Funcția quadratică - Quadratic function

În algebră , o funcție pătratică , un polinom pătratic , un polinom de grad 2 sau pur și simplu o pătratică , este o funcție polinomială cu una sau mai multe variabile în care termenul de cel mai înalt grad este de gradul al doilea.

Un polinom pătratic cu două rădăcini reale (încrucișări ale axei x ) și, prin urmare, fără rădăcini complexe . Unele alte polinoame pătratice au minimul lor deasupra axei x , caz în care nu există rădăcini reale și două rădăcini complexe.

De exemplu, o funcție pătratică univariantă (cu o singură variabilă) are forma

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c, \ quad a \ neq 0}

în variabila unică x . Graficul unei funcții pătratice univariat este o parabolă a cărei axă de simetrie este paralelă cu $y$ -axis, așa cum se arată în dreapta.

Dacă funcția pătratică este setată egală cu zero, atunci rezultatul este o ecuație pătratică . Soluțiile la ecuația univariată se numesc rădăcinile funcției univariate.

Cazul bivariat în termeni de variabile x și y are forma

{\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cxy + dx + ey + f \, \!}

cu cel puțin unul dintre a, b, c nu este egal cu zero și o ecuație care setează această funcție egală cu zero dă naștere unei secțiuni conice (un cerc sau altă elipsă , o parabolă sau o hiperbolă ).

O funcție pătratică în trei variabile x , y și z conține exclusiv termeni x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z și o constantă:

{\ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}

cu cel puțin unul dintre coeficienții a, b, c, d, e sau f ai termenilor de gradul doi fiind diferiți de zero.

În general, poate exista un număr arbitrar de mare de variabile, caz în care suprafața rezultată a setării unei funcții pătratice la zero se numește cvadric , dar termenul cel mai înalt grad trebuie să fie de grad 2, cum ar fi x ² , xy , yz , etc.

Etimologie

Adjectivul pătratic provine din cuvântul latin quadrātum („ pătrat ”). Un termen ca $x 2$ se numește pătrat în algebră deoarece este aria unui pătrat cu latura $x$ .

Terminologie

Coeficienți

De coeficienții unui polinom sunt adesea luate pentru a fi reale sau numere complexe , dar , de fapt, un polinom poate fi definit peste orice inel .

Grad

Când se folosește termenul „polinom pătratic”, autorii uneori înseamnă „având gradul exact 2”, iar alteori „având gradul cel mult 2”. Dacă gradul este mai mic de 2, acest lucru poate fi numit „ caz degenerat ”. De obicei, contextul va stabili care dintre cele două este menit.

Uneori, cuvântul „ordine” este folosit cu sensul de „grad”, de exemplu un polinom de ordinul doi.

Variabile

Un polinom pătratic poate implica o singură variabilă x (cazul univariat) sau variabile multiple, cum ar fi x , y și z (cazul multivariat).

Cazul cu o singură variabilă

Orice polinom pătratic variabil poate fi scris ca

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c, \, \!}

unde x este variabila, iar a , b și c reprezintă coeficienții . În algebra elementară , astfel de polinoame apar adesea sub forma unei ecuații pătratice . Soluțiile la această ecuație se numesc rădăcinile polinomului pătratic și pot fi găsite prin factorizare , completarea pătratului , grafic , metoda lui Newton sau prin utilizarea formulei pătratice . Fiecare polinom pătratic are o funcție pătratică asociată, al cărei grafic este o parabolă . ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

Caz bivariat

Orice polinom pătratic cu două variabile poate fi scris ca

{\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cxy + dx + ey + f, \, \!}

unde x și y sunt variabilele și a , b , c , d , e și f sunt coeficienții. Astfel de polinoame sunt fundamentale pentru studiul secțiunilor conice , care se caracterizează prin echivalarea expresiei pentru f ( x , y ) la zero. În mod similar, polinoamele pătratice cu trei sau mai multe variabile corespund suprafețelor cvadrice și hipersuprafețelor . În algebra liniară , polinoamele pătratice pot fi generalizate la noțiunea de formă pătratică pe un spațiu vectorial .

Forme ale unei funcții pătratice univariate

O funcție pătratică univariantă poate fi exprimată în trei formate:

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \, \!}$ se numește forma standard ,
${\ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \, \!}$ se numește forma factorizată , unde $r 1$ și $r 2$ sunt rădăcinile funcției pătratice și soluțiile ecuației pătratice corespunzătoare.
${\ displaystyle f (x) = a (xh) ^ {2} + k \, \!}$ se numește formă de vârf , unde $h$ și $k$ sunt coordonatele $x$ și $y$ ale vârfului, respectiv.

