Funcții trigonometrice - Trigonometric functions

Trigonometrie
Contur Istorie Utilizare Funcții  ( invers ) Trigonometrie generalizată
Referinţă
Identități Constante exacte Mese Cerc de unitate
Legi și teoreme
Sinele Cosinusii Tangente Cotangenti teorema lui Pitagora
Calcul
Substituție trigonometrică Integrale  ( funcții inverse ) Derivate
v t e

Baza trigonometriei: dacă două triunghiuri dreptunghiulare au unghiuri acute egale , acestea sunt similare , deci lungimile laturilor lor sunt proporționale . Constantele de proporționalitate sunt scrise în interiorul imaginii: sin θ , cos θ , tan θ , unde θ este măsura comună a cinci unghiuri acute.

În matematică , funcțiile trigonometrice (numite și funcții circulare , funcții unghiulare sau funcții goniometrice ) sunt funcții reale care leagă un unghi de triunghi unghiular cu raporturi de două lungimi laterale. Sunt utilizate pe scară largă în toate științele legate de geometrie , cum ar fi navigația, mecanica solidelor , mecanica cerească , geodezie și multe altele. Acestea sunt printre cele mai simple funcții periodice și, ca atare, sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă pentru studierea fenomenelor periodice prin analiza Fourier .

Funcțiile trigonometrice cele mai utilizate în matematica modernă sunt sinusul , cosinusul și tangenta . Reciprocele lor sunt respectiv cosecanta , secanta și cotangenta , care sunt mai puțin utilizate. Fiecare dintre aceste șase funcții trigonometrice are o funcție inversă corespunzătoare și un analog între funcțiile hiperbolice .

Cele mai vechi definiții ale funcțiilor trigonometrice, legate de triunghiurile cu unghi drept, le definesc numai pentru unghiurile acute . Pentru a extinde aceste definiții la funcții al căror domeniu este întreaga linie reală extinsă proiectiv , sunt adesea folosite definiții geometrice care utilizează cercul unității standard (adică un cerc cu unitatea de rază 1). Definițiile moderne exprimă funcțiile trigonometrice ca serii infinite sau ca soluții de ecuații diferențiale . Aceasta permite extinderea domeniului funcțiilor sinus și cosinus la întregul plan complex , iar domeniul celorlalte funcții trigonometrice la planul complex din care sunt îndepărtate unele puncte izolate.

Definiții triunghi unghiular

În acest triunghi dreptunghic: sin A = A/c; cos A =b/c; tan A =A/b.

Graficul celor șase funcții trigonometrice, cercul unității și o linie pentru unghiul θ = 0,7 radiani . Punctele etichetate 1 , Sec ( θ ) , Csc ( θ ) reprezintă lungimea segmentului de linie de la origine la acel punct. Sin ( θ ) , Tan ( θ ) și 1 sunt înălțimile până la linia care începe de la axa x , în timp ce Cos ( θ ) , 1 și Cot ( θ ) sunt lungimi de-a lungul axei x începând de la origine.

În această secțiune, o literă cu majusculă denotă un vârf al unui triunghi și măsura unghiului corespunzător; Forma cu litere mici a aceleiași litere denotă partea opusă a triunghiului și lungimea acestuia. În definițiile care urmează, θ corespunde cu A din diagramă.

Dacă unghiul θ este dat, atunci toate laturile triunghiului unghiular sunt bine definite până la un factor de scalare. Aceasta înseamnă că raportul oricăror două lungimi laterale depinde doar de θ . Astfel aceste șase rapoarte definesc șase funcții ale lui θ , care sunt funcțiile trigonometrice. Mai exact, cele șase funcții trigonometrice sunt:

Într-un triunghi unghiular, suma celor două unghiuri acute este un unghi drept, adică 90 ° sauπ/2 radiani .

Rezumatul relațiilor dintre funcțiile trigonometrice

Funcţie	Abreviere	Descriere	Relaţie
			folosind radiani	folosind grade
sinus	păcat	opus/ipotenuză	${\ displaystyle \ sin \ theta = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ csc \ theta}}}$	${\ displaystyle \ sin x = \ cos \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ csc x}}}$
cosinus	cos	adiacent/ipotenuză	${\ displaystyle \ cos \ theta = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sec \ theta}} \,}$	${\ displaystyle \ cos x = \ sin \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ sec x}} \,}$
tangentă	bronz (sau  tg )	opus/adiacent	${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cot \ theta}}}$	${\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = \ cot \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ cot x} }}$
cotangentă	pat (sau  cotan sau  cotg sau  ctg sau  ctn )	adiacent/opus	${\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}$	${\ displaystyle \ cot x = {\ frac {\ cos x} {\ sin x}} = \ tan \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ tan x} }}$
secantă	sec	ipotenuză/adiacent	${\ displaystyle \ sec \ theta = \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}$	${\ displaystyle \ sec x = \ csc \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ cos x}}}$
cosecant	csc (sau  cosec )	ipotenuză/opus	${\ displaystyle \ csc \ theta = \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}}$	${\ displaystyle \ csc x = \ sec \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ sin x}}}$

Sus: Funcția trigonometrică sin θ pentru unghiurile selectate θ , π - θ , π + θ și 2 π - θ în cele patru cadrane.
Partea de jos: Graficul funcției sinusale versus unghiul. Unghiurile din panoul superior sunt identificate.

Radieni versus grade

În aplicațiile geometrice, argumentul unei funcții trigonometrice este în general măsura unui unghi . În acest scop, orice unitate unghiulară este convenabilă, iar unghiurile sunt cel mai frecvent măsurate în unități convenționale de grade în care un unghi drept este de 90 ° și o rotație completă este de 360 ​​° (în special în matematica elementară ).

