe orice suport de afișare particular.

Proiecție de perspectivă slabă

O proiecție în perspectivă „slabă” folosește aceleași principii ca o proiecție ortografică, dar necesită specificarea factorului de scalare, asigurându-se astfel că obiectele mai apropiate par mai mari în proiecție și invers. Poate fi văzut ca un hibrid între o proiecție ortografică și o perspectivă și descris fie ca o proiecție de perspectivă cu adâncimi punctuale individuale înlocuite cu o adâncime constantă medie , fie pur și simplu ca o proiecție ortografică plus o scalare. ${\ displaystyle Z_ {i}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}}$

Modelul de perspectivă slabă aproximează astfel proiecția de perspectivă în timp ce folosește un model mai simplu, similar cu perspectiva ortografică pură (nescalată). Este o aproximare rezonabilă atunci când adâncimea obiectului de-a lungul liniei de vedere este mică în comparație cu distanța de la cameră și câmpul vizual este mic. Cu aceste condiții, se poate presupune că toate punctele unui obiect 3D sunt la aceeași distanță de cameră, fără erori semnificative în proiecție (în comparație cu modelul în perspectivă completă). ${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}}$

Ecuaţie

{\ displaystyle {\ begin {align} & P_ {x} = {\ frac {X} {Z _ {\ text {ave}}}} \\ [5pt] & P_ {y} = {\ frac {Y} {Z_ { \ text {ave}}}} \ end {align}}}

presupunând distanța focală . $f = 1$

Diagramă

Pentru a determina care ecran coordonata x corespunde unui punct la înmulțirea coordonatelor punctului cu: ${\ displaystyle A_ {x}, A_ {z}}$

{\ displaystyle B_ {x} = A_ {x} {\ frac {B_ {z}} {A_ {z}}}}

Unde

{\ displaystyle B_ {x}}

este coordonata ecranului x

{\ displaystyle A_ {x}}

este coordonata modelului x

{\ displaystyle B_ {z}}

este distanța focală — distanța axială de la centrul camerei la planul imaginii

{\ displaystyle A_ {z}}

este distanța subiectului.

Deoarece camera este în 3D, același lucru funcționează pentru ecranul y - coordonat, înlocuind y cu x în diagrama și ecuația de mai sus.

Puteți utiliza acest lucru pentru a face tehnici de decupare, înlocuind variabilele cu valorile punctului care se află în afara unghiului FOV și a punctului din camera Matrix.

Această tehnică, cunoscută și sub numele de „Cameră inversă”, este un calcul de proiecție în perspectivă cu valori cunoscute pentru a calcula ultimul punct pe unghiul vizibil, proiectându-se din punctul invizibil, după finalizarea tuturor transformărilor necesare.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

Kenneth C. Finney (2004). Programare 3D Joc All in One . Curs Thomson. p. 93 . ISBN 978-1-59200-136-1. Proiecție 3D.
Koehler; Dr. Ralph (decembrie 2000). Grafică 2D / 3D și spline cu cod sursă . ISBN 978-0759611870.

linkuri externe

Crearea de medii 3D din fotografii digitale

Languages

In other projects