Linii concurente - Concurrent lines

Se spune că liniile dintr-un plan sau spațiu cu dimensiuni superioare sunt concurente dacă se intersectează într-un singur punct . Ele sunt în contrast cu liniile paralele .

Exemple

Triunghiuri

Într-un triunghi , patru tipuri de bază de seturi de linii concurente sunt altitudini , bisectoare , mediane și bisectoare perpendiculare :

  • Altitudinile unui triunghi merg de la fiecare vârf și se întâlnesc cu partea opusă în unghi drept . Punctul în care se întâlnesc cele trei altitudini este ortocentrul .
  • Bisectoarele unghiulare sunt raze care ies din fiecare vârf al triunghiului și care împărțesc unghiul asociat . Toți se întâlnesc la stimulent .
  • Medianele conectează fiecare vârf al unui triunghi la punctul mediu al părții opuse. Cele trei medianele întâlni la centrul de greutate .
  • Bisectoarele perpendiculare sunt linii care ies din punctele medii ale fiecarei laturi ale unui triunghi la unghiuri de 90 de grade. Cele trei bisectoare perpendiculare se întâlnesc la circumcentru .

Și alte seturi de linii asociate cu un triunghi sunt concurente. De exemplu:

  • Orice mediană (care este neapărat o bisectoare a ariei triunghiului ) este concurentă cu alte două bisectoare, fiecare dintre ele fiind paralelă cu o latură.
  • Un cleaver al unui triunghi este un segment de linie care împarte perimetrul triunghiului și are un punct final la mijlocul uneia dintre cele trei laturi. Cele trei cleavers concură la centrul cercului Spieker , care este incircle a triunghiului medial .
  • Un despărțitor al unui triunghi este un segment de linie având un punct final la unul dintre cele trei vârfuri ale triunghiului și împărțind perimetrul. Cele trei despărțitoare concurează la punctul Nagel al triunghiului.
  • Orice linie printr-un triunghi care împarte atât aria triunghiului cât și perimetrul său în jumătate trece prin incinerul triunghiului și fiecare triunghi are una, două sau trei dintre aceste linii. Astfel, dacă sunt trei, aceștia sunt de acord cu stimulentul.
  • Punctul Tarry al unui triunghi este punctul de concurență al liniilor prin vârfurile triunghiului perpendicular pe laturile corespunzătoare ale primului triunghi Brocard al triunghiului .
  • Punctul Schiffler al unui triunghi este punctul de concurență al liniilor Euler ale a patru triunghiuri: triunghiul în cauză și cele trei triunghiuri care împărtășesc fiecare două vârfuri cu el și au incinerul său ca celălalt vârf.
  • Punctele Napoleon și generalizările acestora sunt puncte de concurență. De exemplu, primul punct Napoleon este punctul de concurență a celor trei linii fiecare de la un vârf la centroidul triunghiului echilateral desenat pe exteriorul părții opuse de vârf. O generalizare a acestei noțiuni este punctul Jacobi .
  • Punctul de Longchamps este punctul de concurență al mai multor linii cu linia Euler .
  • Trei linii, fiecare formată prin trasarea unui triunghi echilateral extern pe una dintre laturile unui triunghi dat și conectarea noului vârf la vârful opus al triunghiului original, sunt concurente într-un punct numit primul centru izogonal . În cazul în care triunghiul original nu are un unghi mai mare de 120 °, acest punct este și punctul Fermat .
  • Punctul Apollonios este punctul de concurs de trei linii, fiecare dintre care conectează un punct de tangență a cercului la care triunghiului excircles sunt pe plan intern tangente, la vârful opus al triunghiului.