Cu toate acestea, în calcul și analiză matematică , funcțiile trigonometrice sunt în general considerate mai abstract ca funcții ale numerelor reale sau complexe , mai degrabă decât unghiuri. De fapt, funcțiile sin și cos pot fi definite pentru toate numerele complexe în ceea ce privește funcția exponențială prin serie de puteri sau ca soluții la ecuațiile diferențiale date cu valori inițiale particulare (a se vedea mai jos ), fără referire la vreo noțiune geometrică. Celelalte patru funcții trigonometrice (tan, cot, sec, csc) pot fi definite ca niște coeficienți și reciproci ai sin și cos, cu excepția cazului în care zero apare în numitor. Se poate dovedi, pentru argumente reale, că aceste definiții coincid cu definiții geometrice elementare dacă argumentul este considerat ca un unghi dat în radiani . Mai mult, aceste definiții au ca rezultat expresii simple pentru derivate și integrale nedeterminate pentru funcțiile trigonometrice. Astfel, în setările dincolo de geometria elementară, radianii sunt considerați ca unitatea matematic naturală pentru descrierea măsurătorilor de unghi.

Când Radians (rad) sunt angajate, unghiul este dat ca lungimea arcului de cercul unitate subîntins de acesta: unghiul pe care subîntinde un arc de lungime 1 pe cercul unitate este de 1 rad (≈ 57,3 °) și un rotirea completă (360 °) este un unghi de 2 π (≈ 6,28) rad. Pentru numărul real x , notațiile sin x , cos x etc. se referă la valoarea funcțiilor trigonometrice evaluate la un unghi de x rad. Dacă se intenționează unități de grade, semnul gradului trebuie să fie afișat în mod explicit (de exemplu, sin x ° , cos x ° etc.). Folosind această notație standard, argumentul x pentru funcțiile trigonometrice satisface relația x = (180 x / π ) °, astfel încât, de exemplu, sin π = sin 180 ° când luăm x = π . În acest fel, simbolul gradului poate fi privit ca o constantă matematică astfel încât 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.

Definiții cerc-unitate

În această ilustrație, cele șase funcții trigonometrice ale unui unghi arbitrar θ sunt reprezentate ca coordonate carteziene ale punctelor legate de cercul unitar . Ordonatele lui A , B și D sunt , respectiv, sin θ , tan θ și csc θ , în timp ce abscisele lui A , C și E sunt cos θ , cot θ și respectiv sec θ .

Semne ale funcțiilor trigonometrice în fiecare cadran. Mnemonica „ toate s cience t eachers (sunt) c razy“ enumeră funcțiile care sunt pozitive de la cadranele I-IV. Aceasta este o variantă a mnemonicului „ Toți studenții iau calcul ”.

Cele șase funcții trigonometrice pot fi definite ca valori de coordonate ale punctelor de pe planul euclidian care sunt legate de cercul unitar , care este cercul de rază unul centrat la originea O a acestui sistem de coordonate. În timp ce definițiile triunghiului unghiular permit definirea funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile cuprinse între 0 și radian (90 °), definițiile cercului unitar permit extinderea domeniului funcțiilor trigonometrice la toate numerele reale pozitive și negative. ${\ textstyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Hai să fie raza obținută prin rotirea cu un unghi θ jumătatea pozitivă a x -axis ( invers acelor de ceasornic rotație și rotirea în sens orar pentru ). Aceasta intersecteaza ray cercul unitate la punctul Raza extinsă la o linie , dacă este necesar, se intersectează linia ecuației la punct și linia ecuației la punctul Linia tangentă la cercul unitate la punctul A , este perpendicular la si intersecteaza y - și x -axes la punctele și de coordonatele acestor puncte dau valorile tuturor funcțiilor trigonometrice pentru orice valoare reală arbitrară θ în modul următor. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ theta> 0,}$${\ displaystyle \ theta <0}$${\ displaystyle \ mathrm {A} = (x _ {\ mathrm {A}}, y _ {\ mathrm {A}}).}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}},}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {B} = (1, y _ {\ mathrm {B}}),}$${\ displaystyle y = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {C} = (x _ {\ mathrm {C}}, 1).}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}},}$${\ displaystyle \ mathrm {D} = (0, y _ {\ mathrm {D}})}$${\ displaystyle \ mathrm {E} = (x _ {\ mathrm {E}}, 0).}$

Functiile trigonometrice cos si pacatul sunt definite, respectiv, ca x - și y valorile -coordinate punctului A . Acesta este,

${\ displaystyle \ cos \ theta = x _ {\ mathrm {A}} \ quad}$ și ${\ displaystyle \ quad \ sin \ theta = y _ {\ mathrm {A}}.}$

În interval , această definiție coincide cu definiția triunghiului dreptunghiular, luând triunghiul dreptunghiular pentru a avea raza unității OA ca hipotenuză . Și întrucât ecuația este valabilă pentru toate punctele de pe cercul unitar, această definiție a cosinusului și sinusului satisface și identitatea pitagorică${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {P} = (x, y)}$

${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}$

Celelalte funcții trigonometrice pot fi găsite de-a lungul cercului unitar ca

${\ displaystyle \ tan \ theta = y _ {\ mathrm {B}} \ quad}$ și ${\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = x _ {\ mathrm {C}},}$

${\ displaystyle \ csc \ theta \ = y _ {\ mathrm {D}} \ quad}$ și ${\ displaystyle \ quad \ sec \ theta = x _ {\ mathrm {E}}.}$