Coeficientul $a$ este aceeași valoare în toate cele trei forme. Pentru a converti formularul standard pentru formă factorizata , unul are nevoie doar pătratică pentru a determina cele două rădăcini $r 1$ și $r 2$ . Pentru a converti formularul standard în formă de vârf , este nevoie de un proces numit completarea pătratului . Pentru a converti forma factorizată (sau forma vârfului) în forma standard, trebuie să multiplicați, să extindeți și / sau să distribuiți factorii.

Grafic al funcției univariate

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} | _ {a = \ {0.1,0.3,1,3 \}} \!}

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = \ {- 1, -2, -3, -4 \}} \!}

Indiferent de format, graficul unei funcții pătratice univariate este o parabolă (așa cum se arată în dreapta). În mod echivalent, acesta este graficul ecuației pătratice bivariate . ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

Dacă $un > 0$ , parabola se deschide în sus.
Dacă $a <0$ , parabola se deschide în jos.

Coeficientul $a$ controlează gradul de curbură al graficului; o magnitudine mai mare a $a$ conferă graficului un aspect mai închis (ascuțit).

Coeficienții $b$ și $a$ controlează împreună locația axei de simetrie a parabolei (de asemenea, coordonata $x$ a vârfului și parametrul h în forma vârfului) care este la

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}.}

Coeficientul $c$ controlează înălțimea parabolei; mai precis, este înălțimea parabolei unde interceptează axa- $y$ .

Vertex

Vârful unei parabole este locul în care se dovedește; prin urmare, este numit și punctul de cotitură . Dacă funcția pătratică este în formă de vârf, vârful este $(h, k)$ . Folosind metoda de completare a pătratului, se poate întoarce formularul standard

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \, \!}

în

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c \\ & = a (xh) ^ {2} + k \\ & = a \ left (x - {\ frac {-b} {2a}} \ right) ^ {2} + \ left (c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ right), \\\ end {align}}}

deci vârful, $(h, k)$ al parabolei în formă standard este

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ right).}

Dacă funcția pătratică este în formă factorizată

{\ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \, \!}

media celor două rădăcini, adică

{\ displaystyle {\ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} \, \!}

este coordonata $x$ a vârfului și, prin urmare, vârful $(h, k)$ este

{\ displaystyle \ left ({\ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}}, f \ left ({\ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} \ right) \dreapta).\!}

Vârful este, de asemenea, punctul maxim dacă $a <0$ sau punctul minim dacă $a > 0$ .

Linia verticală

{\ displaystyle x = h = - {\ frac {b} {2a}}}

care trece prin vârf este, de asemenea, axa de simetrie a parabolei.

Puncte maxime și minime

Folosind calculul , punctul de vârf, fiind maxim sau minim al funcției, poate fi obținut prin găsirea rădăcinilor derivatei :

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \ quad \ Rightarrow \ quad f '(x) = 2ax + b \, \ !.}

$x$ este o rădăcină a lui $f'(x)$ dacă $f' (x) = 0$ rezultând

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}}

cu valoarea funcției corespunzătoare

{\ displaystyle f (x) = a \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + b \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) + c = c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \, \ !,}

deci din nou coordonatele punctului de vârf, $(h, k)$ , pot fi exprimate ca

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} \ right).}

Rădăcinile funcției univariate

Graficul lui

y = ax 2 + bx + c

, unde

a

și discriminantul

b 2 - 4 ac

sunt pozitive, cu

Rădăcini și $y$ -intercept în roșu
Vârful și axa de simetrie în albastru
Focus și directrix în roz

Vizualizarea rădăcinilor complexe ale

y = ax 2 + bx + c

: parabola este rotită cu 180 ° în jurul vârfului său ( portocaliu ). Interceptările sale

x

sunt rotite cu 90 ° în jurul punctului lor mediu, iar planul cartezian este interpretat ca plan complex ( verde ).

Rădăcini exacte

La rădăcini (sau zerouri ), $r 1$ și $r 2$ , a funcției pătratice univariate

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c \\ & = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}), \\\ end {aliniat}}}

sunt valorile lui $x$ pentru care $f (x) = 0$ .

Când coeficienții $a$ , $b$ și $c$ , sunt reali sau complexi , rădăcinile sunt

{\ displaystyle r_ {1} = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}

{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Limita superioară a mărimii rădăcinilor

Modulul rădăcinilor unei pătratic poate fi mai mare decât în cazul în care este raportul de aur ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ max (| a |, | b |, | c |)} {| a |}} \ times \ phi, \,}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}$

Rădăcina pătrată a unei funcții pătratice univariate

Rădăcina pătrată a unei funcții pătratice univariată dă naștere la una dintre cele patru secțiuni conice, aproape întotdeauna fie unei elipse sau a unui hiperbolă .

