Paralel (geometrie) - Parallel (geometry)

Desen de linie și curbe paralele.

În geometrie , liniile paralele sunt linii într-un punct care nu se întâlnesc; adică două linii drepte într-un plan care nu se intersectează în niciun punct se spune că sunt paralele. În mod colocvial, se spune că curbele care nu se ating sau se intersectează și păstrează o distanță minimă fixă sunt paralele. Se spune, de asemenea, că o linie și un plan, sau două planuri, în spațiul euclidian tridimensional, care nu împărtășesc un punct, sunt paralele. Cu toate acestea, două linii din spațiul tridimensional care nu se întâlnesc trebuie să fie într-un plan comun pentru a fi considerate paralele; în caz contrar se numesc linii înclinate . Planurile paralele sunt planuri din același spațiu tridimensional care nu se întâlnesc niciodată.

Liniile paralele fac obiectul Euclid lui postulat paralel . Paralelismul este în primul rând o proprietate a geometriilor afine, iar geometria euclidiană este un exemplu special al acestui tip de geometrie. În unele alte geometrii, cum ar fi geometria hiperbolică , liniile pot avea proprietăți analoge care sunt denumite paralelism.

Simbol

Simbolul paralel este . De exemplu, indică faptul că linia AB este paralelă cu linia CD . ${\ displaystyle \ parallel}$ ${\ displaystyle AB \ parallel CD}$

În Unicode setul caracterului, "paralel" și "nu paralel" semne au puncte de cod U + 2225 (∥) și U + 2226 (∦), respectiv. În plus, U + 22D5 (⋕) reprezintă relația „egală și paralelă cu”.

Același simbol este utilizat pentru o funcție binară în electrotehnică ( operatorul paralel ). Este distinct de parantezele cu linie dublă-verticală care indică o normă , precum și de logica sau operatorul ( ||) în mai multe limbaje de programare.

Paralelismul euclidian

Două linii într-un plan

Condiții pentru paralelism

După cum se arată prin semnele de bifare, liniile a și b sunt paralele. Acest lucru poate fi dovedit deoarece t transversal produce unghiuri corespunzătoare congruente , prezentate aici atât în dreapta transversalei, unul deasupra și adiacent liniei a, cât și celălalt deasupra și adiacent liniei b .

{\ displaystyle \ theta}

Având în vedere liniile drepte paralele l și m în spațiul euclidian , următoarele proprietăți sunt echivalente:

Fiecare punct de pe linia m este situat exact la aceeași distanță (minimă) de linia l ( linii echidistante ).
Linia m se află în același plan cu linia l, dar nu se intersectează l (reamintim că liniile se extind până la infinit în ambele direcții).
Când liniile m și l sunt intersectate de o a treia linie dreaptă (o transversală ) în același plan, unghiurile corespunzătoare de intersecție cu transversala sunt congruente .

Deoarece acestea sunt proprietăți echivalente, oricare dintre ele ar putea fi luată ca definiție a liniilor paralele în spațiul euclidian, dar prima și a treia proprietate implică măsurarea și, prin urmare, sunt „mai complicate” decât a doua. Astfel, a doua proprietate este cea de obicei aleasă ca proprietate definitorie a liniilor paralele în geometria euclidiană. Celelalte proprietăți sunt apoi consecințe ale Postulatului paralel al lui Euclid . O altă proprietate care implică și măsurarea este că liniile paralele între ele au același gradient (panta).

Istorie

Definiția liniilor paralele ca o pereche de linii drepte într-un plan care nu se întâlnesc apare ca Definiția 23 în Cartea I a Elementelor lui Euclid . Definiții alternative au fost discutate de alți greci, adesea ca parte a unei încercări de a demonstra postulatul paralel . Proclus atribuie o definiție a liniilor paralele ca linii echidistante lui Posidonius și îl citează pe Geminus într-o venă similară. Simplicius menționează, de asemenea, definiția lui Posidonius, precum și modificarea acesteia de către filosoful Aganis.

