Funcția (matematică) -Function (mathematics)

În matematică , o funcție de la o mulțime X la o mulțime Y atribuie fiecărui element al lui X exact un element al lui Y. Mulțimea X se numește domeniul funcției și mulțimea Y ​​se numește codomeniul funcției .

Funcțiile au fost inițial idealizarea modului în care o cantitate variabilă depinde de o altă cantitate. De exemplu, poziția unei planete este o funcție de timp. Din punct de vedere istoric , conceptul a fost elaborat cu calculul infinitezimal la sfârșitul secolului al XVII-lea, iar, până în secolul al XIX-lea, funcțiile considerate erau diferențiabile (adică aveau un grad ridicat de regularitate). Conceptul de funcție a fost formalizat la sfârșitul secolului al XIX-lea în termeni de teoria mulțimilor , iar acest lucru a lărgit foarte mult domeniile de aplicare ale conceptului.

O funcție este de cele mai multe ori notată cu litere precum f , g și h , iar valoarea unei funcții f la un element x din domeniul său este notă cu f ( x ) ; valoarea numerică rezultată din evaluarea funcției la o anumită valoare de intrare se notează prin înlocuirea x cu această valoare; de exemplu, valoarea lui f la x = 4 se notează cu f (4) . Când funcția nu este denumită și este reprezentată printr-o expresie E , valoarea funcției la, de exemplu, x = 4 poate fi notată cu E | _{x =4} . De exemplu, valoarea de la 4 a funcției la care se mapează x poate fi notată cu (care rezultă în 25).${\displaystyle (x+1)^{2}}$${\displaystyle \left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}}$

O funcție este reprezentată în mod unic de mulțimea tuturor perechilor ( x , f  ( x )) , numită graficul funcției , un mijloc popular de ilustrare a funcției. Când domeniul și codomeniul sunt seturi de numere reale, fiecare astfel de pereche poate fi considerată ca fiind coordonatele carteziene ale unui punct din plan.

Funcțiile sunt utilizate pe scară largă în știință , inginerie și în majoritatea domeniilor matematicii. S-a spus că funcțiile sunt „obiectele centrale ale investigației” în majoritatea domeniilor matematicii.

Reprezentare schematică a unei funcții descrisă metaforic ca o „mașină” sau „ cutie neagră ” care pentru fiecare intrare produce o ieșire corespunzătoare

Curba roșie este graficul unei funcții , deoarece orice linie verticală are exact un punct de intersecție cu curba.

O funcție care asociază oricare dintre cele patru forme colorate cu culoarea sa.

Definiție

Diagrama unei funcții, cu domeniul X = {1, 2, 3} și codomeniul Y = {A, B, C, D} , care este definită de mulțimea de perechi ordonate {(1, D), (2, C). ), (3, C)} . Imaginea/intervalul este setul {C, D} .

---

---

---

Această diagramă, reprezentând mulțimea de perechi {(1,D), (2,B), (2,C)} , nu definește o funcție. Un motiv este că 2 este primul element din mai mult de o pereche ordonată, (2, B) și (2, C) , din această mulțime. Alte două motive, de asemenea suficiente prin ele însele, sunt că nici 3, nici 4 nu sunt primele elemente (intrare) ale vreunei perechi ordonate din acestea.

O funcție de la o mulțime X la o mulțime Y este o atribuire a unui element al lui Y fiecărui element al lui X. Mulțimea X se numește domeniul funcției și mulțimea Y ​​se numește codomeniul funcției .

O funcție, domeniul ei și codomeniul ei, sunt declarate prin notația f : X → Y , iar valoarea unei funcții f la un element x al lui X , notat cu f(x) , se numește imaginea lui x sub f , sau valoarea lui f aplicată argumentului x .

Funcțiile mai sunt numite hărți sau mapări , deși unii autori fac o oarecare distincție între „hărți” și „funcții” (vezi § Alți termeni ).

Două funcții f și g sunt egale dacă seturile lor de domenii și codomenii sunt aceleași și valorile lor de ieșire sunt de acord pe întregul domeniu. Mai formal, dat fiind f : X → Y și g : X → Y , avem f = g dacă și numai dacă f ( x ) = g ( x ) pentru tot x ∈ X .

Domeniul și codomeniul nu sunt întotdeauna date explicit atunci când o funcție este definită și, fără un calcul (posibil dificil), s-ar putea ști doar că domeniul este conținut într-un set mai mare. De obicei, acest lucru se întâmplă în analiza matematică , unde „o funcție de la X la Y ” se referă adesea la o funcție care poate avea un subset adecvat de X ca domeniu. De exemplu, o „funcție de la reali la reali” se poate referi la o funcție cu valoare reală a unei variabile reale . Totuși, o „funcție de la reali la reali” nu înseamnă că domeniul funcției este întregul set al numerelor reale , ci doar că domeniul este un set de numere reale care conține un interval deschis nevid . O astfel de funcție se numește apoi funcție parțială . De exemplu, dacă f este o funcție care are numerele reale ca domeniu și codomeniu, atunci o funcție care mapează valoarea x la valoarea g ( x ) = 1/f ( x )este o funcție g de la reale la reale, al cărei domeniu este mulțimea realelor x , astfel încât f ( x ) ≠ 0 .

Intervalul sau imaginea unei funcții este setul de imagini ale tuturor elementelor din domeniu.

Relație totală, univalentă

Orice submulțime a produsului cartezian a două mulțimi X și Y definește o relație binară R ⊆ X × Y între aceste două mulțimi. Este imediat că o relație arbitrară poate conține perechi care încalcă condițiile necesare pentru o funcție dată mai sus.

O relație binară este univalentă (numită și drept-unică) dacă

${\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y= z.}$

O relație binară este totală dacă

${\displaystyle \forall x\in X,\există y\în Y,\quad (x,y)\in R.}$

O funcție parțială este o relație binară care este univalentă, iar o funcție este o relație binară care este univalentă și totală.

Diferite proprietăți ale funcțiilor și compoziția funcției pot fi reformulate în limbajul relațiilor. De exemplu, o funcție este injectivă dacă relația inversă R ^T ⊆ Y × X este univalentă, unde relația inversă este definită ca R ^T = {( y , x ) | ( x , y ) ∈ R }.

Setați exponentiația

Setul tuturor funcțiilor de la un set la un set este de obicei notat ca ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y^{X},}$

care se citește ca putere . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Această notație este aceeași cu notația pentru produsul cartezian al unei familii de copii ale indexate prin : ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y^{X}=\prod _{x\in X}Y.}$

Identitatea acestor două notații este motivată de faptul că o funcție poate fi identificată cu elementul produsului cartezian astfel încât componenta indicelui este . ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Când are două elemente, este denumită în mod obișnuit și numită puterea lui X. Poate fi identificat cu mulțimea tuturor submulților de , prin corespondența unu-la-unu care asociază fiecărui subset funcția astfel încât dacă și altfel. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x\în S}$${\displaystyle f(x)=0}$

Notaţie

Există diferite moduri standard de a desemna funcții. Notația cea mai des folosită este notația funcțională, care este prima notație descrisă mai jos.

