Asemănare (geometrie) - Similarity (geometry)

Cifre similare

În geometria euclidiană , două obiecte sunt similare dacă au aceeași formă sau unul are aceeași formă ca imaginea în oglindă a celuilalt. Mai precis, una poate fi obținută de la cealaltă prin scalare uniformă (mărire sau reducere), posibil cu translare , rotație și reflexie suplimentare . Aceasta înseamnă că oricare obiect poate fi redefinit, repoziționat și reflectat, astfel încât să coincidă exact cu celălalt obiect. Dacă două obiecte sunt similare, fiecare este congruent cu rezultatul unei anumite scalări uniforme a celuilalt.

Traducere

Rotație

Reflecţie

Scalare

De exemplu, toate cercurile sunt similare, toate pătratele sunt similare și toate triunghiurile echilaterale sunt similare. Pe de altă parte, elipsele nu sunt toate similare între ele, dreptunghiurile nu sunt toate similare între ele, iar triunghiurile isoscele nu sunt toate asemănătoare.

Cifrele prezentate în aceeași culoare sunt similare

Dacă două unghiuri ale unui triunghi au măsuri egale cu măsurile a două unghiuri ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare. Laturile corespondente ale poligoanelor similare sunt proporționale, iar unghiurile corespunzătoare ale poligoanelor similare au aceeași măsură.

Acest articol presupune că o scalare poate avea un factor de scară de 1, astfel încât toate formele congruente sunt, de asemenea, similare, dar unele manuale școlare exclud în mod specific triunghiurile congruente din definiția triunghiurilor similare, insistând că dimensiunile trebuie să fie diferite dacă triunghiurile trebuie să fie calificați ca similar.

Triunghiuri similare

Două triunghiuri, △ ABC și △ A′B′C ′ , sunt similare dacă și numai dacă unghiurile corespunzătoare au aceeași măsură: aceasta implică faptul că sunt similare dacă și numai dacă lungimile laturilor corespunzătoare sunt proporționale . Se poate arăta că două triunghiuri care au unghiuri congruente ( triunghiuri echiangulare ) sunt similare, adică laturile corespunzătoare pot fi dovedite a fi proporționale. Aceasta este cunoscută sub numele de teorema similarității AAA. Rețineți că „AAA” este un mnemonic: fiecare dintre cele trei A se referă la un „unghi”. Datorită acestei teoreme, mai mulți autori simplifică definiția triunghiurilor similare pentru a cere doar ca cele trei unghiuri corespunzătoare să fie congruente.

Există mai multe afirmații, fiecare dintre acestea fiind necesară și suficientă pentru ca două triunghiuri să fie similare:

• Triunghiurile au două unghiuri congruente, ceea ce în geometria euclidiană implică faptul că toate unghiurile lor sunt congruente. Acesta este:

Dacă ∠ BAC este egal în măsură cu ∠ B′A′C ′ și ∠ ABC este egal în măsură cu ∠ A′B′C ′ , atunci aceasta implică faptul că ∠ ACB este egal în măsură cu ∠ A′C′B ′ iar triunghiurile sunt similare.

• Toate laturile corespunzătoare au lungimi în același raport:

AB/A′B ′ = Î.Hr./B′C ′ = AC/A′C ′. Acest lucru este echivalent cu a spune că un triunghi (sau imaginea sa în oglindă) este o mărire a celuilalt.

• Două laturi au lungimi în același raport, iar unghiurile incluse între aceste laturi au aceeași măsură. De exemplu:

AB/A′B ′ = Î.Hr./B′C ′iar ∠ ABC este egal în măsură cu ∠ A′B′C ′ .

Acest lucru este cunoscut sub numele de criteriul de similaritate SAS. „SAS” este un mnemonic: fiecare dintre cele două S se referă la o „latură”; A se referă la un „unghi” între cele două părți.

Când două triunghiuri △ ABC și △ A′B′C ′ sunt similare, se scrie unul

△ ABC ∼ △ A′B′C ′ .