La sfârșitul secolului al XIX-lea, în Anglia, Elementele lui Euclid erau încă manualul standard în școlile secundare. Tratamentul tradițional al geometriei a fost presat să se schimbe prin noile dezvoltări în geometria proiectivă și geometria non-euclidiană , astfel încât au fost scrise mai multe manuale noi pentru predarea geometriei în acest moment. O diferență majoră între aceste texte de reformă, atât între ele, cât și între ele și Euclid, este tratarea liniilor paralele. Aceste texte de reformă nu au fost lipsite de critici și unul dintre ei, Charles Dodgson (alias Lewis Carroll ), a scris o piesă de teatru, Euclid și rivalii săi moderni , în care aceste texte sunt jefuite.

Unul dintre manualele de reformă timpurii a fost Geometria elementară a lui James Maurice Wilson din 1868. Wilson și-a bazat definiția liniilor paralele pe noțiunea primitivă de direcție . Potrivit lui Wilhelm Killing , ideea poate fi urmărită până la Leibniz . Wilson, fără a defini direcția, deoarece este o primitivă, folosește termenul în alte definiții, cum ar fi a șasea definiție, „Două linii drepte care se întâlnesc între ele au direcții diferite, iar diferența direcțiilor lor este unghiul dintre ele”. Wilson (1868 , p. 2) În definiția 15 introduce în acest fel linii paralele; „Liniile drepte care au aceeași direcție , dar nu sunt părți ale aceleiași drepte, se numesc linii paralele .” Wilson (1868 , p. 12) Augustus De Morgan a revizuit acest text și l-a declarat un eșec, în primul rând pe baza acestei definiții și a modului în care Wilson l-a folosit pentru a demonstra lucrurile despre liniile paralele. Dodgson dedică, de asemenea, o mare parte a piesei sale (Actul II, scena VI § 1) denunțării tratamentului de către Wilson al paralelelor. Wilson a editat acest concept din ediția a treia și superioară a textului său.

Alte proprietăți, propuse de alți reformatori, folosite ca înlocuitoare pentru definirea liniilor paralele, nu s-au descurcat mult mai bine. Principala dificultate, așa cum a subliniat Dodgson, a fost aceea că utilizarea acestora în acest mod necesită adăugarea de axiome suplimentare la sistem. Definiția liniei echidistante a lui Posidonius, expusă de Francis Cuthbertson în textul său din 1874 Geometria euclidiană suferă de problema că punctele care se găsesc la o distanță dată fixă pe o parte a unei linii drepte trebuie să fie arătate pentru a forma o linie dreaptă. Acest lucru nu poate fi dovedit și trebuie presupus că este adevărat. Unghiurile corespunzătoare formate dintr-o proprietate transversală, folosită de WD Cooley în textul său din 1860, Elementele geometriei, simplificate și explicate necesită o dovadă a faptului că, dacă o transversală întâlnește o pereche de linii în unghiuri corespunzătoare, atunci toate transversalele trebuie să facă asa de. Din nou, este necesară o nouă axiomă pentru a justifica această afirmație.

Constructie

Cele trei proprietăți de mai sus conduc la trei metode diferite de construcție a liniilor paralele.

Problema: Trageți o linie printr- o paralelă cu l .

Proprietatea 1: Linia m are peste tot aceeași distanță de linia l .
Proprietatea 2: Luați o linie aleatorie printr- o care intersectează l în x . Mutați punctul x la infinit.
Proprietatea 3: Atât l cât și m au o linie transversală printr- o care le intersectează la 90 °.

