Figura înscrisă - Inscribed figure
(Faceți clic aici pentru model rotativ)
În geometrie , o formă plană sau solidă inscripționată este una care este închisă și „se potrivește perfect” în interiorul altei forme geometrice sau a solidului. A spune că „figura F este înscrisă în figura G” înseamnă exact același lucru cu „figura G este circumscrisă în figura F”. Un cerc sau o elipsă înscrisă într-un poligon convex (sau o sferă sau elipsoidă înscrisă într-un poliedru convex ) este tangentă la fiecare parte sau față a figurii exterioare (dar a se vedea Sfera înscrisă pentru variantele semantice). Un poligon înscris într-un cerc, elipsă sau poligon (sau un poliedru înscris într-o sferă, elipsoid sau poliedru) are fiecare vârf pe figura exterioară; dacă figura exterioară este un poligon sau poliedru, trebuie să existe un vârf al poligonului sau poliedrului înscris pe fiecare parte a figurii exterioare. O figură înscrisă nu este neapărat unică în orientare; acest lucru poate fi observat cu ușurință, de exemplu, atunci când figura exterioară dată este un cerc, caz în care o rotație a unei figuri inscripționate dă o altă figură inscrisă care este congruentă cu cea originală.
Exemple familiare de figuri înscrise includ cercuri înscrise în triunghiuri sau poligoane regulate și triunghiuri sau poligoane regulate înscrise în cercuri. Un cerc înscris în orice poligon se numește cercul său , caz în care se spune că poligonul este un poligon tangențial . Se spune că un poligon înscris într-un cerc este un poligon ciclic , iar cercul se spune că este cercul său circumscris sau circumcercul .
Inradius sau raza de umplere a unei figuri exterioare dat este raza cercului inscris sau sfera, dacă acesta există.
Definiția dată mai sus presupune că obiectele în cauză sunt încorporate în spațiul euclidian bidimensional sau tridimensional , dar pot fi ușor generalizate la dimensiuni superioare și alte spații metrice .
Pentru o utilizare alternativă a termenului „inscripționat”, a se vedea problema pătratului înscris , în care un pătrat este considerat a fi înscris într-o altă figură (chiar și neconvexă ) dacă toate cele patru vârfuri ale acesteia se află pe acea figură.
Proprietăți
- Fiecare cerc are un triunghi inscripționat cu oricare trei măsuri de unghi date (însumând bineînțeles la 180 °) și fiecare triunghi poate fi înscris într-un cerc (care se numește cercul său circumscris sau circumcercul).
- Fiecare triunghi are un cerc inscripționat, numit cerc .
- Fiecare cerc are un poligon regulat inscripționat de n laturi, pentru orice n ≥3 și fiecare poligon regulat poate fi înscris într-un cerc (numit circumcercul său).
- Fiecare poligon regulat are un cerc inscripționat (numit cercul său) și fiecare cerc poate fi înscris într-un poligon regulat cu n laturi, pentru orice n ≥3.
- Nu fiecare poligon cu mai mult de trei laturi are un cerc înscris; acei poligoane care o fac se numesc poligoane tangențiale . Nu fiecare poligon cu mai mult de trei laturi este un poligon inscris al unui cerc; acei poligoane care sunt atât de înscrise se numesc poligoane ciclice .
- Fiecare triunghi poate fi înscris într-o elipsă, numită circumferința lui Steiner sau pur și simplu elipsa lui Steiner, al cărei centru este centroidul triunghiului .
- Fiecare triunghi are o infinitate de elipse inscripționate . Una dintre ele este un cerc, iar una dintre ele este inelipsa Steiner, care este tangentă triunghiului de la punctele medii ale laturilor.
- Fiecare triunghi acut are trei pătrate inscripționate . Într-un triunghi dreptunghiular, două dintre ele sunt îmbinate și coincid între ele, deci există doar două pătrate inscripționate distincte. Un triunghi obtuz are un singur pătrat inscripționat, cu o parte care coincide cu o parte a celei mai lungi laturi a triunghiului.
- Un triunghi Reuleaux , sau mai general orice curbă cu lățime constantă , poate fi inscripționat cu orice orientare în interiorul unui pătrat de dimensiunea corespunzătoare.