Lungimea arcului - Arc length
Lungimea arcului este distanța dintre două puncte de-a lungul unei secțiuni a unei curbe .
Determinarea lungimii unui segment de arc neregulat se mai numește și rectificarea unei curbe. Apariția calculului infinitesimal a condus la o formulă generală care oferă soluții în formă închisă în unele cazuri.
Abordare generală
O curbă în plan poate fi aproximată prin conectarea unui număr finit de puncte pe curbă folosind segmente de linie pentru a crea o cale poligonală . Deoarece este simplu să calculăm lungimea fiecărui segment liniar (folosind teorema lui Pitagora în spațiul euclidian, de exemplu), lungimea totală a aproximării poate fi găsită prin însumarea lungimilor fiecărui segment liniar;acea aproximare este cunoscută ca distanța (cumulativă) acordală .
Dacă curba nu este deja o cale poligonală, utilizarea unui număr progresiv mai mare de segmente de lungimi mai mici va avea ca rezultat aproximări mai bune. Lungimile aproximărilor succesive nu vor scădea și pot continua să crească la nesfârșit, dar pentru curbele netede vor tinde spre o limită finită, deoarece lungimile segmentelor devin arbitrar mici .
Pentru unele curbe există un număr mai mic, care este o limită superioară pe lungimea oricărei aproximări poligonale. Aceste curbe se numesc rectificabile, iar numărul este definit ca lungimea arcului .
Definiție pentru o curbă lină
Fie o funcție injectivă și continuu diferențiată . Lungimea curbei definită de poate fi definită ca limita sumei lungimilor segmentelor de linie pentru o partiție regulată de pe măsură ce numărul de segmente se apropie de infinit. Acest lucru înseamnă
unde pentru Această definiție este echivalentă cu definiția standard a lungimii arcului ca integrală:
Ultima egalitate de mai sus este adevărată datorită următoarelor: (i) prin teorema valorii medii , unde . (ii) funcția este continuă, deci este uniformă continuă , deci există o funcție reală pozitivă a realului pozitiv astfel încât implică acest lucru înseamnă
are o valoare absolută mai mică decât pentru acest lucru înseamnă că , în limita termenul din stânga sus este egal cu termenul corect, care este doar integrala Riemann de pe această definiție a lungimii arcului arată că lungimea unei curbe derivabile continuu este întotdeauna finită. Cu alte cuvinte, curba este întotdeauna rectificabilă.
Definiția lungimii arcului unei curbe netede ca integrală a normei derivatei este echivalentă cu definiția
unde supremul este preluat de toate partițiile posibile ale acestei definiții este valabilă și dacă este doar continuă, nu este diferențiată.
O curbă poate fi parametrizată în infinit de multe moduri. Fie orice bijecție diferențiată continuu . Apoi este o altă parametrizare continuă diferențiată a curbei definită inițial de Lungimea arcului curbei este aceeași indiferent de parametrizarea utilizată pentru a defini curba:
Găsirea lungimilor arcului prin integrare
Dacă o curbă plană în este definită de ecuația unde este continuu diferențiată , atunci este pur și simplu un caz special al unei ecuații parametrice unde și Lungimea arcului este dată de:
Curbele cu soluții de formă închisă pentru lungimea arcului includ catenaria , cercul , cicloida , spirala logaritmică , parabola , parabola semicubicală și linia dreaptă . Lipsa unei soluții de formă închisă pentru lungimea arcului unui arc eliptic și hiperbolic a dus la dezvoltarea integralelor eliptice .
Integrare numerică
În majoritatea cazurilor, inclusiv chiar și curbe simple, nu există soluții de formă închisă pentru lungimea arcului și este necesară integrarea numerică . Integrarea numerică a integralei lungimii arcului este de obicei foarte eficientă. De exemplu, luați în considerare problema găsirii lungimii unui sfert din cercul unitar prin integrarea numerică a integralei lungimii arcului. Jumătatea superioară a cercului unitar poate fi parametrizată ca Intervalul corespunde unui sfert de cerc. Deoarece și lungimea unui sfert din cercul unitar este
Estimarea regulii Gauss – Kronrod în 15 puncte pentru această integrală a1.570 796 326 808 177 diferă de lungimea reală a
de 1,3 × 10 −11 și regula în 16 puncte Gaussian quadrature estimare a1.570 796 326 794 727 diferă de lungimea reală numai1,7 × 10 −13 . Acest lucru înseamnă că este posibil să se evalueze această integrală a preciziei aproape a mașinii cu doar 16 evaluări integrand.