Notație funcțională

În notația funcțională, funcția primește imediat un nume, cum ar fi f , iar definiția sa este dată de ceea ce f face argumentului explicit x , folosind o formulă în termeni de x . De exemplu, funcția care ia un număr real ca intrare și scoate acel număr plus 1 este notată cu

${\displaystyle f(x)=x+1}$.

Dacă o funcție este definită în această notație, domeniul și codomeniul ei sunt implicit luați ca ambele , mulțimea numerelor reale. Dacă formula nu poate fi evaluată la toate numerele reale, atunci domeniul este implicit considerat submulțimea maximă pe care formula poate fi evaluată; vezi Domeniul unei funcții . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un exemplu mai complicat este funcția

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$.

În acest exemplu, funcția f ia ca intrare un număr real, îl pătratează, apoi adaugă 1 la rezultat, apoi ia sinusul rezultatului și returnează rezultatul final ca rezultat.

Când simbolul care denotă funcția este format din mai multe caractere și nu poate apărea nicio ambiguitate, parantezele de notație funcțională pot fi omise. De exemplu, este obișnuit să scrieți sin x în loc de sin( x ) .

Notația funcțională a fost folosită pentru prima dată de Leonhard Euler în 1734. Unele funcții utilizate pe scară largă sunt reprezentate de un simbol format din mai multe litere (de obicei două sau trei, în general o abreviere a numelui lor). În acest caz, se folosește în mod obișnuit un tip roman , cum ar fi „ sin ” pentru funcția sinus , spre deosebire de fontul italic pentru simbolurile cu o singură literă.

Când se folosește această notație, se întâlnește adesea abuzul de notație prin care notația f ( x ) se poate referi la valoarea lui f la x , sau la funcția însăși. Dacă variabila x a fost declarată anterior, atunci notația f ( x ) înseamnă fără ambiguitate valoarea lui f la x . În caz contrar, este util să înțelegem notația ca fiind ambele simultan; aceasta permite să se desemneze compoziția a două funcții f și g într-o manieră succintă prin notația f ( g ( x )) .

Cu toate acestea, distincția f și f ( x ) poate deveni importantă în cazurile în care funcțiile însele servesc ca intrări pentru alte funcții. (O funcție care ia o altă funcție ca intrare este numită funcțională .) Alte abordări de notare a funcțiilor, detaliate mai jos, evită această problemă, dar sunt mai puțin frecvent utilizate.

Notație săgeată

Notația săgeată definește regula unei funcții în linie, fără a necesita un nume pentru a fi dat funcției. De exemplu, este funcția care ia un număr real ca intrare și scoate acel număr plus 1. Din nou, un domeniu și un codomeniu sunt implicite. ${\displaystyle x\mapsto x+1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Domeniul și codomeniul pot fi, de asemenea, specificate în mod explicit, de exemplu:

${\displaystyle {\begin{aliniat}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} și\la \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aliniat}}}$

Aceasta definește o funcție sqr de la numere întregi la numere întregi care returnează pătratul intrării sale.

Ca o aplicație comună a notației săgeți, să presupunem că este o funcție în două variabile și vrem să ne referim la o funcție aplicată parțial produsă prin fixarea celui de-al doilea argument la valoarea t ₀ fără a introduce un nou nume de funcție. Harta în cauză ar putea fi indicată folosind notația săgeată. Expresia (a se citi: „harta care duce x la f ( x , t ₀ ) ”) reprezintă această nouă funcție cu un singur argument, în timp ce expresia f ( x ₀ , t ₀ ) se referă la valoarea funcției f la punctul ( x ₀ , t ₀ ) .${\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle X\la Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$

Notarea indexului

Notația index este adesea folosită în locul notației funcționale. Adică, în loc să scrieți f  ( x ) , se scrie${\displaystyle f_{x}.}$

Acesta este de obicei cazul funcțiilor al căror domeniu este mulțimea numerelor naturale . O astfel de funcție se numește șir și, în acest caz, elementul este numit al n- lea element al secvenței. ${\displaystyle f_{n}}$

Notația index este adesea folosită și pentru a distinge unele variabile numite parametri de „variabile adevărate”. De fapt, parametrii sunt variabile specifice care sunt considerate ca fiind fixate în timpul studierii unei probleme. De exemplu, harta (vezi mai sus) ar fi notată folosind notația index, dacă definim colecția de hărți prin formula pentru toate . ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

Notație punct

În notație simbolul x nu reprezintă nicio valoare, este pur și simplu un substituent , ceea ce înseamnă că, dacă x este înlocuit cu orice valoare din stânga săgeții, ar trebui înlocuit cu aceeași valoare din dreapta săgeții. Prin urmare, x poate fi înlocuit cu orice simbol, adesea un interpunct „ ⋅ ”. Acest lucru poate fi util pentru a distinge funcția f  (⋅) de valoarea sa f  ( x ) la x . ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$

De exemplu, poate reprezenta funcția și poate reprezenta o funcție definită de o integrală cu limita superioară variabilă: . ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Notatii specializate

Există și alte notații specializate pentru funcții în subdisciplinele matematicii. De exemplu, în algebra liniară și analiza funcțională , formele liniare și vectorii asupra cărora acționează sunt notate folosind o pereche duală pentru a arăta dualitatea de bază . Acest lucru este similar cu utilizarea notației bra-ket în mecanica cuantică. În logică și în teoria calculului , notația de funcție a calculului lambda este folosită pentru a exprima în mod explicit noțiunile de bază ale abstractizării și aplicării funcției . În teoria categoriilor și algebra omologică , rețelele de funcții sunt descrise în ceea ce privește modul în care ele și compozițiile lor comută între ele folosind diagrame comutative care extind și generalizează notația cu săgeți pentru funcțiile descrise mai sus.

Alți termeni

O funcție este adesea numită și o hartă sau o mapare , dar unii autori fac o distincție între termenul „hartă” și „funcție”. De exemplu, termenul „hartă” este adesea rezervat unei „funcții” cu un fel de structură specială (de exemplu, hărți de varietăți ). În particular , harta este adesea folosită în locul homomorfismului de dragul succintei (de exemplu, o hartă liniară sau o hartă de la G la H în loc de homomorfism de grup de la G la H ). Unii autori rezervă maparea cuvintelor pentru cazul în care structura codomeniului aparține în mod explicit definiției funcției.