Prin aplicarea identității pitagoreice și a metodelor de demonstrație geometrică, aceste definiții pot fi ușor arătate pentru a coincide cu definițiile tangentei, cotangentei, secantei și cosecantei în termeni de sinus și cosinus, adică

${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}.}$

Funcții trigonometrice: Sin , Cosinus , Tangent , Cosecant (punctat) , Secant (punctat) , Cotangent (punctat) - animație

Deoarece o rotație a unghiului de nu modifică poziția sau dimensiunea unei forme, punctele A , B , C , D și E sunt aceleași pentru două unghiuri a căror diferență este un multiplu întreg de . Astfel, funcțiile trigonometrice sunt funcții periodice cu punct . Adică egalitățile ${\ displaystyle \ pm 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta + 2k \ pi \ right) \ quad}$ și ${\ displaystyle \ quad \ cos \ theta = \ cos \ left (\ theta + 2k \ pi \ right)}$

mențineți pentru orice unghi θ și orice număr întreg k . Același lucru este valabil și pentru celelalte patru funcții trigonometrice. Observând semnul și monotonicitatea funcțiilor sinus, cosinus, cosecant și secant în cele patru cadrane, se poate arăta că 2 π este cea mai mică valoare pentru care sunt periodice (adică 2 π este perioada fundamentală a acestor funcții ). Cu toate acestea, după o rotație cu un unghi , punctele B și C revin deja la poziția lor inițială, astfel încât funcția tangentă și funcția cotangentă au o perioadă fundamentală de π . Adică egalitățile ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ tan \ theta = \ tan (\ theta + k \ pi) \ quad}$ și ${\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = \ cot (\ theta + k \ pi)}$

mențineți pentru orice unghi θ și orice număr întreg k .

Valorile algebrice

Cercul unitate , cu niște puncte etichetate cu cosinus și sinus (în această ordine) lor și unghiurile corespunzătoare în radiani și grade.

Cele algebrice expresiile pentru cele mai multe unghiuri importante sunt după cum urmează:

${\ displaystyle \ sin 0 = \ sin 0 ^ {\ circ} \ quad = {\ frac {\ sqrt {0}} {2}} = 0}$( unghi drept )

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {6}} = \ sin 30 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {1}} {2}} = {\ frac {1} {2} }}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {4}} = \ sin 45 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {3}} = \ sin 60 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {4}} {2}} = 1}$( unghi drept )

Scrierea numeratorilor ca rădăcini pătrate ale unor numere întregi consecutive negative, cu un numitor de 2, oferă o modalitate ușoară de a ne aminti valorile.

Astfel de expresii simple nu există în general pentru alte unghiuri care sunt multipli raționali ai unui unghi drept. Pentru un unghi care, măsurat în grade, este multiplu de trei, sinusul și cosinusul pot fi exprimate în termeni de rădăcini pătrate , a se vedea Constantele trigonometrice exprimate în radicali reali . Aceste valori ale sinusului și ale cosinusului pot fi astfel construite de riglă și busolă .

Pentru un unghi cu un număr întreg de grade, sinusul și cosinusul pot fi exprimate în termeni de rădăcini pătrate și rădăcina cubă a unui număr complex nereal . Teoria lui Galois permite să demonstreze că, dacă unghiul nu este multiplu de 3 °, rădăcinile cubului nereal sunt inevitabile.

Pentru un unghi care, măsurat în grade, este un număr rațional , sinusul și cosinusul sunt numere algebrice , care pot fi exprimate în termeni de a n- a rădăcini . Acest lucru rezultă din faptul că grupările Galois ale polinoamelor ciclotomice sunt ciclice .

Pentru un unghi care, măsurat în grade, nu este un număr rațional, atunci unghiul sau atât sinusul, cât și cosinusul sunt numere transcendentale . Acesta este un corolar al teoremei lui Baker , demonstrat în 1966.

Valori algebrice simple

Tabelul următor rezumă cele mai simple valori algebrice ale funcțiilor trigonometrice. Simbolul reprezintă punctul la infinit pe linia reală extinsă proiectiv ; nu este semnat, deoarece, atunci când apare în tabel, funcția trigonometrică corespunzătoare tinde spre o parte, și spre cealaltă parte, când argumentul tinde spre valoarea din tabel. ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Radian	Grad	păcat	cos	bronzat	pat	sec	cosec
${\ displaystyle 0}$	0 °	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle \ infty}$
π/12	15 °	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}}$
π/10	18 °	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {50-10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {5}}}$
π/8	22,5 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}}}$
π/6	30 °	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}}}$	${\ displaystyle 2}$
π/5	36 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5}} - 1}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {50 + 10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$
π/4	45 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
3 π/10	54 °	${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {50 + 10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5}} - 1}$
π/3	60 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}}$	${\ displaystyle 2}$	${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}}}$
3 π/8	67,5 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2}}}}}$
2 π/5	72 °	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$	${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {50-10 {\ sqrt {5}}}} {5}}}$
5 π/12	75 °	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}}$
π/2	90 °	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle 1}$

În calcul

Grafice ale sinusului, cosinusului și tangentei

Funcția sinusoidală (albastru) este apropiată de polinomul său Taylor de gradul 7 (roz) pentru un ciclu complet centrat pe origine.

Animație pentru aproximarea cosinusului prin polinoame Taylor.

${\ displaystyle \ cos (x)}$ împreună cu primele polinoame Taylor ${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}$

Tendința modernă în matematică este de a construi geometria din calcul, mai degrabă decât invers. Prin urmare, cu excepția unui nivel foarte elementar, funcțiile trigonometrice sunt definite folosind metodele de calcul.

Funcțiile trigonometrice sunt diferențiate și analitice în fiecare punct în care sunt definite; adică peste tot pentru sinus și cosinus și, pentru tangentă, peste tot cu excepția lui π / 2 + k π pentru fiecare număr întreg k .