Există mai multe rezultate elementare referitoare la triunghiuri similare în geometria euclidiană:

• Orice două triunghiuri echilaterale sunt similare.
• Două triunghiuri, ambele similare cu un al treilea triunghi, sunt similare între ele ( tranzitivitatea asemănării triunghiurilor).
• Altitudinile corespunzătoare ale triunghiurilor similare au același raport cu laturile corespunzătoare.
• Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare dacă hipotenuza și cealaltă parte au lungimi în același raport. Există mai multe condiții echivalente în acest caz, cum ar fi triunghiurile dreptunghiulare având un unghi acut de aceeași măsură sau având lungimile picioarelor (laturilor) în aceeași proporție.

Dat fiind un triunghi △ ABC și un segment de linie DE se poate găsi, cu rigla și busola , un punct F astfel încât △ ABC ∼ △ DEF . Afirmația că punctul F care îndeplinește această condiție există este postulatul lui Wallis și este logic echivalent cu postulatul paralel al lui Euclid . În geometria hiperbolică (unde postulatul lui Wallis este fals) triunghiuri similare sunt congruente.

În tratamentul axiomatic al geometriei euclidiene dat de GD Birkhoff (vezi axiomele lui Birkhoff ), criteriul de similaritate SAS dat mai sus a fost folosit pentru a înlocui atât Postulatul paralel al lui Euclid, cât și axioma SAS, care a permis scurtarea dramatică a axiomelor lui Hilbert .

Triunghiuri similare oferă baza pentru multe dovezi sintetice (fără utilizarea de coordonate) în geometria euclidiană. Printre rezultatele elementare care pot fi dovedite în acest fel sunt: teorema unghiului bisector , teorema medie geometrică , teorema lui Ceva , teorema lui Menelaus și teorema lui Pitagora . Triunghiuri similare oferă, de asemenea, fundamentele pentru trigonometria triunghiului dreptunghiular .

Alte poligoane similare

Conceptul de similaritate se extinde la poligoane cu mai mult de trei laturi. Având în vedere oricare două poligoane similare, laturile corespunzătoare luate în aceeași succesiune (chiar dacă în sensul acelor de ceasornic pentru un poligon și în sens invers acelor de ceasornic pentru cealaltă) sunt proporționale și unghiurile corespunzătoare luate în aceeași secvență sunt egale în măsură. Cu toate acestea, proporționalitatea laturilor corespunzătoare nu este suficientă pentru a demonstra similitudinea pentru poligoane dincolo de triunghiuri (altfel, de exemplu, toți rombii ar fi similari). La fel, egalitatea tuturor unghiurilor în ordine nu este suficientă pentru a garanta similitudinea (altfel toate dreptunghiurile ar fi similare). O condiție suficientă pentru similitudinea poligoanelor este că laturile și diagonalele corespunzătoare sunt proporționale.

Pentru n dat , toate n -gonurile regulate sunt similare.

Curbe similare

Mai multe tipuri de curbe au proprietatea că toate exemplele de acest tip sunt similare. Acestea includ:

• Cercuri
• Parabole
• Hiperbolele cu o excentricitate specifică
• Elipsele unei excentricități specifice
• Catenari
• Grafice ale funcției logaritmice pentru diferite baze
• Grafice ale funcției exponențiale pentru diferite baze
• Spiralele logaritmice sunt asemănătoare cu sine

În spațiul euclidian

O asemănare (numită și transformare de similitudine sau asemănare ) a unui spațiu euclidian este o bijecție f din spațiul pe sine care înmulțește toate distanțele cu același număr real pozitiv r , astfel încât pentru oricare două puncte x și y avem

${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y), \,}$

unde „ d ( x , y ) ” este distanța euclidiană de la x la y . Scalară r are multe nume în literatura de specialitate , inclusiv; raportul de similaritate , factorul de întindere și coeficientul de similaritate . Când r = 1 o similaritate se numește izometrie ( transformare rigidă ). Două seturi sunt numite similare dacă una este imaginea celeilalte sub o similaritate.

Ca hartă f  : ℝ ⁿ → ℝ ⁿ , o similitudine a raportului r ia forma

${\ displaystyle f (x) = rAx + t,}$

unde A ∈ O _n (ℝ) este un n x n ortogonale matrice și t ∈ ℝ ⁿ este un vector de traducere.