Curba pe o suprafață
Să fie o mapare a suprafeței și să fie o curbă pe această suprafață. Integrandul integralei lungimii arcului este Evaluarea derivatei necesită regula lanțului pentru câmpurile vectoriale:
Norma pătrată a acestui vector este (unde este primul coeficient de formă fundamentală ), deci integrandul integralei lungimii arcului poate fi scris ca (unde și ).
Alte sisteme de coordonate
Fie o curbă exprimată în coordonate polare. Cartarea care se transformă de la coordonatele polare la coordonatele dreptunghiulare este
Integrandul integralei lungimii arcului este Regula lanțului pentru câmpurile vectoriale arată că Deci integrandul pătrat al integralei lungimii arcului este
Deci, pentru o curbă exprimată în coordonate polare, lungimea arcului este
Acum, să fie o curbă exprimată în coordonate sferice unde este unghiul polar măsurat din axa pozitivă și este unghiul azimutal. Cartarea care se transformă din coordonate sferice în coordonate dreptunghiulare este
Folosirea din nou a regulii lanțului arată că toate produsele cu puncte în care și diferă sunt zero, deci norma pătrată a acestui vector este
Deci, pentru o curbă exprimată în coordonate sferice, lungimea arcului este
Un calcul foarte similar arată că lungimea arcului unei curbe exprimată în coordonate cilindrice este
Cazuri simple
Arcuri de cercuri
Lungimile arcului sunt notate cu s , deoarece cuvântul latin pentru lungime (sau dimensiune) este spatium .
În liniile următoare, reprezintă raza unui cerc , este diametrul său , este circumferința sa , este lungimea unui arc al cercului și este unghiul pe care arcul îl înclină în centrul cercului. Distanțele și sunt exprimate în aceleași unități.
- care este la fel ca Această ecuație este o definiție a
- Dacă arcul este un semicerc , atunci
-
Pentru un arc de cerc arbitrar:
- Dacă este în radiani, atunci aceasta este o definiție a radianului.
- Dacă este în grade , atunci care este același cu
- Dacă este în grade (100 de grade, sau note, sau gradians sunt un unghi drept ), atunci care este la fel ca
- Dacă este în ture (o tura este o rotație completă, sau 360 °, sau 400 grade sau radiani), atunci .
Arcuri de cercuri mari pe Pământ
Două unități de lungime, mila nautică și metrul (sau kilometrul), au fost inițial definite, astfel încât lungimile arcurilor cercurilor mari de pe suprafața Pământului ar fi pur și simplu legate numeric de unghiurile pe care le subtină în centrul său. Ecuația simplă se aplică în următoarele circumstanțe:
- dacă este în mile marine și este în minute arc ( 1 ⁄ 60 grade) sau
- dacă este în kilometri și este în grade Celsius ( 1 ⁄ 100 grad ).
Lungimile unităților de distanță au fost alese pentru a face circumferința Pământului egală 40 000 de kilometri sau21 600 mile marine. Acestea sunt numerele unităților de unghi corespunzătoare într-o singură tură completă.
Aceste definiții ale contorului și ale milei marine au fost înlocuite de altele mai precise, dar definițiile originale sunt încă suficient de exacte pentru scopuri conceptuale și pentru unele calcule. De exemplu, acestea implică faptul că un kilometru este exact 0,54 mile marine. Folosind definițiile moderne oficiale, o milă marină este exact 1,852 kilometri, ceea ce înseamnă că 1 kilometru este aproximativ0,539 956 80 mile marine. Acest raport modern diferă de cel calculat din definițiile inițiale cu mai puțin de o parte din 10.000.
Lungimea unui arc al unei parabole
Metode istorice
Antichitate
Pentru o mare parte din istoria matematicii , chiar și cei mai mari gânditori au considerat imposibil să se calculeze lungimea unui arc neregulat. Deși Arhimede a fost pionierul unui mod de a găsi zona de sub o curbă cu „ metoda sa de epuizare ”, puțini au crezut că este chiar posibil ca curbele să aibă lungimi definite, la fel ca și liniile drepte. Primul teren a fost rupt în acest domeniu, așa cum a fost adesea în calcul , prin aproximare . Oamenii au început să înscrie poligoane în curbe și să calculeze lungimea laturilor pentru o măsurare oarecum exactă a lungimii. Prin utilizarea mai multor segmente și prin scăderea lungimii fiecărui segment, au reușit să obțină o aproximare din ce în ce mai precisă. În special, prin înscrierea unui poligon cu mai multe laturi într-un cerc, au putut găsi valori aproximative ale π .
secolul al 17-lea
În secolul al XVII-lea, metoda epuizării a dus la rectificarea prin metode geometrice a mai multor curbe transcendentale : spirala logaritmică de Evangelista Torricelli în 1645 (unele surse spun John Wallis în anii 1650), cicloida de Christopher Wren în 1658 și catenară de Gottfried Leibniz în 1691.