Distanța dintre două linii paralele

Deoarece liniile paralele într-un plan euclidian sunt echidistante, există o distanță unică între cele două linii paralele. Având în vedere ecuațiile a două linii paralele ne verticale, neorizontale,

{\ displaystyle y = mx + b_ {1} \,}

{\ displaystyle y = mx + b_ {2} \ ,,}

distanța dintre cele două linii poate fi găsită prin localizarea a două puncte (unul pe fiecare linie) care se află pe o perpendiculară comună pe liniile paralele și calcularea distanței dintre ele. Întrucât liniile au panta m , o perpendiculară comună ar avea panta −1 / m și putem lua linia cu ecuația y = - x / m ca perpendiculară comună. Rezolvați sistemele liniare

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {1} \\ y = -x / m \ end {cases}}}

și

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {2} \\ y = -x / m \ end {cases}}}

pentru a obține coordonatele punctelor. Soluțiile la sistemele liniare sunt punctele

{\ displaystyle \ left (x_ {1}, y_ {1} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) \,}

și

{\ displaystyle \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {2}} {m ^ {2} +1}} \ dreapta).}

Aceste formule dau în continuare coordonatele punctului corecte chiar dacă liniile paralele sunt orizontale (adică, m = 0). Distanța dintre puncte este

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ left (x_ {2} -x_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {2} -y_ {1} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2}}} \ ,,}

care se reduce la

{\ displaystyle d = {\ frac {| b_ {2} -b_ {1} |} {\ sqrt {m ^ {2} +1}}} \ ,.}

Când liniile sunt date de forma generală a ecuației unei linii (sunt incluse liniile orizontale și verticale):

{\ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 \,}

{\ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, \,}

distanța lor poate fi exprimată ca

{\ displaystyle d = {\ frac {| c_ {2} -c_ {1} |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Două linii în spațiul tridimensional

Două linii din același spațiu tridimensional care nu se intersectează nu trebuie să fie paralele. Numai dacă se află într-un plan comun sunt numite paralele; în caz contrar se numesc linii înclinate .

Două linii distincte l și m în spațiul tridimensional sunt paralele dacă și numai dacă distanța de la un punct P pe linia m până la cel mai apropiat punct de pe linia l este independentă de locația lui P pe linia m . Acest lucru nu este valabil niciodată pentru liniile înclinate.

O linie și un avion

O linie m și un plan q în spațiul tridimensional, linia care nu se află în acel plan, sunt paralele dacă și numai dacă nu se intersectează.

În mod echivalent, ele sunt paralele dacă și numai dacă distanța de la un punct P pe linia m până la cel mai apropiat punct din planul q este independent de locația lui P pe linia m .

Două avioane

Similar cu faptul că liniile paralele trebuie să fie situate în același plan, planurile paralele trebuie să fie situate în același spațiu tridimensional și să nu conțină niciun punct comun.

Două plane distincte q și r sunt paralele dacă și numai dacă distanța de la un punct P în planul q la cel mai apropiat punct din planul r este independentă de locația lui P în planul q . Acest lucru nu va avea loc niciodată dacă cele două planuri nu se află în același spațiu tridimensional.

Extindere la geometrie neeuclidiană

În geometria non-euclidiană , este mai frecvent să vorbim despre geodezie decât liniile (drepte). O geodezică este calea cea mai scurtă dintre două puncte dintr-o geometrie dată. În fizică, aceasta poate fi interpretată ca o cale pe care o urmează o particulă dacă nu i se aplică nicio forță. În geometria non-euclidiană (geometria eliptică sau hiperbolică ) cele trei proprietăți euclidiene menționate mai sus nu sunt echivalente și doar a doua, (Linia m este în același plan ca linia l, dar nu intersectează l) deoarece nu implică măsurători este utilă în geometriile neeuclidiene. În geometria generală, cele trei proprietăți de mai sus dau trei tipuri diferite de curbe, curbe echidistante , geodezice paralele și , respectiv, geodezice care au o perpendiculară comună .

Geometrie hiperbolică

Liniile intersectante , paralele și ultra paralele printr- o în raport cu l în planul hiperbolic. Liniile paralele par să se intersecteze l chiar lângă imaginea. Acesta este doar un artefact al vizualizării. Pe un plan hiperbolic real, liniile se vor apropia unele de altele și se vor „întâlni” la infinit.