Asemănările păstrează planuri, linii, perpendicularitate, paralelism, puncte mediane, inegalități între distanțe și segmente de linie. Asemănările păstrează unghiurile, dar nu neapărat păstrează orientarea, similitudinile directe păstrează orientarea și similitudinile opuse o schimbă.

Asemănările formei spațiului Euclidian un grup în cadrul operațiunii de compoziție numită similarități grupului S . Similitudinile directe formează un subgrup normal de S, iar grupul euclidian E ( n ) al izometriilor formează și un subgrup normal. Grupul de similitudini S este el însuși un subgrup al grupului afin , deci fiecare asemănare este o transformare afină .

Se poate privi planul euclidian ca planul complex , adică ca un spațiu bidimensional peste reali . Transformările de similaritate 2D pot fi apoi exprimate în termeni de aritmetică complexă și sunt date de f ( z ) = az + b (similitudini directe) și f ( z ) = a z + b (similitudini opuse), unde a și b sunt complexe numere, un ≠ 0 . Când | a | = 1 , aceste asemănări sunt izometrii.

Rapoarte de laturi, de zone și de volume

Raportul dintre suprafețele figurilor similare este egal cu pătratul raportului lungimilor corespunzătoare ale acelor figuri (de exemplu, atunci când latura unui pătrat sau raza unui cerc este înmulțită cu trei, aria sa este înmulțită cu nouă - adică de trei pătrate). Altitudinile triunghiurilor similare sunt în același raport cu laturile corespunzătoare. Dacă un triunghi are o latură de lungime b și o altitudine trasată pe acea parte a lungimii h, atunci un triunghi similar cu latura corespunzătoare de lungime kb va avea o altitudine trasă pe acea parte a lungimii kh . Aria primului triunghi este, A =1/2bh , în timp ce aria triunghiului similar va fi A ′ =1/2( Kb ) ( kh ) = k ² A . Figurile similare care pot fi descompuse în triunghiuri similare vor avea zone legate în același mod. Relația este valabilă și pentru cifrele care nu pot fi rectificate.

Raportul dintre volumele figurilor similare este egal cu cubul raportului lungimilor corespunzătoare ale acelor figuri (de exemplu, atunci când marginea unui cub sau raza unei sfere este înmulțită cu trei, volumul său este înmulțit cu 27 - adică cu trei cuburi).

Legea lui Galileo pătrat-cub se referă la solide similare. Dacă raportul de similitudine (raportul laturilor corespunzătoare) dintre solide este k , atunci raportul suprafețelor solide va fi k ² , în timp ce raportul volumelor va fi k ³ .

În spații metrice generale

Triunghiul Sierpiński . Un spațiu cu dimensiune de auto-similitudinejurnal 3/jurnal 2= log ₂ 3 , care este aproximativ 1,58. (Din dimensiunea Hausdorff .)

Într-un spațiu metric general ( X , d ) , o asemănare exactă este o funcție f din spațiul metric X în sine care înmulțește toate distanțele cu același r scalar pozitiv , numit factor de contracție f , astfel încât pentru oricare două puncte x și y avem

${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y). \, \,}$

Versiunile mai slabi de similaritate ar fi , de exemplu , f să fie o bi- Lipschitz funcție iar scalară r o limită

${\ displaystyle \ lim {\ frac {d (f (x), f (y))} {d (x, y)}} = r.}$

Această versiune mai slabă se aplică atunci când metrica este o rezistență eficientă pe un set auto-similar topologic.

Un subset auto-similar al unui spațiu metric ( X , d ) este un set K pentru care există un set finit de asemănări { f _s } _{s ∈ S} cu factori de contracție 0 ≤ r _s <1 astfel încât K este compactul unic subset de X pentru care

Un set auto-similar construit cu două similitudini z '= 0,1 [(4 + i) z + 4] și z' = 0,1 [(4 + 7i) z * + 5-2i]

${\ displaystyle \ bigcup _ {s \ in S} f_ {s} (K) = K. \,}$

Aceste seturi auto-similare au o măsură auto-similară μ ^D cu dimensiunea D dată de formulă