În 1659, Wallis a acreditat descoperirea lui William Neile a primei rectificări a unei curbe algebrice netriviale , parabola semicubicală . Cifrele însoțitoare apar la pagina 145. La pagina 91, William Neile este menționat ca Gulielmus Nelius .
Formă integrală
Înainte de dezvoltarea formală completă a calculului, baza formei integrale moderne pentru lungimea arcului a fost descoperită independent de Hendrik van Heuraet și Pierre de Fermat .
În 1659 van Heuraet a publicat o construcție care arată că problema determinării lungimii arcului ar putea fi transformată în problema determinării ariei de sub o curbă (adică a unei integrale). Ca exemplu al metodei sale, el a determinat lungimea arcului unei parabole semicubice, care a necesitat găsirea zonei sub o parabolă . În 1660, Fermat a publicat o teorie mai generală care conține același rezultat în De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Disertație geometrică pe linii curbe în comparație cu linii drepte).
Bazându-se pe munca sa anterioară cu tangente, Fermat a folosit curba
a cărei tangentă la x = a avea o pantă de
deci linia tangentă ar avea ecuația
Apoi, el a crescut o cu o cantitate mică la o + ε , făcând segment AC o aproximare relativ bună pentru lungimea curbei de la A la D . Pentru a găsi lungimea segmentului AC , el a folosit teorema lui Pitagora :
care, atunci când este rezolvat, cedează
Pentru a aproxima lungimea, Fermat ar însuma o succesiune de segmente scurte.
Curbe cu lungime infinită
După cum s-a menționat mai sus, unele curbe nu sunt rectificabile. Adică, nu există o limită superioară pe lungimile aproximărilor poligonale; lungimea poate fi făcută în mod arbitrar mare . În mod informal, se spune că astfel de curbe au o lungime infinită. Există curbe continue pe care fiecare arc (altul decât un arc cu un singur punct) are o lungime infinită. Un exemplu de astfel de curbă este curba Koch . Un alt exemplu de curbă cu lungime infinită este graficul funcției definite de f ( x ) = x sin (1 / x ) pentru orice set deschis cu 0 ca unul dintre delimitatorii săi și f (0) = 0. Uneori Hausdorff dimensiunea și măsura Hausdorff sunt utilizate pentru a cuantifica dimensiunea acestor curbe.
Generalizare la (pseudo-) varietăți riemanniene
Fie o varietate (pseudo-) Riemanniană , o curbă în și tensorul (pseudo-) metric .
Lungimea lui este definită ca fiind
unde este vectorul tangent al at Semnul din rădăcina pătrată este ales o dată pentru o curbă dată, pentru a se asigura că rădăcina pătrată este un număr real. Semnul pozitiv este ales pentru curbele spațiale; într-o varietate pseudo-Riemanniană, semnul negativ poate fi ales pentru curbele de timp. Astfel, lungimea unei curbe este un număr real non-negativ. De obicei, nu sunt luate în considerare curbe care sunt parțial asemănătoare spațiului și parțial asemănătoare timpului.
În teoria relativității , lungimea arcului curbelor asemănătoare timpului ( liniile lumii ) este timpul adecvat scurs de-a lungul liniei mondiale, iar lungimea arcului unei curbe asemănătoare spațiului distanța corectă de -a lungul curbei.
Vezi si
- Arc (geometrie)
- Circumferinţă
- Formula Crofton
- Integrală eliptică
- Geodezie
- Ecuația intrinsecă
- Aproximări integrale
- Integrală de linie
- Arc meridian
- Calcul multivariabil
- Sinuozitate
Referințe
Surse
- Farouki, Rida T. (1999). „Curbe din mișcare, mișcare din curbe”. În Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Schumaker, LL (eds.). Curba și proiectarea suprafeței: Saint-Malo 1999 . Vanderbilt Univ. Presa. pp. 63-90. ISBN 978-0-8265-1356-4.
linkuri externe
- „Curba rectificabilă” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
- Istoria curburii
- Weisstein, Eric W. „Lungimea arcului” . MathWorld .
- Lungimea arcului de Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
- Ghid de studiu al calculului - Lungimea arcului (rectificare)
- Indice de curbe celebre Arhiva MacTutor History of Mathematics
- Aproximarea lungimii arcului de Chad Pierson, Josh Fritz și Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
- Lungimea unui experiment de curbă Ilustrează soluția numerică de găsire a lungimii unei curbe.