În centru - Incenter

Punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor celor 3 unghiuri ale triunghiului ABC este stimulul (notat cu I). Cercul (al cărui centru este I) atinge fiecare parte a triunghiului.

În geometrie , stimulatorul unui triunghi este un centru triunghiular , un punct definit pentru orice triunghi într-un mod care este independent de plasarea sau scala triunghiului. Incenterul poate fi definit în mod echivalent ca punctul în care se intersectează bisectoarele interioare ale triunghiului, ca punct echidistant de laturile triunghiului, ca punct de joncțiune al axei mediale și punctul cel mai interior al focului de iarbă transformat al triunghiului și punctul central al cercului inscris al triunghiului.

Împreună cu centroidul , circumcentrul și ortocentrul , acesta este unul dintre cele patru centre triunghiulare cunoscute de grecii antici și singurul care nu se află în general pe linia Euler . Este centrul primul listat, X (1), în Clark Kimberling e Enciclopedia Centrelor Triangle , iar elementul de identitate al grupului multiplicativ de centre de triunghi.

Pentru poligoane cu mai mult de trei laturi, stimulatorul există doar pentru poligoane tangențiale - cele care au un cerc care este tangent la fiecare parte a poligonului. În acest caz, stimulatorul este centrul acestui cerc și este la fel de îndepărtat de toate părțile.

Definiție și construcție

Este o teoremă în geometria euclidiană că cele trei bisectoare interioare ale unui triunghi se întâlnesc într-un singur punct. În Elementele lui Euclid , Propoziția 4 din Cartea a IV-a demonstrează că acest punct este, de asemenea, centrul cercului înscris al triunghiului. Cercul în sine poate fi construit prin scăderea unei perpendiculare din inceneritor pe una dintre laturile triunghiului și trasarea unui cerc cu acel segment drept rază.

Incinerul se află la distanțe egale de cele trei segmente de linie care formează laturile triunghiului și, de asemenea, de la cele trei linii care conțin acele segmente. Este singurul punct la fel de îndepărtat de segmentele de linie, dar există încă trei puncte la fel de îndepărtate de linii, excentorii, care formează centrele cercurilor triunghiului dat. Centrul și excenterii formează împreună un sistem ortocentric .

Axa mediană a unui poligon este setul de puncte al căror vecin cel mai apropiat pe poligonul nu este unic: aceste puncte sunt echidistante de două sau mai multe laturi ale poligonului. O metodă pentru calcularea axelor mediale este utilizarea transformării de iarbă , în care se formează o secvență continuă de curbe decalate , fiecare la o anumită distanță fixă ​​de poligon; axa medială este trasată de vârfurile acestor curbe. În cazul unui triunghi, axa mediană este formată din trei segmente ale bisectoarelor unghiulare, care leagă vârfurile triunghiului de inciner, care este punctul unic pe curba de decalare cea mai interioară. Scheletul drept , definit într - un mod similar dintr - un alt tip de curbă de compensare, coincide cu axa mediană pentru poligon convex și , astfel , de asemenea , are joncțiunea sa la ınscris.

Dovezi

Dovada raportului

Fie bisecția și întâlnirea la și bisecția și întâlnirea la și și întâlnirea la . ${\displaystyle \angle {BAC}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \angle {ABC}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {AD}}}$${\displaystyle {\overline {BE}}}$${\displaystyle {I}}$

Și lasă și ne întâlnim la . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {F}}$

Atunci trebuie să dovedim că este bisecția lui . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

In , . ${\displaystyle \triangle {ACF}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

In , . ${\displaystyle \triangle {BCF}}$${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

Prin urmare,, astfel încât . ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

La fel și bisecția lui${\displaystyle {\overline {CF}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

Dovadă perpendiculară

O linie care este o bisectoare este echidistantă de ambele linii atunci când măsoară perpendicular. În punctul în care se intersectează două bisectoare, acest punct este perpendicular echidistant de liniile de formare ale unghiului final (deoarece sunt la aceeași distanță de acest unghi marginea opusă) și, prin urmare, se află pe linia sa bisectoare unghiulare.