${\ displaystyle \ sum _ {s \ in S} (r_ {s}) ^ {D} = 1 \,}$

care este adesea (dar nu întotdeauna) egală cu dimensiunea Hausdorff a setului și dimensiunea de ambalare . Dacă suprapunerile dintre f _s ( K ) sunt „mici”, avem următoarea formulă simplă pentru măsură:

${\ displaystyle \ mu ^ {D} (f_ {s_ {1}} \ circ f_ {s_ {2}} \ circ \ cdots \ circ f_ {s_ {n}} (K)) = (r_ {s_ {1 }} \ cdot r_ {s_ {2}} \ cdots r_ {s_ {n}}) ^ {D}. \,}$

Topologie

În topologie , un spațiu metric poate fi construit definind o similaritate în locul unei distanțe . Similitudinea este o funcție astfel încât valoarea sa este mai mare atunci când două puncte sunt mai apropiate (contrar distanței, care este o măsură a diferenței: cu cât punctele sunt mai apropiate, cu atât distanța este mai mică).

Definiția asemănării poate varia între autori, în funcție de proprietățile dorite. Proprietățile comune de bază sunt

1. Pozitiv definit:

   ${\ displaystyle \ forall (a, b), S (a, b) \ geq 0}$

2. Majorat de similitudinea unui element pe sine ( auto-similitudine ):

   ${\ displaystyle S (a, b) \ leq S (a, a) \ quad {\ text {and}} \ quad \ forall (a, b), S (a, b) = S (a, a) \ Leftrightarrow a = b}$

Pot fi invocate mai multe proprietăți, cum ar fi reflectivitatea ( ) sau finitudinea ( ). Valoarea superioară este adesea setată la 1 (creând o posibilitate pentru o interpretare probabilistică a asemănării). ${\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) = S (b, a)}$${\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) <\ infty}$

Rețineți că, în sensul topologic utilizat aici, asemănarea este un fel de măsură . Această utilizare nu este aceeași cu transformarea asemănării dintre secțiunile § În spațiul euclidian și § În spațiile metrice generale ale acestui articol.

Asemănarea de sine

Auto-similitudinea înseamnă că un model este asemănător non-banal cu el însuși, de exemplu, setul {…, 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12,…} de numere ale formei { 2 ⁱ , 3 · 2 ⁱ } unde i variază pe toate numerele întregi. Atunci când acest set este reprezentat pe o scară logaritmică are o simetrie translațională unidimensională : adăugarea sau scăderea logaritmului a două la logaritmul unuia dintre aceste numere produce logaritmul altuia dintre aceste numere. În setul de numere dat în sine, aceasta corespunde unei transformări de similaritate în care numerele sunt înmulțite sau împărțite la două.

Psihologie

Intuiția pentru noțiunea de asemănare geometrică apare deja la copiii umani, așa cum se poate vedea în desenele lor.

Vezi si

• Congruență (geometrie)
• Distanța de lovire (similaritatea șirului sau secvenței)
• Transformarea lui Helmert
• Geometrie inversă
• Indicele Jaccard
• Proporționalitate
• Teorema de bază a proporționalității
• Asemănare semantică
• Căutare similară
• Asemănare (filozofie)
• Spațiu de asemănare pe taxonomie numerică
• Homoeoid (coajă de elipsoide concentrice, similare)
• Soluția triunghiurilor

Note

Referințe

• Henderson, David W .; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (ed. A 3-a), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
• Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint / A Survey of Geometries , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (ediția a 5-a), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Stahl, Saul (2003), Geometrie / De la Euclid la noduri , Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
• Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry , Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
• Yale, Paul B. (1968), Geometrie și simetrie , Holden-Day

Lecturi suplimentare

• Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries , Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183-9, Springer ISBN  0-387-98972-2 .
• HSM Coxeter (1961,9) Introducere în geometrie , §5 Similitudine în planul euclidian, pp. 67–76, §7 Isometrie și similitudine în spațiul euclidian, pp 96–104, John Wiley & Sons .
• Günter Ewald (1971) Geometry: An Introduction , pp 106, 181, Editura Wadsworth .
• George E. Martin (1982) Geometria transformării: o introducere în simetrie , capitolul 13 Asemănări în plan, pp. 136-46, Springer ISBN  0-387-90636-3 .

linkuri externe

• Demonstrație animată a triunghiurilor similare