În timp ce în geometria euclidiană două geodezii se pot intersecta sau pot fi paralele, în geometria hiperbolică, există trei posibilități. Două geodezii aparținând aceluiași plan pot fi:

se intersectează , dacă se intersectează într-un punct comun din plan,
paralele , dacă nu se intersectează în plan, ci converg la un punct limită comun la infinit ( punct ideal ) sau
ultra paralele , dacă nu au un punct limită comun la infinit.

În literatură geodezica ultra paralelă este adesea numită ne-intersecție . Geodezii care se intersectează la infinit se numesc paralel limitativ .

La fel ca în ilustrația printr-un punct a care nu este pe linia l există două linii paralele limitative , una pentru fiecare direcție punctul ideal al liniei l. Ele separă liniile care intersectează linia l și cele care sunt ultra paralele cu linia l .

Liniile ultra paralele au o singură perpendiculară comună ( teorema ultraparalelă ) și diverg pe ambele părți ale acestei perpendiculare comune.

Geometria sferică sau eliptică

Pe sferă nu există o linie paralelă. Linia a este un cerc mare , echivalentul unei linii drepte în geometrie sferică. Linia c este echidistantă față de linia a, dar nu este un cerc mare. Este o paralelă de latitudine. Linia b este o altă geodezică care intersectează a în două puncte antipodale. Împărtășesc două perpendiculare comune (una arătată în albastru).

În geometria sferică , toate geodezice sunt cercuri mari . Cercurile mari împart sfera în două emisfere egale și toate cercurile mari se intersectează. Astfel, nu există geodezice paralele cu o dată geodezică, întrucât toate geodezice se intersectează. Curbele echidistante de pe sferă se numesc paralele de latitudine analoge liniilor de latitudine de pe un glob. Paralele de latitudine pot fi generate de intersecția sferei cu un plan paralel cu un plan prin centrul sferei.

Varianta reflexivă

Dacă l, m, n sunt trei linii distincte, atunci ${\ displaystyle l \ parallel m \ \ land \ m \ parallel n \ \ implică \ l \ parallel n.}$

În acest caz, paralelismul este o relație tranzitivă . Cu toate acestea, în cazul l = n , liniile suprapuse nu sunt considerate paralele în geometria euclidiană. Relația binară dintre liniile paralele este evident o relație simetrică . Conform principiilor lui Euclid, paralelismul nu este o relație reflexivă și, prin urmare, nu reușește să fie o relație de echivalență . Cu toate acestea, în geometria afină, un creion de linii paralele este luat ca o clasă de echivalență în setul de linii în care paralelismul este o relație de echivalență.

În acest scop, Emil Artin (1957) a adoptat o definiție a paralelismului în care două linii sunt paralele dacă au toate sau niciunul dintre punctele lor comune. Atunci o linie este paralelă cu ea însăși, astfel încât proprietățile reflexive și tranzitive aparțin acestui tip de paralelism, creând o relație de echivalență pe mulțimea de linii. În studiul geometriei incidenței , această variantă de paralelism este utilizată în planul afin .

Vezi si

Note

Referințe

Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (ediția a doua [Facsimil. Publicație originală: Cambridge University Press, 1925] ed.), New York: publicațiile Dover

(3 vol.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Traducerea autorizată a lui Heath plus o cercetare istorică extinsă și comentarii detaliate pe tot parcursul textului.

Richards, Joan L. (1988), Viziuni matematice: urmărirea geometriei în Anglia victoriană , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
Wilson, James Maurice (1868), Geometrie elementară (prima ediție), Londra: Macmillan and Co.
Wylie Jr., CR (1964), Fundamentele geometriei , McGraw – Hill

Lecturi suplimentare

Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: Prezentare, traducere și comentarii , Paris: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

linkuri externe

Construirea unei linii paralele printr-un punct dat cu busolă și drepte

Languages

In other projects