Degenerare (matematică) - Degeneracy (mathematics)

În matematică , un caz degenerat este un caz limitativ al unei clase de obiecte care pare să fie calitativ diferit de (și de obicei mai simplu decât) restul clasei, iar termenul de degenerare este condiția de a fi un caz degenerat.

Definițiile multor clase de obiecte compuse sau structurate includ deseori implicit inegalități. De exemplu, unghiurile și lungimile laterale ale unui triunghi ar trebui să fie pozitive. Cazurile limitative, în care una sau mai multe dintre aceste inegalități devin egalități, sunt degenerări. În cazul triunghiurilor, unul are un triunghi degenerat dacă cel puțin o lungime de latură sau unghi este zero (echiv., Devine un „segment de linie”).

Adesea, cazurile degenerate sunt cazurile excepționale în care apar modificări la dimensiunea obișnuită sau cardinalitatea obiectului (sau a unei părți a acestuia). De exemplu, un triunghi este un obiect de dimensiunea doi, iar un triunghi degenerat este conținut într-o linie , ceea ce face ca dimensiunea sa să fie una. Acest lucru este similar cu cazul unui cerc, a cărui dimensiune se micșorează de la două la zero pe măsură ce degenerează într-un punct. Ca un alt exemplu, setul de soluții al unui sistem de ecuații care depinde de parametri are în general o cardinalitate și o dimensiune fixe, dar cardinalitatea și / sau dimensiunea pot fi diferite pentru unele valori excepționale, numite cazuri degenerate. Într-un astfel de caz degenerat, se spune că soluția este degenerată.

Pentru unele clase de obiecte compozite, cazurile degenerate depind de proprietățile studiate în mod specific. În special, clasa obiectelor poate fi adesea definită sau caracterizată prin sisteme de ecuații. În majoritatea scenariilor, o anumită clasă de obiecte poate fi definită de mai multe sisteme diferite de ecuații, iar aceste sisteme diferite de ecuații pot duce la diferite cazuri degenerate, caracterizând în același timp aceleași cazuri nedegenerate. Acesta poate fi motivul pentru care nu există o definiție generală a degenerescenței, în ciuda faptului că conceptul este utilizat pe scară largă și definit (dacă este necesar) în fiecare situație specifică.

Un caz degenerat are astfel caracteristici speciale care îl fac non-generic . Cu toate acestea, nu toate cazurile non-generice sunt degenerate. De exemplu, triunghiurile dreptunghiulare , triunghiurile isoscele și triunghiurile echilaterale sunt non-generice și nedegenerate. De fapt, cazurile degenerate corespund adesea singularităților , fie în obiect, fie într-un spațiu de configurație . De exemplu, o secțiune conică este degenerată dacă și numai dacă are puncte singulare (de exemplu, punct, linie, linii care se intersectează).

În geometrie

Secțiune conică

O conică degenerată este o secțiune conică (o curbă plană de gradul doi , definită printr-o ecuație polinomială de gradul doi) care nu reușește să fie o curbă ireductibilă .

Un punct este un cerc degenerat , și anume unul cu raza 0.
Linia este un caz degenerat unei parabole , dacă parabolei se află pe un plan tangent . În geometrie inversă , o linie este un caz degenerat al unui cerc , cu rază infinită.
Două linii paralele formează, de asemenea, o parabolă degenerată.
Un segment de linie poate fi privit ca un caz degenerat al unei elipse în care axa semiminorului merge la zero, focarele merg la punctele finale și excentricitatea merge la unul.
Un cerc poate fi gândit ca o elipsă degenerată, pe măsură ce excentricitatea se apropie de 0.
O elipsă poate degenera, de asemenea, într-un singur punct.
O hiperbolă poate degenera în două linii care se intersectează într-un punct, printr-o familie de hiperbole având acele linii ca asimptote comune .

Triunghi

Cele trei tipuri de triunghiuri degenerate, toate conținând o zonă zero.

Un triunghi degenerat are vârfuri coliniare și zonă zero și, astfel, coincide cu un segment acoperit de două ori (dacă cele trei vârfuri nu sunt toate egale; în caz contrar, triunghiul degenerează într-un singur punct). Dacă cele trei vârfuri sunt perechi distincte, are două unghiuri de 0 ° și un unghi de 180 °. Dacă două vârfuri sunt egale, are un unghi de 0 ° și două unghiuri nedefinite.