Relația cu laturile triunghiului și vârfurile

Coordonate triliniare

De coordonate Trilinear pentru un punct în triunghiul da raportul distanțelor la laturile triunghiului. Coordonatele triliniare pentru stimul sunt date de

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Colecția centrelor triunghiulare poate primi structura unui grup sub multiplicare coordonată a coordonatelor triliniare; în acest grup, stimulatorul formează elementul identitar .

Coordonatele baricentrice

De coordonate barycentric pentru un punct într - un triunghi greutăți da o astfel încât punctul este media ponderată a pozițiilor triunghi vertex. Coordonatele baricentrice pentru stimul sunt date de

${\displaystyle \ a:b:c}$

unde ,, și sunt lungimile laturilor triunghiului, sau echivalent (folosind legea sinilor ) de ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

unde , și sunt unghiurile de la cele trei vârfuri. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Coordonatele carteziene

De coordonatele carteziene ale ınscris sunt o medie ponderată a coordonatelor celor trei vârfuri folosind lungimile laterale ale triunghiului în raport cu perimetrul-adică folosind coordonatele barycentric date mai sus, normalizate la suma la unitatea-ca greutate. (Greutățile sunt pozitive , astfel minciunile ınscris în interiorul triunghiului așa cum este menționat mai sus.) Dacă cele trei vârfuri sunt situate la , și , iar laturile opuse aceste noduri au lungimi corespunzătoare , și , apoi ınscris este la ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Distanțe față de vârfuri

Notând stimulentul triunghiului ABC ca I , distanțele de la stimulent la vârfuri combinate cu lungimile laturilor triunghiului respectă ecuația

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

În plus,

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

unde R și r sunt circumradius și respectiv inradius ale triunghiului .

Construcții conexe

Alte centre

Distanța de la inciner la centroid este mai mică de o treime din lungimea celei mai lungi mediane a triunghiului.

Prin teorema lui Euler în geometrie , distanța pătrată de la incinerul I la circumcentrul O este dată de

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

unde R și r sunt circumradius și respectiv inradius; astfel circumradiusul este cel puțin de două ori mai mic decât cel inradius, cu egalitate doar în cazul echilateral .

Distanța de la stimulator la centrul N al cercului de nouă puncte este

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

Distanța pătrată de la inciner la ortocentrul H este

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

Inegalitățile includ:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Incinerul este punctul Nagel al triunghiului medial (triunghiul ale cărui vârfuri sunt punctele medii ale laturilor) și, prin urmare, se află în interiorul acestui triunghi. În schimb, punctul Nagel al oricărui triunghi este stimulatorul triunghiului său anticomplementar .

Incinerul trebuie să se afle în interiorul unui disc al cărui diametru conectează centroidul G și ortocentrul H ( discul ortocentroid ), dar nu poate coincide cu centrul în nouă puncte , a cărui poziție este fixă ​​la 1/4 din drum de-a lungul diametrului. (mai aproape de G ). Orice alt punct din discul ortocentroid este stimulatorul unui triunghi unic.

Linia Euler

Linia Euler a unui triunghi este o linie care trece prin circumcentrul , centroul și ortocentrul său , printre alte puncte. În general, stimulatorul nu se află pe linia Euler; este pe linia Euler numai pentru triunghiurile isoscele , pentru care linia Euler coincide cu axa de simetrie a triunghiului și conține toți centrii triunghiului.

Notând distanța de la inciner la linia Euler ca d , lungimea celei mai lungi mediane ca v , lungimea celei mai lungi părți ca u , circumradiusul ca R , lungimea segmentului de linie Euler de la ortocentrul la circumcentrul ca e , iar semiperimetrul ca s , sunt valabile următoarele inegalități:

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Separatoare de suprafață și perimetru

Orice linie printr-un triunghi care împarte atât zona triunghiului cât și perimetrul acestuia în jumătate trece prin stimulul triunghiului; fiecare linie prin stimulatorul care împarte aria în jumătate împarte și perimetrul în jumătate. Există fie una, două, fie trei dintre aceste linii pentru orice triunghi dat.

Distanțe relative de la o bisectoare

Să X să fie un punct variabil pe bisectoarea unghiului intern al A . Apoi X = I (stimulatorul) maximizează sau minimizează raportul de -a lungul acelei bisectoare. ${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

Referințe

linkuri externe

• Weisstein, Eric W. „Incenter” . MathWorld .