Hipotenuză - Hypotenuse

Un triunghi unghiular și ipotenuza acestuia.

În geometrie , o hipotenuză este cea mai lungă latură a unui triunghi unghiular , latura opusă unghiului drept . Lungimea ipotenuzei poate fi găsit folosind teorema lui Pitagora , care prevede că pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi. De exemplu, dacă una dintre celelalte laturi are o lungime de 3 (când este pătrat, 9) și cealaltă are o lungime de 4 (când este pătrată, 16), atunci pătratele lor se ridică la 25. Lungimea hipotenuzei este rădăcină pătrată de 25, adică 5.

Etimologie

Cuvântul ipotenuzei este derivat din greaca r | τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. Γραμμή sau πλευρά ), însemnând „[partea] subîntinzând unghiul drept“ ( Apollodorus ), ὑποτείνουσα hupoteinousa fiind participiul activ prezent feminin al verbului ὑποτείνω hupo-teinō " a se întinde dedesubt, a subtinde ", de la τείνω teinō " a se întinde, extinde ". Participiul nominalizat, ἡ ὑποτείνουσα , a fost folosit pentru ipotenuza unui triunghi în secolul al IV-lea î.Hr. (atestat în Platon , Timeu 54d). Termenul grecesc a fost împrumutat în latina târzie , ca hypotēnūsa . Ortografia în -e , ca hipotenuză , este de origine franceză ( Estienne de La Roche 1520).

Calculul hipotenuzei

Lungimea hipotenuzei poate fi calculată utilizând funcția de rădăcină pătrată implicată de teorema lui Pitagora . Folosind notația comună că lungimea celor două picioare ale triunghiului (laturile perpendiculare una pe cealaltă) sunt a și b și cea a hipotenuzei este c , avem

${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Teorema lui Pitagora și, prin urmare, această lungime, poate fi, de asemenea, derivată din legea cosinusului observând că unghiul opus hipotenuzei este de 90 ° și notând că cosinusul său este 0:

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos 90 ^ {\ circ} = a ^ {2} + b ^ {2} \ prin urmare c = {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Multe limbaje de computer acceptă funcția standard ISO C hypot ( x , y ), care returnează valoarea de mai sus. Funcția este concepută pentru a nu eșua acolo unde calculul simplu ar putea să depășească sau să devaleze și poate fi puțin mai precis și uneori semnificativ mai lent.

Unele calculatoare științifice oferă o funcție pentru a converti de la coordonatele rectangulare în coordonate polare . Acest lucru oferă atât lungimea hipotenuzei, cât și unghiul pe care hipotenuza îl face cu linia de bază ( c _{1 de} mai sus) în același timp când se dau x și y . Unghiul returnat este dat în mod normal de atan2 ( y , x ).

Proprietăți

În figură, a este hipotenuza și b și c sunt catetii. Proiecția ortografică a lui b este m , iar a lui c este n .

Proiecții ortografice :

• Lungimea hipotenuzei este egală cu suma lungimilor proiecțiilor ortografice ale ambelor cateti.
• Pătratul lungimii unui catet este egal cu produsul lungimilor proiecției sale ortografice pe hipotenuză de ori lungimea acestuia.

b² = a · m

c² = a · n

• De asemenea, lungimea unui catet b este media proporțională între lungimile proiecției sale m și hipotenuza a .

a / b = b / m

a / c = c / n

Rapoarte trigonometrice

Prin intermediul unor rapoarte trigonometrice , se poate obține valoarea a două unghiuri acute și a triunghiului dreptunghiular. ${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ beta \,}$

Având în vedere lungimea hipotenuzei și a unui catet , raportul este: ${\ displaystyle c \,}$${\ displaystyle b \,}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = \ sin (\ beta) \,}$

Funcția inversă trigonometrică este:

${\ displaystyle \ beta \ = \ arcsin \ left ({\ frac {b} {c}} \ right) \,}$

în care se află unghiul opus catetului . ${\ displaystyle \ beta \,}$${\ displaystyle b \,}$

Unghiul adiacent al catetelui este = 90 ° -${\ displaystyle b \,}$${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ beta \,}$

Se poate obține, de asemenea, valoarea unghiului prin ecuație: ${\ displaystyle \ beta \,}$

${\ displaystyle \ beta \ = \ arccos \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) \,}$

în care se află celălalt catet. ${\ displaystyle a \,}$

Vezi si

• Catetă
• Triunghi
• Diagonală spațială
• Număr nonhipotenuză
• Geometria taxiurilor
• Trigonometrie
• Triunghiuri dreptunghiulare speciale
• Pitagora

Note

Referințe

• Hipotenuza la Enciclopedia Matematicii
• Weisstein, Eric W. „Hipotenuza” . MathWorld .