Cadrilaterale

  • Cei doi bimedieni ai unui patrulater (segmente care unesc punctele medii ale laturilor opuse) și segmentul de linie care unește punctele medii ale diagonalelor sunt concurente și sunt toate împărțite prin punctul de intersecție.
  • Într-un patrulater tangențial , cele patru bisectoare unghiulare coincid în centrul cercului .
  • Alte concurențe ale unui patrulater tangențial sunt date aici .
  • Într-un patrulater ciclic , patru segmente de linie, fiecare perpendiculare pe o parte și trecând prin punctul de mijloc al laturii opuse , sunt concurente. Aceste segmente de linie se numesc malțitudini , care este o abreviere pentru altitudinea punctului mediu. Punctul lor comun se numește anticentru .
  • Un patrulater convex este ex-tangențial dacă și numai dacă există șase bisectoare concomitente: bisectoarele unghiului intern la două unghiuri de vârf opuse, bisectoarele unghiului extern la celelalte două unghiuri de vârf și bisectoarele unghiului extern la unghiurile extensiile laturilor opuse se intersectează.

Hexagone

  • Dacă laturile succesive ale unui hexagon ciclic sunt a , b , c , d , e , f , atunci cele trei diagonale principale coincid într-un singur punct dacă și numai dacă ace = bdf .
  • Dacă un hexagon are o conică inscripționată , atunci prin teorema lui Brianchon diagonalele sale principale sunt concurente (ca în imaginea de mai sus).
  • Liniile concurente apar în dualitatea teoremei hexagonale a lui Pappus .
  • Pentru fiecare parte a unui hexagon ciclic, extindeți laturile adiacente până la intersecția lor, formând un triunghi exterior către partea dată. Apoi segmentele care leagă circumcentrele triunghiurilor opuse sunt concurente.

Poligoane regulate

  • Dacă un poligon regulat are un număr par de laturi, diagonalele care leagă vârfurile opuse sunt concurente în centrul poligonului.

Cercuri

Elipsele

  • Toate bisectoarele de zonă și bisectoarele perimetrale ale unei elipse sunt concomitente la centrul elipsei.

Hiperbolele

  • Într-o hiperbolă sunt concomitente următoarele: (1) un cerc care trece prin focarele hiperbolei și centrat la centrul hiperbolei; (2) oricare dintre liniile care sunt tangente la hiperbolă la vârfuri; și (3) oricare dintre asimptotele hiperbolei.
  • Următoarele sunt, de asemenea, concurente: (1) cercul care este centrat la centrul hiperbolei și care trece prin vârfurile hiperbolei; (2) fie directrix; și (3) oricare dintre asimptote.

Tetraedrele

  • Într-un tetraedru , cele patru mediane și cele trei bimediene sunt concurente într-un punct numit centroid al tetraedrului.
  • Un tetraedru izodinamic este unul în care cevienii care unesc vârfurile cu incinerii fețelor opuse sunt concurente, iar un tetraedru izogonic are cevieni concurenți care unesc vârfurile la punctele de contact ale fețelor opuse cu sfera înscrisă a tetraedrului. .
  • Într-un tetraedru ortocentric cele patru altitudini sunt concurente.

Algebră

Vezi și: Incidență (geometrie) § Concurență

Conform teoremei Rouche-Capelli , un sistem de ecuații este consistent dacă și numai dacă rangul al matricei coeficient este egal cu rangul matricei augmented (matricea de coeficienți augmented cu o coloană de termeni intercept), iar sistemul are o soluție unică dacă și numai dacă acel rang comun este egal cu numărul de variabile. Astfel, cu două variabile, liniile k din plan, asociate cu un set de ecuații k , sunt concurente dacă și numai dacă rangul matricei coeficientului k × 2 și rangul matricei augmentate k × 3 sunt ambele 2. caz doar două dintre ecuațiile k sunt independente , iar punctul de concurență poate fi găsit prin rezolvarea oricăror două ecuații independente reciproc simultan pentru cele două variabile.

Geometrie proiectivă

În geometria proiectivă , în două dimensiuni este concurență duală a coliniarității ; în trei dimensiuni, concurența este dualitatea coplanarității .

Referințe

linkuri externe