Funcția trigonometrică este funcție periodică , iar perioada lor primitivă este de 2 π pentru sinus și cosinus și π pentru tangentă, care crește în fiecare interval deschis ( π / 2 + k π , π / 2 + ( k + 1 ) π ) . La fiecare punct final al acestor intervale, funcția tangentă are o asimptotă verticală .

În calcul, există două definiții echivalente ale funcțiilor trigonometrice, fie folosind serii de putere sau ecuații diferențiale . Aceste definiții sunt echivalente, întrucât pornind de la una dintre ele, este ușor să recuperezi cealaltă ca proprietate. Cu toate acestea, definiția prin ecuații diferențiale este cumva mai naturală, deoarece, de exemplu, alegerea coeficienților seriei de putere poate apărea ca fiind destul de arbitrară, iar identitatea pitagorică este mult mai ușor de dedus din ecuațiile diferențiale.

Definiție prin ecuații diferențiale

Sinusul și cosinusul pot fi definite ca soluția unică la problema valorii inițiale :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x, \ {\ frac {d} {dx}} \ cos x = - \ sin x, \ \ sin (0) = 0, \ \ cos (0) = 1.}$

Diferențierea din nou, și , deci atât sinusul, cât și cosinusul sunt soluții ale ecuației diferențiale obișnuite${\ textstyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sin x = {\ frac {d} {dx}} \ cos x = - \ sin x}$${\ textstyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ cos x = - {\ frac {d} {dx}} \ sin x = - \ cos x}$

${\ displaystyle y '' + y = 0.}$

Aplicând regula tangenței tangentei , derivăm ${\ displaystyle \ tan x = \ sin x / \ cos x}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ tan x = {\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x.}$

Extinderea seriei Power

Aplicând ecuațiile diferențiale seriilor de putere cu coeficienți nedeterminați, se poate deduce relații de recurență pentru coeficienții seriei Taylor a funcțiilor sinus și cosinus. Aceste relații de recurență sunt ușor de rezolvat și oferă expansiuni seriei

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ cdots \\ [6mu] & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {( 2n + 1)!}} X ^ {2n + 1} \\ [8pt] \ cos x & = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ {4} } {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Cdots \\ [6mu] & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}. \ End {align}}}$

Raza de convergență a acestor serii este infinit. Prin urmare, sinusul și cosinusul pot fi extinse la funcții întregi (numite și „sinus” și „cosinus”), care sunt (prin definiție) funcții cu valoare complexă care sunt definite și holomorfe pe întregul plan complex .

Fiind definite ca fracții ale unor funcții întregi, celelalte funcții trigonometrice pot fi extinse la funcții meromorfe , adică funcții care sunt holomorfe în întregul plan complex, cu excepția unor puncte izolate numite poli . Aici, polii sunt numerele formei pentru tangentă și secantă, sau pentru cotangentă și cosecantă, unde k este un număr întreg arbitrar. ${\ textstyle (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle k \ pi}$

Relațiile de recurență pot fi, de asemenea, calculate pentru coeficienții seriei Taylor a celorlalte funcții trigonometrice. Aceste serii au o rază finită de convergență . Coeficienții lor au o interpretare combinatorie : ei enumeră permutații alternative de mulțimi finite.

Mai precis, definitoriu

U _n , al n- lea număr sus / jos ,

B _n , al n- lea număr Bernoulli și

E _n , este al n- lea număr Euler ,

una are următoarele expansiuni de serie:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {U_ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} \\ [8mu] & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} \ left (2 ^ {2n} -1 \ right) B_ {2n}} {(2n)!}} X ^ {2n-1} \\ [5mu] & {} = x + {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | x | <{\ frac {\ pi} {2}}. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ csc x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 \ left (2 ^ {2n-1 } -1 \ dreapta) B_ {2n}} {(2n)!}} X ^ {2n-1} \\ [5mu] & = x ^ {- 1} + {\ frac {1} {6}} x + {\ frac {7} {360}} x ^ {3} + {\ frac {31} {15120}} x ^ {5} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} 0 <| x | < \ pi. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sec x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {U_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} E_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n} \\ [5mu] & = 1+ { \ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {5} {24}} x ^ {4} + {\ frac {61} {720}} x ^ {6} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | x | <{\ frac {\ pi} {2}}. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} 2 ^ {2n} B_ {2n}} {( 2n)!}} X ^ {2n-1} \\ [5mu] & = x ^ {- 1} - {\ frac {1} {3}} x - {\ frac {1} {45}} x ^ {3} - {\ frac {2} {945}} x ^ {5} - \ cdots, \ qquad {\ text {for}} 0 <| x | <\ pi. \ End {align}}}$

Extinderea fracției parțiale

Există o reprezentare în serie ca expansiune a fracției parțiale în care funcțiile reciproce traduse doar sunt însumate, astfel încât polii funcției cotangente și funcțiile reciproce se potrivesc:

${\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} {x + n}}.}$

Această identitate poate fi dovedită cu trucul Herglotz . Combinarea (- n ) a cu al n- lea termen conduce la serii absolut convergente :

${\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.}$

În mod similar, se poate găsi o expansiune fracțională parțială pentru funcțiile secante, cosecante și tangente:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi x}} = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {n}} {x ^ {2} -n ^ {2}}},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ cos \ pi x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n + 1)} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}},}$

${\ displaystyle \ pi \ tan \ pi x = 2x \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} - x ^ {2}}}.}$

Extinderea infinită a produsului

Următorul produs infinit pentru sinus este de mare importanță în analiza complexă:

${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ dreapta), \ quad z \ in \ mathbb {C}.}$

Pentru dovada acestei expansiuni, vezi Sine . Din aceasta, se poate deduce că

${\ displaystyle \ cos z = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ left (n - {\ frac {1} {2} } \ right) ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C}.}$

Relația cu funcția exponențială (formula lui Euler)

${\ displaystyle \ cos (\ theta)}$și sunt partea reală și respectiv imaginară .${\ displaystyle \ sin (\ theta)}$${\ displaystyle e ^ {i \ theta}}$

Formula lui Euler leagă sinusul și cosinusul de funcția exponențială :

${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.}$

Această formulă este luată în considerare în mod obișnuit pentru valorile reale ale lui x , dar rămâne adevărată pentru toate valorile complexe.