Dacă atunci ecuația descrie o hiperbolă, așa cum se poate vedea prin pătrarea ambelor părți. Direcțiile axelor hiperbola sunt determinate de ordonata a minim punct al parabolei corespunzător . Dacă ordonata este negativă, atunci axa majoră a hiperbolei (prin vârfurile sale) este orizontală, în timp ce dacă ordonata este pozitivă, atunci axa majoră a hiperbolei este verticală. ${\ displaystyle a> 0 \, \!}$ ${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ ${\ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c \, \!}$

Dacă atunci ecuația descrie fie un cerc, fie altă elipsă sau nimic. Dacă ordonata punctului maxim al parabolei corespunzătoare este pozitivă, atunci rădăcina ei pătrată descrie o elipsă, dar dacă ordonata este negativă atunci descrie un locus gol de puncte. ${\ displaystyle a <0 \, \!}$ ${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ ${\ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c \, \!}$

Repetare

Pentru a itera o funcție , se aplică funcția în mod repetat, folosind ieșirea dintr-o iterație ca intrare în următoarea. ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

Nu se poate deduce întotdeauna forma analitică a , ceea ce înseamnă a n- ^a iterație a . (Superscriptul poate fi extins la numere negative, referindu-se la iterația inversului dacă inversul există.) Dar există câteva cazuri tratabile analitic . ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$

De exemplu, pentru ecuația iterativă

{\ displaystyle f (x) = a (xc) ^ {2} + c}

unul are

{\ displaystyle f (x) = a (xc) ^ {2} + c = h ^ {(- 1)} (g (h (x))), \, \!}

Unde

{\ displaystyle g (x) = ax ^ {2} \, \!}

și

{\ displaystyle h (x) = xc. \, \!}

Deci prin inducție,

{\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = h ^ {(- 1)} (g ^ {(n)} (h (x))) \, \!}

poate fi obținut, unde poate fi calculat cu ușurință ca ${\ displaystyle g ^ {(n)} (x)}$

{\ displaystyle g ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}. \, \!}

În cele din urmă, avem

{\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (xc) ^ {2 ^ {n}} + c \, \!}

ca soluție.

Vezi conjugarea topologică pentru mai multe detalii despre relația dintre f și g . Și vezi polinomul pătratic complex pentru comportamentul haotic în iterația generală.

Logistică Harta

{\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), \ quad 0 \ leq x_ {0} <1}

cu parametrul 2 < r <4 poate fi rezolvat în anumite cazuri, dintre care unul este haotic și unul nu. În cazul haotic r = 4 soluția este

{\ displaystyle x_ {n} = \ sin ^ {2} (2 ^ {n} \ theta \ pi)}

unde parametrul condiției inițiale este dat de . Pentru rațional , după un număr finit de iterații se mapează într-o secvență periodică. Dar aproape toate sunt iraționale și, pentru irațional , nu se repetă niciodată - nu este periodic și prezintă o dependență sensibilă de condițiile inițiale , deci se spune că este haotic. ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {\ pi}} \ sin ^ {- 1} (x_ {0} ^ {1/2})}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$

Soluția hărții logistice atunci când r = 2 este

${\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$

pentru . Deoarece pentru orice valoare diferită de punctul fix 0 instabil, termenul merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit, deci merge la punctul fix stabil ${\ displaystyle x_ {0} \ in [0,1)}$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) \ in (-1,1)}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}.}$

Funcție pătratică bivariantă (două variabile)

O funcție pătratică bivariantă este un polinom de gradul doi al formei

{\ displaystyle f (x, y) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cx + Dy + Exy + F \, \!}

unde A, B, C, D și E sunt coeficienți fixi și F este termenul constant. O astfel de funcție descrie o suprafață pătratică . Setarea egală cu zero descrie intersecția suprafeței cu planul , care este un locus de puncte echivalent cu o secțiune conică . ${\ displaystyle f (x, y) \, \!}$ ${\ displaystyle z = 0 \, \!}$

Minim / maxim

Dacă funcția nu are maxim sau minim; graficul său formează un paraboloid hiperbolic . ${\ displaystyle 4AB-E ^ {2} <0 \,}$

Dacă funcția are un minim dacă A > 0 și un maxim dacă A <0; graficul său formează un paraboloid eliptic. În acest caz, minimul sau maximul se produc în cazul în care: ${\ displaystyle 4AB-E ^ {2}> 0 \,}$ ${\ displaystyle (x_ {m}, y_ {m}) \,}$

{\ displaystyle x_ {m} = - {\ frac {2BC-DE} {4AB-E ^ {2}}},}

{\ displaystyle y_ {m} = - {\ frac {2AD-CE} {4AB-E ^ {2}}}.}

Dacă și funcția nu are maxim sau minim; graficul său formează un cilindru parabolic . ${\ displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 \,}$ ${\ displaystyle DE-2CB = 2AD-CE \ neq 0 \,}$

Dacă și funcția atinge maximul / minimul pe o linie - un minim dacă A > 0 și un maxim dacă A <0; graficul său formează un cilindru parabolic. ${\ displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 \,}$ ${\ displaystyle DE-2CB = 2AD-CE = 0 \,}$

Languages

In other projects