Dreptunghi

Un segment de linie este un caz degenerat al unui dreptunghi care are o latură de lungime 0.
Pentru orice subset ne-gol , există un dreptunghi degenerat delimitat, axat ${\ displaystyle S \ subseteq \ {1,2, \ ldots, n \}}$
${\ displaystyle R \ triangleq \ left \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x_ {i} = c_ {i} \ ({\ text {for}} i \ în S) {\ text {and}} a_ {i} \ leq x_ {i} \ leq b_ {i} \ ({\ text {for}} i \ notin S) \ right \}}$
unde și $a$ $i$ , $b$ $i$ , $c$ $i$ sunt constante (cu $a$ $i$ $\leq$ $b$ $i$ pentru tot $i$ ). Numărul de laturi degenerate ale $R$ este numărul de elemente ale submulțimea $S$ . Astfel, pot exista atât de puține ca o „parte” degenerată sau cât mai multe ca $n$ (caz în care $R se$ reduce la un punct unic). ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ triangleq \ left [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right]}$

Poligon convex

Un poligon convex este degenerat dacă cel puțin două laturi consecutive coincid cel puțin parțial sau cel puțin o parte are o lungime zero sau cel puțin un unghi este de 180 °. Astfel un poligon convex degenerat de n laturi arată ca un poligon cu mai puține laturi. În cazul triunghiurilor, această definiție coincide cu cea care a fost dată mai sus.

Poliedru convex

Un poliedru convex este degenerat dacă fie două fațete adiacente sunt coplanare, fie două margini sunt aliniate. În cazul unui tetraedru , acest lucru este echivalent cu a spune că toate vârfurile sale se află în același plan , dându-i un volum zero.

Torus standard

În contextele în care auto-intersecția este permisă, o sferă este un tor standard degenerat în care axa de revoluție trece prin centrul cercului generator, mai degrabă decât în afara acestuia.
Un tor degenerează într-un cerc când raza sa minoră merge la 0.

Sferă

Când raza unei sfere merge la zero, sfera degenerată rezultată de volum zero este un punct .

Alte

A se vedea poziția generală pentru alte exemple.

În altă parte

Un set care conține un singur punct este un continuum degenerat .
Obiecte precum digonul și monogonul pot fi privite ca cazuri degenerate de poligoane : valabile într-un sens matematic general abstract, dar nu fac parte din concepția euclidiană originală despre poligoane.
O variabilă aleatorie care poate lua o singură valoare are o distribuție degenerată ; dacă această valoare este numărul real 0, atunci densitatea sa de probabilitate este funcția delta Dirac .
Se spune că rădăcinile unui polinom sunt degenerate dacă coincid, întrucât în mod generic n rădăcinile unui polinom de gradul N sunt toate distincte. Această utilizare se transmite la problemele proprii : o valoare proprie degenerată (adică o rădăcină multiplă care coincide a polinomului caracteristic ) este una care are mai mult de un vector propriu liniar independent .
În mecanica cuantică , orice astfel de multiplicitate în valorile proprii ale operatorului hamiltonian dă naștere la niveluri de energie degenerate . De obicei, o astfel de degenerare indică o simetrie subiacentă în sistem.

Vezi si

Referințe

^ ^a ^b "Glosarul definitiv al jargonului matematic superior - caz degenerat" . Math Vault . 01.08.2019 . Adus 29.11.2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Weisstein, Eric W. „Degenerat” . mathworld.wolfram.com . Adus 29.11.2019 .
^ "Definiția DEGENERACIEI" . www.merriam-webster.com . Adus 29.11.2019 .
^ ^a ^b ^c "Mathwords: Degenerate" . www.mathwords.com . Adus 29.11.2019 .
^ "Mathwords: secțiuni conice degenerate" . www.mathwords.com . Adus 29.11.2019 .

[:0-1] "Glosarul definitiv al jargonului matematic superior - caz degenerat" . Math Vault . 01.08.2019 . Adus 29.11.2019 .

[:1-2] Weisstein, Eric W. „Degenerat” . mathworld.wolfram.com . Adus 29.11.2019 .

[3] "Definiția DEGENERACIEI" . www.merriam-webster.com . Adus 29.11.2019 .

[:2-4] "Mathwords: Degenerate" . www.mathwords.com . Adus 29.11.2019 .

[5] "Mathwords: secțiuni conice degenerate" . www.mathwords.com . Adus 29.11.2019 .

Languages

In other projects