Dovadă : Let și One are pentru j = 1, 2 . Regula câtului presupune astfel că . Prin urmare, este o funcție constantă, care este egală cu${\ displaystyle f_ {1} (x) = \ cos x + i \ sin x,}$${\ displaystyle f_ {2} (x) = e ^ {ix}.}$${\ textstyle {\ frac {d} {dx}} f_ {j} (x) = if_ {j} (x)}$${\ textstyle {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}} \ right) = 0}$${\ textstyle {\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}}}$1 , deoarece Aceasta dovedește formula. ${\ displaystyle f_ {1} (0) = f_ {2} (0) = 1.}$

Unul are

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {ix} & = \ cos x + i \ sin x \\ [5pt] e ^ {- ix} & = \ cos xi \ sin x. \ end {align}} }$

Rezolvând acest sistem liniar în sinus și cosinus, se pot exprima în termeni de funcție exponențială:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x & = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} \\ [5pt] \ cos x & = {\ frac {e ^ { ix} + e ^ {- ix}} {2}}. \ end {align}}}$

Când x este real, acesta poate fi rescris ca

${\ displaystyle \ cos x = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {ix} \ right), \ qquad \ sin x = \ operatorname {Im} \ left (e ^ {ix} \ right).}$

Majoritatea identităților trigonometrice pot fi dovedite prin exprimarea funcțiilor trigonometrice în funcție de funcția exponențială complexă utilizând formulele de mai sus și apoi folosind identitatea pentru simplificarea rezultatului. ${\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}}$

Definiții folosind ecuații funcționale

De asemenea, se pot defini funcțiile trigonometrice folosind diverse ecuații funcționale .

De exemplu, sinusul și cosinusul formează perechea unică de funcții continue care satisfac formula diferenței

${\ displaystyle \ cos (xy) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y \,}$

și condiția adăugată

${\ displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x \ quad {\ text {for}} \ quad 0 <x <1.}$

În planul complex

Sinusul și cosinusul unui număr complex pot fi exprimate în termeni de sinusuri reale, cosinus și funcții hiperbolice după cum urmează: ${\ displaystyle z = x + iy}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin z & = \ sin x \ cosh y + i \ cos x \ sinh y \\ [5pt] \ cos z & = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y \ end {aliniat}}}$

Profitând de colorarea domeniului , este posibil să se graficizeze funcțiile trigonometrice ca funcții cu valoare complexă. Diverse caracteristici unice funcțiilor complexe pot fi văzute din grafic; de exemplu, funcțiile sinus și cosinus pot fi văzute ca nelimitate pe măsură ce partea imaginară a lui devine mai mare (deoarece culoarea albă reprezintă infinitul), iar faptul că funcțiile conțin zerouri simple sau poli este evident din faptul că nuanța cicluri în jurul fiecărui zero sau pol exact o dată. Comparând aceste grafice cu cele ale funcțiilor hiperbolice corespunzătoare, se evidențiază relațiile dintre cele două. ${\ displaystyle z}$

Funcții trigonometrice în planul complex

${\ displaystyle \ sin z \,}$	${\ displaystyle \ cos z \,}$	${\ displaystyle \ tan z \,}$	${\ displaystyle \ cot z \,}$	${\ displaystyle \ sec z \,}$	${\ displaystyle \ csc z \,}$

Identități de bază

Multe identități corelează funcțiile trigonometrice. Această secțiune conține cele mai elementare; pentru mai multe identități, consultați Lista identităților trigonometrice . Aceste identități pot fi dovedite geometric din definițiile unității-cerc sau din definițiile triunghiului unghiular (deși, pentru aceste din urmă definiții, trebuie să se acorde atenție unghiurilor care nu se află în intervalul [0, π / 2] , vezi Dovezi a identităților trigonometrice ). Pentru dovezile non-geometrice care folosesc numai instrumente de calcul , se pot utiliza direct ecuațiile diferențiale, într-un mod similar cu cel al dovezii de mai sus a identității lui Euler. Se poate folosi identitatea lui Euler pentru exprimarea tuturor funcțiilor trigonometrice în termeni de exponențiale complexe și folosirea proprietăților funcției exponențiale.