Unii autori, cum ar fi Serge Lang , folosesc „funcție” doar pentru a se referi la hărți pentru care codomeniul este un subset al numerelor reale sau complexe și folosesc termenul de mapare pentru funcții mai generale.

În teoria sistemelor dinamice , o hartă denotă o funcție de evoluție utilizată pentru a crea sisteme dinamice discrete . Vezi și harta Poincaré .

Indiferent de definiția utilizată a hărții , termenii înrudiți precum domain , codomain , injectiv , continuous au același sens ca și pentru o funcție.

Specificarea unei funcții

Având în vedere o funcție , prin definiție, fiecărui element din domeniul funcției , îi este asociat un element unic, valoarea at . Există mai multe moduri de a specifica sau de a descrie modul în care este legat de , atât explicit, cât și implicit. Uneori, o teoremă sau o axiomă afirmă existența unei funcții având anumite proprietăți, fără a o descrie mai precis. Adesea, specificația sau descrierea este denumită definiția funcției . ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

Prin enumerarea valorilor funcției

Pe o mulțime finită, o funcție poate fi definită prin listarea elementelor codomeniului care sunt asociate elementelor domeniului. De exemplu, dacă , atunci se poate defini o funcție prin${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

Printr-o formulă

Funcțiile sunt adesea definite printr-o formulă care descrie o combinație de operații aritmetice și funcții definite anterior; o astfel de formulă permite calcularea valorii funcției din valoarea oricărui element al domeniului. De exemplu, în exemplul de mai sus, poate fi definit prin formula , pentru . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

Când o funcție este definită în acest fel, determinarea domeniului ei este uneori dificilă. Dacă formula care definește funcția conține diviziuni, valorile variabilei pentru care numitorul este zero trebuie excluse din domeniu; astfel, pentru o funcție complicată, determinarea domeniului trece prin calculul zerourilor funcțiilor auxiliare. În mod similar, dacă rădăcinile pătrate apar în definiția unei funcții de la domeniul este inclus în setul de valori ale variabilei pentru care argumentele rădăcinilor pătrate sunt nenegative. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

De exemplu, definește o funcție al cărei domeniu este deoarece este întotdeauna pozitiv dacă x este un număr real. Pe de altă parte, definește o funcție de la reali la reali al cărei domeniu este redus la intervalul [−1, 1] . (În textele vechi, un astfel de domeniu era numit domeniul de definire a funcției.) ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Funcțiile sunt adesea clasificate după natura formulelor care le definesc:

• O funcție pătratică este o funcție care poate fi scrisă în care a , b , c sunt constante .${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• Mai general, o funcție polinomială este o funcție care poate fi definită printr-o formulă care implică numai adunări, scăderi, înmulțiri și exponențiere la numere întregi nenegative. De exemplu, și${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1,}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.}$
• O funcție rațională este aceeași, cu diviziuni permise, cum ar fi și${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• O funcție algebrică este aceeași, cu rădăcini a n-a și rădăcini de polinoame permise.
• O funcție elementară este aceeași, cu logaritmi și funcții exponențiale permise.

Funcții inverse și implicite

O funcție cu domeniul X și codomeniul Y este bijectivă , dacă pentru fiecare y din Y , există unul și un singur element x în X astfel încât y = f ( x ) . În acest caz, funcția inversă a lui f este funcția care se mapează la element astfel încât y = f ( x ) . De exemplu, logaritmul natural este o funcție bijectivă de la numerele reale pozitive la numerele reale. Are astfel o inversă, numită funcție exponențială , care mapează numerele reale pe numerele pozitive. ${\displaystyle f\colon X\la Y,}$${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$${\displaystyle y\în Y}$${\displaystyle x\in X}$

Dacă o funcție nu este bijectivă, poate apărea că se pot selecta submulțimi și astfel încât restricția lui f la E să fie o bijecție de la E la F și să aibă astfel o inversă. Funcțiile trigonometrice inverse sunt definite astfel. De exemplu, funcția cosinus induce, prin restricție, o bijecție din intervalul [0, π ] pe intervalul [−1, 1] , iar funcția sa inversă, numită arccosinus , mapează [−1, 1] pe [0, π ] . Celelalte funcții trigonometrice inverse sunt definite în mod similar. ${\displaystyle f\colon X\la Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$

Mai general, având în vedere o relație binară R între două mulțimi X și Y , fie E o submulțime a lui X astfel încât, pentru fiecare, există unele astfel încât x R y . Dacă există un criteriu care să permită selectarea unui astfel de y pentru fiecare , aceasta definește o funcție numită funcție implicită , deoarece este implicit definită de relația R . ${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\în Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f\colon E\la Y,}$

De exemplu, ecuația cercului unitar definește o relație pe numere reale. Dacă −1 < x < 1 există două valori posibile ale lui y , una pozitivă și una negativă. Pentru x = ± 1 , aceste două valori devin ambele egale cu 0. În caz contrar, nu există o valoare posibilă a lui y . Aceasta înseamnă că ecuația definește două funcții implicite cu domeniul [−1, 1] și codomeniile respective [0, +∞) și (−∞, 0] . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

În acest exemplu, ecuația poate fi rezolvată în y , dând însă, în exemple mai complicate, acest lucru este imposibil. De exemplu, relația definește y ca o funcție implicită a lui x , numită radicalul Bring , care are ca domeniu și interval. Radicalul Bring nu poate fi exprimat în termenii celor patru operații aritmetice și a rădăcinilor a n-a . ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Teorema funcției implicite oferă condiții ușoare de diferențiere pentru existența și unicitatea unei funcții implicite în vecinătatea unui punct.

Folosind calculul diferenţial

Multe funcții pot fi definite ca antiderivate ale unei alte funcții. Acesta este cazul logaritmului natural , care este antiderivata lui 1/ x care este 0 pentru x = 1 . Un alt exemplu comun este funcția de eroare .

Mai general, multe funcții, inclusiv cele mai multe funcții speciale , pot fi definite ca soluții ale ecuațiilor diferențiale . Cel mai simplu exemplu este probabil funcția exponențială , care poate fi definită ca funcția unică care este egală cu derivata sa și ia valoarea 1 pentru x = 0 .

Seriile de putere pot fi folosite pentru a defini funcții pe domeniul în care converg. De exemplu, funcția exponențială este dată de . Cu toate acestea, deoarece coeficienții unei serii sunt destul de arbitrari, o funcție care este suma unei serii convergente este, în general, definită altfel, iar succesiunea coeficienților este rezultatul unor calcule bazate pe o altă definiție. Apoi, seria de putere poate fi utilizată pentru a mări domeniul funcției. În mod obișnuit, dacă o funcție pentru o variabilă reală este suma seriei Taylor într-un anumit interval, această serie de puteri permite extinderea imediată a domeniului la un subset al numerelor complexe , discul de convergență al seriei. Apoi continuarea analitică permite extinderea în continuare a domeniului pentru a include aproape întregul plan complex . Acest proces este metoda utilizată în general pentru definirea funcțiilor logaritmului , exponențial și trigonometric ale unui număr complex. ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

Prin recurență

Funcțiile al căror domeniu sunt numerele întregi nenegative, cunoscute sub numele de secvențe , sunt adesea definite prin relații de recurență .

