Suma - Summation

Operatii aritmetice v t e

Adăugare (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}$ Scădere (-) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Înmulțirea (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Divizie (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Exponențierea ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ a n- a rădăcină (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logaritm (jurnal) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

În matematică , însumare este adăugarea unei secvențe de orice fel de numere , numite addends sau summands ; rezultatul este suma sau totalul lor . Pe lângă numere, pot fi însumate și alte tipuri de valori: funcții , vectori , matrici , polinoame și, în general, elemente ale oricărui tip de obiecte matematice pe care este definită o operație notată „+”.

Sumări de secvențe infinite sunt numite serii . Acestea implică conceptul de limită și nu sunt luate în considerare în acest articol.

Suma unei secvențe explicite este notată ca o succesiune de adaosuri. De exemplu, însumarea lui [1, 2, 4, 2] este notată 1 + 2 + 4 + 2 și are ca rezultat 9, adică 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Deoarece adunarea este asociativă și comutativă , nu este nevoie de paranteze, iar rezultatul este același, indiferent de ordinea sumandurilor. Sumarea unei secvențe de un singur element are ca rezultat acest element în sine. Sumarea unei secvențe goale (o secvență fără elemente), prin convenție, are ca rezultat 0.

Foarte des, elementele unei secvențe sunt definite, printr-un model regulat, în funcție de locul lor în secvență. Pentru modele simple, însumarea secvențelor lungi poate fi reprezentată cu majoritatea sumandurilor înlocuite cu elipse. De exemplu, însumarea primelor 100 de numere naturale poate fi scrisă ca 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . În caz contrar, însumarea este notată folosind notația Σ , unde este o literă greacă majusculă sigma . De exemplu, suma primelor n numere naturale poate fi notată ca${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Pentru sumări lungi și sumări cu lungime variabilă (definite cu elipse sau notație Σ), este o problemă obișnuită să găsești expresii în formă închisă pentru rezultat. De exemplu,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Deși astfel de formule nu există întotdeauna, au fost descoperite multe formule de însumare - unele dintre cele mai comune și elementare fiind enumerate în restul acestui articol.

Notaţie

Notare capital-sigma

Simbolul însumării

Notație matematică folosește un simbol care reprezintă însumării multor compact termeni similare: simbolul însumare , , o formă lărgită a capitalului în poziție verticală litera grecească sigma . Aceasta este definită ca ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

unde i este indicele însumării ; a _i este o variabilă indexată care reprezintă fiecare termen al sumei; m este limita inferioară a însumării și n este limita superioară a însumării . „ I = m ” sub simbolul însumării înseamnă că indexul i începe egal cu m . Indicele, i , este incrementat cu unul pentru fiecare termen succesiv, oprindu-se când i = n .

Acesta se citește „sumă a unui _i , de la i = m la n “.

Iată un exemplu care arată însumarea pătratelor:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

În general, în timp ce orice variabilă poate fi folosit ca indicele însumării ( cu condiția ca nici o ambiguitate este suportat), unele dintre cele mai comune includ cele litere , cum ar fi , , , și ; acesta din urmă este de asemenea folosit adesea pentru limita superioară a unei însumări. ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Alternativ, indicele și limitele însumării sunt uneori omise din definiția sumării dacă contextul este suficient de clar. Acest lucru se aplică în special atunci când indexul rulează de la 1 la n . De exemplu, s-ar putea scrie că:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Se vede adesea generalizări ale acestei notații în care este furnizată o condiție logică arbitrară, iar suma este destinată preluării tuturor valorilor care îndeplinesc condiția. De exemplu:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

este suma peste toate ( întregi ) din intervalul specificat, ${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

este suma tuturor elementelor din set și ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$

este suma peste toate numerele întregi pozitive care împarte . ${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Există, de asemenea, modalități de generalizare a utilizării multor semne sigma. De exemplu,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

este la fel ca

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

O notație similară se aplică atunci când vine vorba de a indica produsul unei secvențe , care este similar cu suma ei, dar care folosește operația de multiplicare în loc de adunare (și dă 1 pentru o secvență goală în loc de 0). Aceeași structură de bază este utilizată, cu o formă mărită a literei majuscule grecești pi , care înlocuiește . ${\textstyle \prod }$${\textstyle \sum }$

Cazuri speciale

Este posibil să însumați mai puțin de 2 numere:

• Dacă suma are un singur sum, atunci suma evaluată este .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• Dacă suma nu are suma, atunci suma evaluată este zero , deoarece zero este identitatea pentru adunare. Aceasta este cunoscută sub numele de sumă goală .

Aceste cazuri degenerate sunt utilizate de obicei numai atunci când notația de însumare dă un rezultat degenerat într-un caz special. De exemplu, dacă în definiția de mai sus, atunci există un singur termen în sumă; dacă , atunci nu există. ${\displaystyle n=m}$${\displaystyle n=m-1}$

Definiție formală

Suma poate fi definită recursiv după cum urmează:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, pentru b < a ;

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, pentru b ≥ a .

Notarea teoretică a măsurii

În notația măsurii și a teoriei integrării , o sumă poate fi exprimată ca o integrală definită ,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

unde este subsetul întregilor de la la și unde este măsura de numărare . ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mu }$

Calculul diferențelor finite

Având în vedere o funcție f care este definită peste numerele întregi din intervalul [ m , n ] , se menține următoarea ecuație:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Acesta este analogul teoremei fundamentale a calculului în calculul diferențelor finite , care afirmă că:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

Unde

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

este derivatul lui f .