Paritate

Cosinusul și secanta sunt chiar funcții ; celelalte funcții trigonometrice sunt funcții ciudate . Acesta este:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (-x) & = - \ sin x \\\ cos (-x) & = \ cos x \\\ tan (-x) & = - \ tan x \\ \ cot (-x) & = - \ cot x \\\ csc (-x) & = - \ csc x \\\ sec (-x) & = \ sec x. \ end {align}}}$

Perioade

Toate funcțiile trigonometrice sunt funcții periodice ale perioadei 2 π . Aceasta este cea mai mică perioadă, cu excepția tangentei și cotangentei, care au π ca perioadă cea mai mică. Aceasta înseamnă că, pentru fiecare număr întreg k , unul are

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (x + 2k \ pi) & = \ sin x \\\ cos (x + 2k \ pi) & = \ cos x \\\ tan (x + k \ pi) & = \ tan x \\\ cot (x + k \ pi) & = \ cot x \\\ csc (x + 2k \ pi) & = \ csc x \\\ sec (x + 2k \ pi) & = \ sec x. \ end {align}}}$

Identitate pitagorică

Identitatea pitagoreică , este expresia teorema lui Pitagora în ceea ce privește funcțiile trigonometrice. Este

${\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1.}$

Formule de sumă și diferență

Formulele de sumă și diferență permit extinderea sinusului, cosinusului și tangentei unei sume sau a unei diferențe de două unghiuri în termeni de sinusuri și cosinusuri și tangente ale unghiurilor în sine. Acestea pot fi derivate geometric, folosind argumente care datează de Ptolemeu . Se pot produce, de asemenea, algebric folosind formula lui Euler .

Sumă

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (x + y \ right) & = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y, \\ [5mu] \ cos \ left (x + y \ right ) & = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y, \\ [5mu] \ tan (x + y) & = {\ frac {\ tan x + \ tan y} {1- \ tan x \ tan y}}. \ end {align}}}$

Diferență

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (xy \ right) & = \ sin x \ cos y- \ cos x \ sin y, \\ [5mu] \ cos \ left (xy \ right) & = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y, \\ [5mu] \ tan (xy) & = {\ frac {\ tan x- \ tan y} {1+ \ tan x \ tan y}}. \ sfârșit {aliniat}}}$

Când cele două unghiuri sunt egale, formulele de sumă se reduc la ecuații mai simple cunoscute sub numele de formule cu unghi dublu .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin 2x & = 2 \ sin x \ cos x = {\ frac {2 \ tan x} {1+ \ tan ^ {2} x}}, \\ [5mu] \ cos 2x & = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ {2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ tan ^ { 2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}, \\ [5mu] \ tan 2x & = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}}. \ End {aliniat}}}$

Aceste identități pot fi utilizate pentru a obține identitățile produs-sumă .

Prin setarea tuturor funcțiilor trigonometrice ale pot fi exprimate ca fracții raționale ale : ${\ displaystyle t = \ tan {\ tfrac {1} {2}} \ theta,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, \\ [5mu] \ cos \ theta & = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, \\ [5mu] \ tan \ theta & = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}. \ End {align}} }$

Impreuna cu

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} \, dt,}$

aceasta este substituția tangențială a unghiului , care reduce calculul integralelor și antiderivativelor funcțiilor trigonometrice la cel al fracțiilor raționale.

Derivate și antiderivate

De Derivații funcțiilor trigonometrice rezultă din cele de sine și cosinus prin aplicarea regula câtul . Valorile date pentru antiderivative în tabelul următor pot fi verificate prin diferențierea acestora. Numărul  C este o constantă de integrare .

${\ displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline f (x) & f '(x) & \ int f (x) \, dx \\\ hline \ sin x & \ cos x & - \ cos x + C \\\ cos x & - \ sin x & \ sin x + C \\\ tan x & \ sec ^ {2} x = 1 + \ tan ^ {2} x & - \ ln | \ cos x | + C \\\ csc x & - \ csc x \ cot x & - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C \\\ sec x & \ sec x \ tan x & \ ln | \ sec x + \ tan x | + C \ \\ cot x & - \ csc ^ {2} x = -1- \ cot ^ {2} x & \ ln | \ sin x | + C \\\ hline \ end {array}}}$

Alternativ, derivatele „co-funcțiilor” pot fi obținute folosind identități trigonometrice și regula lanțului:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ cos x} {dx}} & = {\ frac {d} {dx}} \ sin (\ pi / 2-x) = - \ cos (\ pi / 2-x) = - \ sin x \ ,, \\ {\ frac {d \ csc x} {dx}} & = {\ frac {d} {dx}} \ sec (\ pi / 2-x ) = - \ sec (\ pi / 2-x) \ tan (\ pi / 2-x) = - \ csc x \ cot x \ ,, \\ {\ frac {d \ cot x} {dx}} & = {\ frac {d} {dx}} \ tan (\ pi / 2-x) = - \ sec ^ {2} (\ pi / 2-x) = - \ csc ^ {2} x \,. \ sfârșit {aliniat}}}$

Funcții inverse

Funcțiile trigonometrice sunt periodice și, prin urmare, nu sunt injective , deci strict vorbind, nu au o funcție inversă . Cu toate acestea, la fiecare interval pe care o funcție trigonometrică este monotonă , se poate defini o funcție inversă, iar aceasta definește funcțiile trigonometrice inverse ca funcții cu mai multe valori . Pentru a defini o funcție inversă adevărată, trebuie să restrângeți domeniul la un interval în care funcția este monotonă și este astfel bijectivă de la acest interval la imaginea sa de funcție. Alegerea comună pentru acest interval, numită setul valorilor principale , este dată în tabelul următor. Ca de obicei, funcțiile trigonometrice inverse sunt notate cu prefixul „arc” înaintea numelui sau a abrevierii sale a funcției.