Funcția factorială pe numerele întregi nenegative ( ) este un exemplu de bază, deoarece poate fi definită prin relația de recurență ${\displaystyle n\mapsto n!}$

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

si starea initiala

${\displaystyle 0!=1.}$

Reprezentând o funcție

Un grafic este folosit în mod obișnuit pentru a oferi o imagine intuitivă a unei funcții. Ca exemplu al modului în care un grafic ajută la înțelegerea unei funcții, este ușor să vedem din graficul acesteia dacă o funcție crește sau descrește. Unele funcții pot fi reprezentate și prin diagrame cu bare .

Grafice și diagrame

Funcția de cartografiere în fiecare an la numărul de decese în vehiculele din SUA, prezentată sub formă de diagramă cu linii

Aceeași funcție, afișată ca diagramă cu bare

Având în vedere o funcție, graficul acesteia este, formal, mulțimea ${\displaystyle f\colon X\la Y,}$

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$

În cazul frecvent în care X și Y sunt submulțimi ale numerelor reale (sau pot fi identificate cu astfel de subseturi, de exemplu intervale ), un element poate fi identificat cu un punct având coordonatele x , y într-un sistem de coordonate bidimensional, de ex. plan cartezian . Părți din aceasta pot crea o diagramă care reprezintă (părți ale) funcției. Utilizarea diagramelor este atât de omniprezentă încât și ele sunt numite graficul funcției . Reprezentările grafice ale funcțiilor sunt posibile și în alte sisteme de coordonate. De exemplu, graficul funcției pătrate${\displaystyle (x,y)\in G}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

constând din toate punctele cu coordonate pentru randamente, atunci când sunt reprezentate în coordonate carteziene, binecunoscuta parabola . Dacă aceeași funcție pătratică cu același grafic formal, constând din perechi de numere, este reprezentată în schimb în coordonate polare, graficul obținut este spirala lui Fermat . ${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

Mese

O funcție poate fi reprezentată ca un tabel de valori. Dacă domeniul unei funcții este finit, atunci funcția poate fi complet specificată în acest fel. De exemplu, funcția de înmulțire definită ca poate fi reprezentată de tabelul de înmulțire familiar${\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

Pe de altă parte, dacă domeniul unei funcții este continuu, un tabel poate oferi valorile funcției la anumite valori ale domeniului. Dacă este necesară o valoare intermediară, interpolarea poate fi utilizată pentru a estima valoarea funcției. De exemplu, o porțiune dintr-un tabel pentru funcția sinus ar putea fi dată după cum urmează, cu valorile rotunjite la 6 zecimale:

Înainte de apariția calculatoarelor portabile și a calculatoarelor personale, astfel de tabele erau adesea compilate și publicate pentru funcții precum logaritmii și funcțiile trigonometrice.

Diagramă cu bare

Diagramele cu bare sunt adesea folosite pentru reprezentarea funcțiilor al căror domeniu este o mulțime finită, numerele naturale sau numerele întregi . În acest caz, un element x al domeniului este reprezentat de un interval al axei x , iar valoarea corespunzătoare a funcției, f ( x ) , este reprezentată de un dreptunghi a cărui bază este intervalul corespunzător lui x și a cărui înălțime este f ( x ) (posibil negativ, caz în care bara se extinde sub axa x ).

Proprietăți generale

Această secțiune descrie proprietățile generale ale funcțiilor, care sunt independente de proprietățile specifice ale domeniului și ale codomeniului.

Funcții standard

Există o serie de funcții standard care apar frecvent:

• Pentru fiecare set X , există o funcție unică, numită funcția goală , sauhartagoală, dinsetul gollaX. Graficul unei funcții goale este mulțimea goală. Existența funcțiilor goale este necesară atât pentru coerența teoriei, cât și pentru evitarea excepțiilor referitoare la mulțimea goală din multe enunțuri. Conform definiției obișnuite teoretice de mulțimi a unei funcții catriplet ordonat(sau echivalente), există exact o funcție goală pentru fiecare mulțime, astfel încât funcția goalănu este egală cudacă și numai dacă, deși graficul lor sunt ambelegoaleset.${\displaystyle \varnothing \mapsto X}$${\displaystyle \varnothing \mapsto Y}$${\displaystyle X\neq Y}$
• Pentru fiecare multime X si fiecare multime singleton { s } , exista o functie unica de la X la { s } , care mapeaza fiecare element al lui X la s . Aceasta este o suprajecție (vezi mai jos), cu excepția cazului în care X este setul gol.
• Având în vedere o funcție, suprajecția canonică a lui f pe imaginea sa este funcția de la X la f ( X ) care mapează x la f ( x ) .${\displaystyle f\colon X\la Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• Pentru fiecare submulțime A a unei mulțimi X , harta de includere a lui A în X este funcția injectivă (vezi mai jos) care mapează fiecare element al lui A la sine.
• Funcția de identitate pe o mulțime X , adesea notată cu id _X , este includerea lui X în sine.

Compoziția funcției

Având în vedere două funcții și astfel încât domeniul lui g este codomeniul lui f , compoziția lor este funcția definită de ${\displaystyle f\colon X\la Y}$${\displaystyle g\colon Y\la Z}$${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

Adică, valoarea lui se obține prin aplicarea mai întâi f la x pentru a obține y = f ( x ) și apoi aplicând g la rezultatul y pentru a obține g ( y ) = g ( f ( x )) . În notație funcția care se aplică prima este întotdeauna scrisă în dreapta. ${\displaystyle g\circ f}$

Compoziția este o operație pe funcții care este definită numai dacă codomeniul primei funcție este domeniul celei de-a doua. Chiar și atunci când ambele și satisfac aceste condiții, compoziția nu este neapărat comutativă , adică funcțiile și nu trebuie să fie egale, dar pot furniza valori diferite pentru același argument. De exemplu, fie f ( x ) = x ² și g ( x ) = x + 1 , apoi și să fie de acord doar pentru${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

Compoziția funcției este asociativă în sensul că, dacă unul dintre și este definit, atunci celălalt este definit și ele sunt egale. Astfel, se scrie ${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$

${\displaystyle h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$

Funcțiile de identitate și sunt, respectiv, o identitate la dreapta și o identitate la stânga pentru funcțiile de la X la Y . Adică, dacă f este o funcție cu domeniul X și codomeniul Y , se are ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 

  O funcție compozită g ( f ( x )) poate fi vizualizată ca o combinație a două „mașini”.