Un exemplu de aplicare a ecuației de mai sus este următorul:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Folosind teorema binomială , aceasta poate fi rescrisă ca:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}i^{j}\right).}$

Formula de mai sus este mai frecvent utilizată pentru inversarea operatorului de diferență , definit prin: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

unde f este o funcție definită pe numerele întregi nenegative. Astfel, având în vedere o astfel de funcție f , problema este de a calcula antidiferența lui f , o funcție astfel încât . Adică, această funcție este definită până la adăugarea unei constante și poate fi aleasă ca ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$${\displaystyle \Delta F=f}$${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

Nu există întotdeauna o expresie de formă închisă pentru o astfel de însumare, dar formula lui Faulhaber oferă o formă închisă în cazul în care și, prin liniaritate , pentru fiecare funcție polinomială a lui n . ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

Aproximarea prin integrale definite

Multe astfel de aproximări pot fi obținute prin următoarea conexiune între sume și integrale , care este valabilă pentru orice funcție crescândă f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

și pentru orice funcție descrescătoare f :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Pentru aproximări mai generale, consultați formula Euler-Maclaurin .

Pentru sumele în care sumandul este dat (sau poate fi interpolat) de o funcție integrabilă a indicelui, suma poate fi interpretată ca o sumă Riemann care apare în definiția integralei definite corespunzătoare. Prin urmare, ne putem aștepta la asta, de exemplu

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

deoarece partea dreaptă este prin definiție limita pentru partea stângă. Cu toate acestea, pentru o însumare dată n este fix, și puțin se poate spune despre eroarea din aproximarea de mai sus fără ipoteze suplimentare despre f : este clar că pentru funcțiile oscilante sălbatice suma Riemann poate fi în mod arbitrar departe de integrala Riemann. ${\displaystyle n\to \infty }$

Identități

Formulele de mai jos implică sume finite; pentru sumări infinite sau sumări finite ale expresiilor care implică funcții trigonometrice sau alte funcții transcendentale , a se vedea lista seriilor matematice .

Identități generale

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( distributivitate )

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( comutativitate și asociativitate )

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$ (schimbare index)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$pentru o bijecție σ dintr-o mulțime finită A pe o mulțime B (schimbarea indexului); aceasta generalizează formula precedentă.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(împărțirea unei sume, folosind asociativitatea )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$ (o variantă a formulei precedente)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$ (suma de la primul termen până la ultimul este egală cu suma de la ultimul până la primul)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$ (un caz particular al formulei de mai sus)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$ (comutativitate și asociativitate, din nou)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$ (o altă aplicație de comutativitate și asociativitate)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(împărțirea unei sume în sale impare și chiar piese, pentru indecși chiar)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$ (împărțirea unei sume în părțile sale impare și pare, pentru indici impari)

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$( distributivitate )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)\quad }$ (distributivitatea permite factorizarea)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$( exponențialul unei sume este produsul exponențialei sumelor)

Puterile și logaritmul progresiilor aritmetice

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$pentru fiecare c care nu depinde de i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Suma celei mai simple progresii aritmetice , formată din primele n numere naturale.)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$ (Suma primelor numere naturale impare)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$ (Suma primelor numere pare naturale)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$(O sumă de logaritmi este logaritmul produsului)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Suma primelor pătrate , vezi numărul piramidal pătrat .)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( Teorema lui Nicomachus )

Mai general, cineva are formula lui Faulhaber pentru${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

unde denotă un număr Bernoulli și este un coeficient binomial . ${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

Indicele de însumare la exponenți

În sumările următoare, a se presupune că este diferit de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(suma unei progresii geometrice )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(caz special pentru a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( O ori derivata în raport cu un al progresiei geometrice)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(suma unei secvențe aritmetico-geometrice )

Coeficienți și factori binomiali

Există foarte multe identități de însumare care implică coeficienți binomiali (un întreg capitol al matematicii concrete este dedicat doar tehnicilor de bază). Unele dintre cele mai de bază sunt următoarele.

Implicând teorema binomului

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$teorema binomială

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$cazul special în care a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, cazul special în care p = a = 1 - b , pentru care, exprimă suma distribuției binomiale${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$valoarea la a = b = 1 al derivatului cu privire la o teorema binomială

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$valoarea la a = b = 1 din antiderivative în ceea ce privește o teoremei binomial

Implicarea numerelor de permutare

În sumările următoare, este numărul de k- permutări ale lui n . ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, unde și denotă funcția de podea .${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Alții

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

Numere armonice

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}$(acesta este al n- lea număr armonic )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}$(adică un număr armonic generalizat )

Ratele de creștere

Următoarele sunt aproximări utile (folosind notația theta ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$pentru c real mai mare de -1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$(A se vedea numărul armonic )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$pentru real c mai mare de 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$pentru real negativ c

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$pentru c real negativ , d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$pentru realul negativ b > 1, c , d

Vezi si

• Notația Einstein
• Paranteză Iverson
• Operație binară iterată
• Algoritm de însumare Kahan
• Produse de secvențe
• Produs (matematică)
• Sumarea pe părți
• ∑ gliful unic de însumare (U + 2211 N-ARY SUMMATION )
• Beginning începutul glifului asociat (U + 23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ sfârșitul glifului asociat (U + 23B3 SUMMATION BOTTOM )

Note

Surse

linkuri externe

• Media legată de Summation la Wikimedia Commons