${\ displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline {\ text {Function}} & {\ text {Definition}} & {\ text {Domain}} & {\ text { Set de valori principale}} \\\ hline y = \ arcsin x & \ sin y = x & -1 \ leq x \ leq 1 & - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ arccos x & \ cos y = x & -1 \ leq x \ leq 1 & 0 \ leq y \ leq \ pi \\ y = \ arctan x & \ tan y = x & - \ infty <x <\ infty & - {\ frac {\ pi} {2}} <y <{\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ operatorname {arccot} x & \ cot y = x & - \ infty <x <\ infty & 0 <y <\ pi \\ y = \ operatorname {arcsec} x & \ sec y = x & x <-1 {\ text {or}} x> 1 & 0 \ leq y \ leq \ pi, \; y \ neq {\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ operatorname {arccsc} x & \ csc y ​​= x & x <-1 {\ text {or}} x> 1 & - {\ frac {\ pi} {2} } \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \; y \ neq 0 \\\ hline \ end {array}}}$

Notațiile Păcatul ^-1 , cos ^-1 , etc sunt adesea folosite pentru arcsin și arccos etc. Când se folosește această notație, funcțiile inverse poate fi confundat cu inversele multiplicative. Notarea cu prefixul „arc” evită o astfel de confuzie, deși „arcsec” pentru arcsecant poate fi confundat cu „ arcsecond ”.

La fel ca sinusul și cosinusul, funcțiile trigonometrice inverse pot fi exprimate și în termeni de serie infinită. Ele pot fi exprimate și în termeni de logaritmi complexi .

Aplicații

Unghiurile și laturile unui triunghi

În aceste secțiuni A , B , C denotă cele trei unghiuri (interioare) ale unui triunghi, iar a , b , c denotă lungimile marginilor opuse respective. Acestea sunt legate de diferite formule, care sunt denumite de funcțiile trigonometrice pe care le implică.

Legea sinelor

Legea Sines prevede că pentru un triunghi arbitrar cu laturile a , b , și c și unghiurile opuse acestor laturi A , B și C :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {a}} = {\ frac {\ sin B} {b}} = {\ frac {\ sin C} {c}} = {\ frac {2 \ Delta} {abc}}}$,

unde Δ este aria triunghiului sau, echivalent,

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac {c} {\ sin C}} = 2R}$,

unde R este circumradiusul triunghiului .

Poate fi dovedit împărțind triunghiul în două drepturi și folosind definiția de sinus de mai sus. Legea sinusurilor este utilă pentru calcularea lungimilor laturilor necunoscute într-un triunghi dacă sunt cunoscute două unghiuri și o latură. Aceasta este o situație comună care apare în triangulație , o tehnică pentru a determina distanțe necunoscute prin măsurarea a două unghiuri și a unei distanțe închise accesibile.

Legea cosinusului

Legea cosinusului ( de asemenea , cunoscut sub numele de formula cosinus sau regula cosinus) este o extensie a teoremei lui Pitagora :

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C}$,

sau echivalent,

${\ displaystyle \ cos C = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}$.

În această formulă unghiul la C este opus laturii  c . Această teoremă poate fi dovedită împărțind triunghiul în două drepturi și folosind teorema lui Pitagora .

Legea cosinusului poate fi utilizată pentru a determina o latură a unui triunghi dacă sunt cunoscute două laturi și unghiul dintre ele. De asemenea, poate fi folosit pentru a găsi cosinusul unui unghi (și, în consecință, unghiurile în sine) dacă se cunosc lungimile tuturor laturilor.

Legea tangențelor

Următoarele formează toate legea tangențelor

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {AB} {2}}} {\ tan {\ frac {A + B} {2}}}} = {\ frac {ab} {a + b}} }$;

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {AC} {2}}} {\ tan {\ frac {A + C} {2}}}} = {\ frac {ac} {a + c}} }$;

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {BC} {2}}} {\ tan {\ frac {B + C} {2}}}} = {\ frac {bc} {b + c}} }$.

Explicația formulelor în cuvinte ar fi greoaie, dar modelele sumelor și diferențelor, pentru lungimi și unghiuri opuse corespunzătoare, sunt evidente în teoremă.

Legea cotangenților

Dacă

${\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {{\ frac {1} {s}} (sa) (sb) (sc)}} ~}$ (raza cercului inscris pentru triunghi)

și

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}} ~}$ (semiperimetrul pentru triunghi),

apoi următoarele formează toate legea cotangenților

${\ displaystyle \ cot {\ frac {A} {2}} = {\ frac {sa} {\ zeta}}}$;

${\ displaystyle \ cot {\ frac {B} {2}} = {\ frac {sb} {\ zeta}}}$;

${\ displaystyle \ cot {\ frac {C} {2}} = {\ frac {sc} {\ zeta}}}$.

Rezultă că

${\ displaystyle {\ frac {\ cot {\ dfrac {A} {2}}} {sa}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {B} {2}}} {sb}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {C} {2}}} {sc}} = {\ frac {1} {\ zeta}}}$.

În cuvinte, teorema este: cotangenta unui demi-unghi este egal cu raportul dintre semi-perimetrul minus partea opusă față de unghiul menționat, și inradiusul pentru triunghi.

O curbă Lissajous , o figură formată cu o funcție bazată pe trigonometrie.

Funcții periodice

O animație a sintezei aditive a unei unde pătrate cu un număr tot mai mare de armonici

Funcțiile bazei sinusoidale (de jos) pot forma o undă de dinte de fierăstrău (de sus) atunci când sunt adăugate. Toate funcțiile de bază au noduri la nodurile dinților de ferăstrău și toate, cu excepția fundamentalului ( k = 1 ), au noduri suplimentare. Oscilația văzută despre dinte de fierăstrău atunci când k este mare se numește fenomen Gibbs

Funcțiile trigonometrice sunt, de asemenea, importante în fizică. Funcțiile sinus și cosinus, de exemplu, sunt utilizate pentru a descrie mișcarea armonică simplă , care modelează multe fenomene naturale, cum ar fi mișcarea unei mase atașate unui arc și, pentru unghiuri mici, mișcarea pendulară a unei mase agățate de o şir. Funcțiile sinus și cosinus sunt proiecții unidimensionale ale mișcării circulare uniforme .