• 

  Un exemplu simplu de compoziție de funcție

• 

  O alta compozitie. În acest exemplu, ( g  ∘  f  )(c) = # .

Imagine și preimagine

Fie Imaginea de sub f a unui element x din domeniul X este f ( x ) . Dacă A este orice submulțime a lui X , atunci imaginea lui A sub f , notată f ( A ) , este submulțimea codomeniului Y constând din toate imaginile elementelor lui A , adică ${\displaystyle f\colon X\la Y.}$

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$

Imaginea lui f este imaginea întregului domeniu, adică f ( X ) . Se mai numește și intervalul lui f , deși termenul interval se poate referi și la codomeniu.

Pe de altă parte, imaginea inversă sau preimaginea sub f a unui element y al codomeniului Y este mulțimea tuturor elementelor domeniului X ale căror imagini sub f sunt egale cu y . În simboluri, preimaginea lui y este notă și este dată de ecuație ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$

La fel, preimaginea unei submulțimi B a codomeniului Y este mulțimea preimaginilor elementelor lui B , adică este submulțimea domeniului X formată din toate elementele lui X ale căror imagini aparțin lui B . Este notat cu și este dat de ecuație ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$

De exemplu, preimaginea sub funcția pătratului este setul . ${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

Prin definiția unei funcții, imaginea unui element x al domeniului este întotdeauna un singur element al codomeniului. Cu toate acestea, preimaginea unui element y al codomeniului poate fi goală sau poate conține orice număr de elemente. De exemplu, dacă f este funcția de la numerele întregi la ele însele care mapează fiecare număr întreg la 0, atunci . ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

Dacă este o funcție, A și B sunt submulțimi ale lui X , iar C și D sunt submulțimi ale lui Y , atunci unul are următoarele proprietăți: ${\displaystyle f\colon X\la Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

Preimaginea prin f a unui element y al codomeniului este uneori numită, în unele contexte, fibra lui y sub f .

Dacă o funcție f are un invers (vezi mai jos), acest invers este notat. În acest caz , poate desemna fie imaginea prin sau preimaginea prin f a lui C . Aceasta nu este o problemă, deoarece aceste seturi sunt egale. Notația și poate fi ambiguă în cazul mulțimilor care conțin unele submulțimi ca elemente, cum ar fi În acest caz, poate fi necesară o anumită atenție, de exemplu, prin utilizarea parantezelor pătrate pentru imagini și preimagini ale subseturi și paranteze obișnuite pentru imagini și preimagini de elemente. ${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

Funcții injective, surjective și bijective

Să fie o funcție. ${\displaystyle f\colon X\la Y}$

Funcția f este injectivă (sau unu-la-unu , sau este o injecție ) dacă f ( a ) ≠ f ( b ) pentru oricare două elemente diferite a și b ale lui X . În mod echivalent, f este injectiv dacă și numai dacă, pentru oricare preimaginea conține cel mult un element. O funcție goală este întotdeauna injectivă. Dacă X nu este mulțimea goală, atunci f este injectivă dacă și numai dacă există o funcție astfel încât , adică, dacă f are inversul stâng . Dovada : Dacă f este injectivă, pentru definirea g , se alege un element din X (care există așa cum se presupune că X este nevid) și se definește g prin dacă și dacă Invers, dacă și atunci și astfel${\displaystyle y\în Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\la X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\nu \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

Funcția f este surjectivă (sau pe , sau este o surjecție ) dacă intervalul său este egal cu codomeniul său , adică dacă, pentru fiecare element al codomeniului, există un element al domeniului astfel încât (cu alte cuvinte, preimaginea lui fiecare nu este gol). Dacă, ca de obicei în matematica modernă, se presupune axioma alegerii , atunci f este surjectivă dacă și numai dacă există o funcție astfel încât , adică, dacă f are inversul drept . Axioma alegerii este necesară, deoarece, dacă f este surjectiv, se definește g prin unde este un element ales arbitrar de${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\în Y}$${\displaystyle g\colon Y\la X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

Funcția f este bijectivă (sau este o bijecție sau o corespondență unu-la-unu ) dacă este atât injectivă, cât și surjectivă. Adică, f este bijectiv dacă, pentru oricare preimaginea conține exact un element. Funcția f este bijectivă dacă și numai dacă admite o funcție inversă , adică o funcție astfel încât și (Spre deosebire de cazul suprajecțiilor, aceasta nu necesită axioma alegerii; demonstrația este simplă). ${\displaystyle y\în Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\la X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

Fiecare funcție poate fi factorizată ca compoziția unei suprajecție urmată de o injecție, unde s este suprajecția canonică a lui X pe f ( X ) și i este injecția canonică a lui f ( X ) în Y . Aceasta este factorizarea canonică a lui f . ${\displaystyle f\colon X\la Y}$${\displaystyle i\circ s}$

„One-to-one” și „onto” sunt termeni care erau mai des întâlniți în literatura mai veche în limba engleză; „injectiv”, „surjectiv” și „bijectiv” au fost inventate inițial ca cuvinte franceze în al doilea sfert al secolului al XX-lea de către grupul Bourbaki și importate în engleză. Ca un cuvânt de precauție, „o funcție unu-la-unu” este una care este injectivă, în timp ce o „corespondență unu-la-unu” se referă la o funcție bijectivă. De asemenea, afirmația „ f maps X on Y ” diferă de „ f maps X into B ”, prin aceea că prima implică faptul că f este surjectiv, în timp ce cea din urmă nu face nicio afirmație despre natura lui f . Într-un raționament complicat, diferența cu o literă poate fi ușor ratată. Datorită naturii confuze a acestei terminologii mai vechi, acești termeni au scăzut în popularitate în raport cu termenii Bourbakieni, care au și avantajul de a fi mai simetrici.

Restricție și extindere

Dacă este o funcție și S este o submulțime a lui X , atunci restricția lui la S , notată , este funcția de la S la Y definită de ${\displaystyle f\colon X\la Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$

pentru toți x din S . Restricțiile pot fi utilizate pentru a defini funcții inverse parțiale : dacă există o submulțime S a domeniului unei funcții care este injectivă, atunci suprajecția canonică a imaginii sale este o bijecție și, prin urmare, are o funcție inversă de la la S . O aplicație este definirea funcțiilor trigonometrice inverse . De exemplu, funcția cosinus este injectivă când este limitată la intervalul [0, π ] . Imaginea acestei restricții este intervalul [−1, 1] , și astfel restricția are o funcție inversă de la [−1, 1] la [0, π ] , care se numește arccosinus și se notează arccos . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$

Restricția de funcții poate fi folosită și pentru „lipirea” funcțiilor împreună. Fie descompunerea lui X ca o uniune de submulțimi și să presupunem că o funcție este definită pe fiecare astfel încât pentru fiecare pereche de indici, restricțiile lui și to sunt egale. Apoi, aceasta definește o funcție unică astfel încât pentru toate i . Acesta este modul în care sunt definite funcțiile pe varietăți .${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}\colon U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f\colon X\la Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

O extensie a unei funcții f este o funcție g astfel încât f este o restricție a lui g . O utilizare tipică a acestui concept este procesul de continuare analitică , care permite extinderea funcțiilor al căror domeniu este o mică parte din planul complex la funcții al căror domeniu este aproape întregul plan complex.

Iată un alt exemplu clasic de extensie a funcției care se întâlnește atunci când se studiază omografiile liniei reale . O omografie este o funcție astfel încât ad − bc ≠ 0 . Domeniul său este mulțimea tuturor numerelor reale diferite de și imaginea sa este mulțimea tuturor numerelor reale diferite de Dacă se extinde linia reală la linia reală extinsă proiectiv incluzând ∞ , se poate extinde h la o bijecție din realul extins. linia la sine prin setarea și . ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

Funcție multivariată

O operație binară este un exemplu tipic de funcție bivariată care atribuie fiecărei perechi rezultatul .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\circ y}$

O funcție multivariată sau funcția mai multor variabile este o funcție care depinde de mai multe argumente. Astfel de funcții sunt frecvent întâlnite. De exemplu, poziția unei mașini pe un drum este o funcție de timpul parcurs și viteza medie a acesteia.

Mai formal, o funcție de n variabile este o funcție al cărei domeniu este un set de n -tupluri. De exemplu, multiplicarea numerelor întregi este o funcție a două variabile sau funcția bivariată , al cărei domeniu este mulțimea tuturor perechilor (2-tuple) de numere întregi și al cărei codomeniu este mulțimea numerelor întregi. Același lucru este valabil pentru fiecare operație binară . Mai general, fiecare operație matematică este definită ca o funcție multivariată.

Produsul cartezian al n mulțimi este mulțimea tuturor n -tuplurilor astfel încât pentru fiecare i cu . Prin urmare, o funcție de n variabile este o funcție ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle f\colon U\la Y,}$

unde domeniul U are forma

${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Când utilizați notația funcției, de obicei se omite parantezele din jurul tuplurilor, scriind în loc de${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle f((x_{1},x_{2})).}$

În cazul în care toate sunt egale cu mulţimea numerelor reale , unul are o funcţie a mai multor variabile reale . Dacă sunt egale cu mulțimea de numere complexe , unul are o funcție a mai multor variabile complexe . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Este obișnuit să se ia în considerare și funcțiile al căror codomeniu este un produs de mulțimi. De exemplu, diviziunea euclidiană mapează fiecare pereche ( a , b ) de numere întregi cu b ≠ 0 la o pereche de numere întregi numite coeficient și restul :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Diviziune euclidiană}}\colon \quad \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})&\to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\(a,b)&\mapsto (\operatorname {quotient} (a,b),\operatorname {restul} (a,b)).\end{aliniat}}}$

Codomeniul poate fi, de asemenea, un spațiu vectorial . În acest caz, se vorbește despre o funcție cu valoare vectorială . Dacă domeniul este conținut într-un spațiu euclidian sau, mai general, într-o varietate , o funcție cu valori vectoriale este adesea numită câmp vectorial .

În calcul

Ideea de funcție, începând din secolul al XVII-lea, a fost fundamentală pentru noul calcul infinitezimal . La acel moment, au fost luate în considerare numai funcțiile cu valori reale ale unei variabile reale și se presupunea că toate funcțiile sunt netede . Dar definiția a fost în curând extinsă la funcțiile mai multor variabile și la funcțiile unei variabile complexe . În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, a fost introdusă definiția riguroasă din punct de vedere matematic a unei funcții și au fost definite funcții cu domenii și codomenii arbitrare.

Funcțiile sunt acum utilizate în toate domeniile matematicii. În calculul introductiv , când cuvântul funcție este folosit fără calificare, înseamnă o funcție cu valoare reală a unei singure variabile reale. Definiția mai generală a unei funcții este de obicei introdusă studenților din anul II sau al treilea cu specializări STEM , iar în ultimul an sunt introduși în calcul într-un cadru mai larg și mai riguros în cursuri, cum ar fi analiza reală și analiza complexă .

Funcție reală

Graficul unei funcții liniare

Graficul unei funcții polinomiale, aici o funcție pătratică.

Graficul a două funcții trigonometrice: sinus și cosinus .

O funcție reală este o funcție cu valoare reală a unei variabile reale , adică o funcție al cărei codomeniu este câmpul numerelor reale și al cărei domeniu este un set de numere reale care conține un interval . În această secțiune, aceste funcții sunt numite pur și simplu funcții .

Funcțiile care sunt cel mai frecvent considerate în matematică și în aplicațiile sale au o anumită regularitate, adică sunt continue , diferențiabile și chiar analitice . Această regularitate asigură că aceste funcții pot fi vizualizate prin graficele lor . În această secțiune, toate funcțiile sunt diferențiabile într-un anumit interval.

Funcțiile beneficiază de operații punctuale , adică dacă f și g sunt funcții, suma, diferența și produsul lor sunt funcții definite de

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(fg)(x)&=f(x)-g(x)\\( f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aliniat}}.}$

Domeniile funcțiilor rezultate sunt intersecția domeniilor lui f și g . Coeficientul a două funcții este definit în mod similar prin

${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$

dar domeniul funcției rezultate se obține prin eliminarea zerourilor lui g din intersecția domeniilor lui f și g .

Funcțiile polinomiale sunt definite de polinoame , iar domeniul lor este întregul set de numere reale. Acestea includ funcții constante , funcții liniare și funcții pătratice . Funcțiile raționale sunt câte a două funcții polinomiale, iar domeniul lor este numerele reale cu un număr finit dintre ele eliminat pentru a evita împărțirea la zero . Cea mai simplă funcție rațională este funcția al cărei grafic este o hiperbolă și al cărei domeniu este întreaga linie reală, cu excepția lui 0. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

Derivata unei funcții diferențiabile reale este o funcție reală . O antiderivată a unei funcții reale continue este o funcție reală care are funcția inițială ca derivată. De exemplu, funcția este continuă și chiar diferențiabilă pe numerele reale pozitive. Astfel, o antiderivată, care ia valoarea zero pentru x = 1 , este o funcție diferențiabilă numită logaritm natural . ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