Funcțiile trigonometrice se dovedesc, de asemenea, utile în studiul funcțiilor periodice generale . Modelele caracteristice ale undelor funcțiilor periodice sunt utile pentru modelarea fenomenelor recurente precum undele sonore sau luminoase .

În condiții destul de generale, o funcție periodică f ( x ) poate fi exprimată ca o sumă de unde sinusoidale sau unde cosinus într-o serie Fourier . Notând funcțiile de bază sinus sau cosinus cu φ _k , expansiunea funcției periodice f ( t ) ia forma:

${\ displaystyle f (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} \ varphi _ {k} (t).}$

De exemplu, unda pătrată poate fi scrisă ca seria Fourier

${\ displaystyle f _ {\ text {square}} (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sin {\ big (} (2k- 1) t {\ big)} \ peste 2k-1}.}$

În animația unui val pătrat din dreapta sus se poate vedea că doar câțiva termeni produc deja o aproximare destul de bună. Suprapunerea mai multor termeni în expansiunea unei unde din dinte de ferăstrău este prezentată dedesubt.

Istorie

În timp ce studiul timpuriu al trigonometriei poate fi urmărit până în antichitate, funcțiile trigonometrice așa cum sunt astăzi utilizate au fost dezvoltate în perioada medievală. Coardă Funcția a fost descoperită de Hipparchus de la Niceea (180-125 î.Hr.) și Ptolemeu din Roman Egipt (90-165 CE). Funcțiile sinus și versine (1 - cosinus) pot fi urmărite înapoi la funcțiile jyā și koti-jyā utilizate în astronomia indiană a perioadei Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), prin traducere din sanscrită în arabă și apoi din arabă în latină. (Vezi tabelul sinusoidal al lui Aryabhata .)

Toate cele șase funcții trigonometrice utilizate în prezent erau cunoscute în matematica islamică până în secolul al IX-lea, la fel ca legea sinelor , folosită la rezolvarea triunghiurilor . Cu excepția sinusului (care a fost adoptat din matematica indiană), celelalte cinci funcții trigonometrice moderne au fost descoperite de matematicienii persani și arabi, inclusiv cosinusul, tangenta, cotangenta, secanta și cosecanta. Al-Khwārizmī (c. 780–850) a produs tabele de sinusuri, cosinus și tangente. În jurul anului 830, Habash al-Hasib al-Marwazi a descoperit cotangenta și a produs tabele de tangente și cotangente. Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) a descoperit funcțiile reciproce ale secantei și cosecantelor și a produs primul tabel de cosecante pentru fiecare grad de la 1 ° la 90 °. Funcțiile trigonometrice au fost ulterior studiate de matematicieni, printre care Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (sec. XIV), Ulugh Beg (sec. XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus și studentul Rheticus Valentinus Otho .

Madhava din Sangamagrama (c. 1400) a făcut pași timpurii în analiza funcțiilor trigonometrice în termeni de serie infinită . (Vezi seria Madhava și tabelul sinusoidal al lui Madhava .)

Termenii tangent și secant au fost introduși pentru prima dată de matematicianul danez Thomas Fincke în cartea sa Geometria rotundi (1583).

Matematicianul francez Albert Girard din secolul al XVII-lea a făcut prima utilizare publicată a abrevierilor sin , cos și tan în cartea sa Trigonométrie .

Într-o lucrare publicată în 1682, Leibniz a demonstrat că păcatul x nu este o funcție algebrică a lui x . Deși introduse ca raporturi ale laturilor unui triunghi dreptunghiular , și parând astfel a fi funcții raționale , rezultatul Leibnitz a stabilit că acestea sunt de fapt funcții transcendentale ale argumentului lor. Sarcina asimilării funcțiilor circulare în expresii algebrice a fost îndeplinită de Euler în Introducerea sa în analiza infinitului (1748). Metoda sa a fost de a arăta că funcțiile sinus și cosinus sunt serii alternante formate din termenii pari și, respectiv, impari ai seriei exponențiale . El a prezentat „ formula lui Euler ”, precum și abrevieri aproape moderne ( sin. , Cos. , Tang. , Cot. , Sec. Și cosec. ).

Câteva funcții au fost comune punct de vedere istoric, dar acum sunt rar folosite, cum ar fi coarda , The versinus (care a apărut în primele tabele), The coversine , The haversine , The exsecant și excosecant . Lista de identități trigonometrice prezinta mai multe relații între aceste funcții.

• crd ( θ ) = 2 sin (θ/2)
• versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin ² (θ/2)
• coversin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ )
• haversin ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin ² (θ/2)
• exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1
• excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1

Etimologie

Cuvântul sine derivă din latina sinus , care înseamnă „îndoit; golf” și mai precis „pliul suspendat al părții superioare a unei toge ”, „sânul unei haine”, care a fost ales ca traducere a ceea ce a fost interpretat ca cuvântul arab jaib , care înseamnă „buzunar” sau „ pli ” în traducerile din secolul al XII-lea ale operelor lui Al-Battani și al-Khwārizmī în latina medievală . Alegerea s-a bazat pe o interpretare greșită a formei scrise în arabă jyb ( جيب ), care însăși își are originea ca transliterare din sanscrită jīvā , care împreună cu sinonimul său jyā (termenul sanscrit standard pentru sinus) se traduce prin „coardă de arc”, fiind în rând adoptat din greaca veche χορδή „șir”.

Cuvântul tangentă provine din latină tangens care înseamnă „atingere”, deoarece linia atinge cercul razei unității, în timp ce secanta provine din latina secans - „tăiere” - de când linia taie cercul.