O funcție reală f este monotonă într-un interval dacă semnul lui nu depinde de alegerea lui x și y în interval. Dacă funcția este diferențiabilă în interval, este monotonă dacă semnul derivatei este constant în interval. Dacă o funcţie reală f este monotonă într-un interval I , ea are o funcţie inversă , care este o funcţie reală cu domeniul f ( I ) şi imaginea I. Așa se definesc funcțiile trigonometrice inverse în termeni de funcții trigonometrice , unde funcțiile trigonometrice sunt monotone. Un alt exemplu: logaritmul natural este monoton asupra numerelor reale pozitive, iar imaginea lui este întreaga linie reală; prin urmare are o funcție inversă care este o bijecție între numerele reale și numerele reale pozitive. Această inversă este funcția exponențială . ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{xy}}}$

Multe alte funcții reale sunt definite fie prin teorema funcției implicite (funcția inversă este o instanță particulară), fie ca soluții ale ecuațiilor diferențiale . De exemplu, funcțiile sinus și cosinus sunt soluțiile ecuației diferențiale liniare

${\displaystyle y''+y=0}$

astfel încât

${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \ cos x}{\partial x}}(0)=0.}$

Funcție cu valoare vectorială

Când elementele codomeniului unei funcții sunt vectori , se spune că funcția este o funcție cu valoare vectorială. Aceste funcții sunt deosebit de utile în aplicații, de exemplu modelarea proprietăților fizice. De exemplu, funcția care asociază fiecărui punct al unui fluid vectorul său viteză este o funcție cu valoare vectorială.

Unele funcții cu valori vectoriale sunt definite pe un subset de sau alte spații care împărtășesc proprietăți geometrice sau topologice ale , cum ar fi varietățile . Aceste funcții cu valori vectoriale primesc numele câmpurilor vectoriale . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Spațiu funcțional

În analiza matematică , și mai precis în analiza funcțională , un spațiu funcțional este un set de funcții cu valori scalare sau vectoriale , care împărtășesc o proprietate specifică și formează un spațiu vectorial topologic . De exemplu, funcțiile netede reale cu un suport compact (adică sunt zero în afara unei mulțimi compacte ) formează un spațiu funcțional care stă la baza teoriei distribuțiilor .

Spațiile funcționale joacă un rol fundamental în analiza matematică avansată, permițând utilizarea proprietăților lor algebrice și topologice pentru studiul proprietăților funcțiilor. De exemplu, toate teoremele de existență și unicitate ale soluțiilor ecuațiilor cu diferențe parțiale sau ordinare rezultă din studiul spațiilor funcționale.

Funcții cu mai multe valori

Împreună, cele două rădăcini pătrate ale tuturor numerelor reale nenegative formează o singură curbă netedă.

Mai multe metode de specificare a funcțiilor variabilelor reale sau complexe pornesc de la o definiție locală a funcției într-un punct sau pe o vecinătate a unui punct și apoi extind prin continuitate funcția la un domeniu mult mai mare. Frecvent, pentru un punct de pornire există mai multe valori de pornire posibile pentru funcție. ${\displaystyle x_{0},}$

De exemplu, în definirea rădăcinii pătrate ca funcție inversă a funcției pătrate, pentru orice număr real pozitiv există două opțiuni pentru valoarea rădăcinii pătrate, dintre care una este pozitivă și notă și alta care este negativă și notă Aceste opțiuni definiți două funcții continue, ambele având numerele reale nenegative ca domeniu și având numerele reale nenegative sau nepozitive ca imagini. Privind graficele acestor funcții, se poate observa că, împreună, formează o singură curbă netedă . Prin urmare, este adesea util să se considere aceste două funcții rădăcină pătrată ca o singură funcție care are două valori pentru x pozitiv, o valoare pentru 0 și nicio valoare pentru x negativ . ${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$

În exemplul precedent, o alegere, rădăcina pătrată pozitivă, este mai naturală decât cealaltă. Nu este cazul în general. De exemplu, să luăm în considerare funcția implicită care mapează y la o rădăcină x a lui (vezi figura din dreapta). Pentru y = 0 se poate alege fie pentru x . Prin teorema implicită a funcției , fiecare alegere definește o funcție; pentru primul, domeniul (maximal) este intervalul [−2, 2] iar imaginea este [−1, 1] ; pentru al doilea, domeniul este [−2, ∞) iar imaginea este [1, ∞) ; pentru ultimul, domeniul este (−∞, 2] iar imaginea este (−∞, −1] . Deoarece cele trei grafice împreună formează o curbă netedă și nu există niciun motiv pentru a prefera o alegere, aceste trei funcții sunt adesea considerată ca o singură funcție multivalorică a lui y care are trei valori pentru −2 < y < 2 și o singură valoare pentru y ≤ −2 și y ≥ −2 . ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ sau }}-{\sqrt {3}}}$

Utilitatea conceptului de funcții cu mai multe valori este mai clară atunci când se consideră funcții complexe, de obicei funcții analitice . Domeniul la care o funcție complexă poate fi extinsă prin continuarea analitică constă în general din aproape întregul plan complex . Cu toate acestea, atunci când extindeți domeniul prin două căi diferite, una primește adesea valori diferite. De exemplu, la extinderea domeniului funcției rădăcină pătrată, de-a lungul unui drum de numere complexe cu părți imaginare pozitive, se obține i pentru rădăcina pătrată a lui -1; în timp ce, când se extinde prin numere complexe cu părți imaginare negative, se obține − i . În general, există două moduri de a rezolva problema. Se poate defini o funcție care nu este continuă de-a lungul unei curbe, numită tăietură de ramură . O astfel de funcție se numește valoarea principală a funcției. Cealaltă modalitate este de a considera că cineva are o funcție cu mai multe valori , care este analitică peste tot, cu excepția singularităților izolate, dar a cărei valoare poate „sări” dacă urmează o buclă închisă în jurul unei singularități. Acest salt se numește monodromie .

În bazele matematicii și teoriei mulțimilor

Definiția unei funcții care este dată în acest articol necesită conceptul de mulțime , deoarece domeniul și codomeniul unei funcții trebuie să fie o mulțime. Aceasta nu este o problemă în matematica obișnuită, deoarece în general nu este dificil să luăm în considerare doar funcțiile al căror domeniu și codomeniu sunt mulțimi, care sunt bine definite, chiar dacă domeniul nu este definit în mod explicit. Cu toate acestea, uneori este util să luăm în considerare funcții mai generale.

De exemplu, multimea singleton poate fi considerata ca o functie. Domeniul sau ar include toate multimile si, prin urmare, nu ar fi o multime. În matematica obișnuită, se evită acest tip de problemă prin specificarea unui domeniu, ceea ce înseamnă că există multe funcții singleton. Cu toate acestea, atunci când se stabilesc bazele matematicii, poate fi necesar să se utilizeze funcții al căror domeniu, codomeniu sau ambele nu sunt specificate, iar unii autori, adesea logicieni, dau o definiție precisă pentru aceste funcții slab specificate. ${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

Aceste funcții generalizate pot fi critice în dezvoltarea unei formalizări a fundamentelor matematicii . De exemplu, teoria mulțimilor Von Neumann–Bernays–Gödel este o extensie a teoriei mulțimilor în care colecția tuturor mulțimilor este o clasă . Această teorie include axioma de înlocuire , care poate fi afirmată astfel: Dacă X este o mulțime și F este o funcție, atunci F [ X ] este o mulțime.

În informatică

În programarea calculatorului , o funcție este, în general, o bucată dintr-un program de calculator , care implementează conceptul abstract de funcție. Adică, este o unitate de program care produce o ieșire pentru fiecare intrare. Cu toate acestea, în multe limbaje de programare , fiecare subrutină este numită funcție, chiar și atunci când nu există ieșire, și când funcționalitatea constă pur și simplu în modificarea unor date din memoria computerului .

Programarea funcțională este paradigma de programare constând în construirea de programe folosind doar subrutine care se comportă ca funcții matematice. De exemplu, if_then_elseeste o funcție care ia trei funcții drept argumente și, în funcție de rezultatul primei funcție ( adevărat sau fals ), returnează rezultatul celei de-a doua sau celei de-a treia funcție. Un avantaj important al programării funcționale este că facilitează demonstrarea programelor , deoarece se bazează pe o teorie bine fundamentată, calculul lambda (vezi mai jos).

Cu excepția terminologiei în limbaj informatic, „funcție” are sensul matematic obișnuit în informatică . În acest domeniu, o proprietate de interes major este calculabilitatea unei funcții. Pentru a da un sens precis acestui concept, și conceptului aferent de algoritm , au fost introduse mai multe modele de calcul , cele vechi fiind funcții recursive generale , calculul lambda și mașina de Turing . Teorema fundamentală a teoriei computabilității este că aceste trei modele de calcul definesc același set de funcții calculabile și că toate celelalte modele de calcul care au fost propuse vreodată definesc același set de funcții calculabile sau unul mai mic. Teza Church -Turing este afirmația că fiecare definiție acceptabilă din punct de vedere filozofic a unei funcții computabile definește și aceleași funcții.

Funcțiile recursive generale sunt funcții parțiale de la numere întregi la numere întregi care pot fi definite din

• funcții constante ,
• succesor și
• funcții de proiecție

prin intermediul operatorilor

• compozitie ,
• recursiunea primitivă și
• minimizarea .

Deși sunt definite numai pentru funcții de la numere întregi la numere întregi, ele pot modela orice funcție calculabilă ca urmare a următoarelor proprietăți:

• un calcul este manipularea unor secvențe finite de simboluri (cifre de numere, formule, ...),
• fiecare secvență de simboluri poate fi codificată ca o secvență de biți ,
• o secvență de biți poate fi interpretată ca reprezentare binară a unui număr întreg.

Calculul lambda este o teorie care definește funcții calculabile fără a utiliza teoria mulțimilor și reprezintă fundalul teoretic al programării funcționale. Constă din termeni care sunt fie variabile, definiții de funcții ( 𝜆 -termeni), fie aplicații ale funcțiilor la termeni. Termenii sunt manipulați prin intermediul unor reguli ( echivalența α , reducerea β și conversia η ), care sunt axiomele teoriei și pot fi interpretate ca reguli de calcul.

În forma sa originală, calculul lambda nu include conceptele de domeniu și codomeniu ale unei funcții. În linii mari, acestea au fost introduse în teorie sub denumirea de tip în calculul lambda tipizat . Cele mai multe tipuri de calcule lambda tipizate pot defini mai puține funcții decât calculul lambda netipizat.

Vezi si

Subpagini

Generalizări

subiecte asemănătoare

Note

Referințe

Surse

• Bartle, Robert (1976). Elementele de analiză reală (ed. a II-a). Wiley. ISBN 978-0-471-05465-8. OCLC  465115030 .
• Bloch, Ethan D. (2011). Dovezi și elemente fundamentale: un prim curs de matematică abstractă . Springer. ISBN 978-1-4419-7126-5.
• Cunningham, Daniel W. (2016). Teoria multimilor: Un prim curs . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12032-7.
• Gödel, Kurt (1940). Consistența ipotezei continuumului . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.
• Halmos, Paul R. (1970). Teoria multimilor naiva . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003). Teoria multimilor (ed. a III-a). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7.
• Spivak, Michael (2008). Calcul (ed. a IV-a). Publică sau pieri. ISBN 978-0-914098-91-1.

Lectură în continuare

• Anton, Howard (1980). Calcul cu geometrie analitică . Wiley . ISBN 978-0-471-03248-9.
• Bartle, Robert G. (1976). Elementele de analiză reală (ed. a II-a). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1.
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). Conceptul de funcție: Aspecte de epistemologie și pedagogie . Asociația de matematică din America. ISBN 978-0-88385-081-7.
• Hammack, Richard (2009). „12. Funcții” (PDF) . Cartea dovezii . Universitatea Virginia Commonwealth . Accesat 2012-08-01 .
• Husch, Lawrence S. (2001). Calcul vizual . Universitatea din Tennessee . Consultat 2007-09-27 .
• Katz, Robert (1964). Analiza axiomatică . DC Heath și Compania .
• Kleiner, Israel (1989). „Evoluția conceptului de funcție: un scurt studiu”. Jurnalul de matematică al colegiului . 20 (4): 282–300. CiteSeerX  10.1.1.113.6352 . doi : 10.2307/2686848 . JSTOR  2686848 .
• Lützen, Jesper (2003). „Între rigoare și aplicații: evoluții în conceptul de funcție în analiza matematică” . În Porter, Roy (ed.). Istoria științei din Cambridge: științe fizice și matematice moderne . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57199-9.O prezentare istorică abordabilă și distractivă.
• Malik, MA (1980). „Aspecte istorice și pedagogice ale definiției funcției”. Jurnalul Internațional de Educație Matematică în Știință și Tehnologie . 11 (4): 489–492. doi : 10.1080/0020739800110404 .
• Reichenbach, Hans (1947). Elemente de logică simbolică . Dover. ISBN 0-486-24004-5.
• Ruthing, D. (1984). „Old Intelligencer: Câteva definiții ale conceptului de funcție de la Bernoulli, Joh. la Bourbaki, N.”. Inteligența matematică . 6 (4): 71–78. doi : 10.1007/BF03026743 . S2CID  189883712 .
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995). Calcul și Geometrie Analitică (ed. a 9-a). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-53174-9.

linkuri externe

• „Funcția” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Site-ul Wolfram Functions oferă formule și vizualizări ale multor funcții matematice.
• Biblioteca digitală NIST de funcții matematice