Coordonate triliniare - Trilinear coordinates
În geometrie , coordonatele triliniare x: y: z ale unui punct relativ la un triunghi dat descriu distanțele relative direcționate de la cele trei margini laterale ale triunghiului. Coordonatele triliniare sunt un exemplu de coordonate omogene . Raportul x: y este raportul distanțelor perpendiculare de la punctul la laturi ( extins dacă este necesar) vârfurile opuse A și respectiv B ; raportul y: z este raportul distanțelor perpendiculare de la punctul la marginile opuse vârfurilor B și respectiv C ; și de asemenea pentru z: x și nodurile C și A .
În diagrama din dreapta, coordonatele triliniare ale punctului interior indicat sunt distanțele reale ( a ' , b' , c ' ), sau echivalent sub formă de raport, ka' : kb ' : kc' pentru orice constantă pozitivă k . Dacă un punct se află pe o linie laterală a triunghiului de referință, coordonata sa triliniară corespunzătoare este 0. Dacă un punct exterior se află pe partea opusă a unei linii laterale de interiorul triunghiului, coordonata sa triliniară asociată cu această linie laterală este negativă. Este imposibil ca toate cele trei coordonate triliniare să nu fie pozitive.
Denumirea „coordonate triliniare” este uneori prescurtată în „triliniare”.
Notaţie
Raportul notației x : y : z pentru coordonatele triliniare este diferit de notația triplă ordonată ( a ' , b' , c ' ) pentru distanțele reale direcționate. Aici fiecare dintre x , y și z nu are sens în sine; raportul său la unul dintre celelalte are un sens. Astfel, „notația virgulă” pentru coordonatele triliniare ar trebui evitată, deoarece notația ( x , y , z ), care înseamnă o triplă ordonată, nu permite, de exemplu, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), în timp ce „notația de colon” permite x : y : z = 2 x : 2 y : 2 z .
Exemple
Coordonatele triliniare ale incinerului unui triunghi ABC sunt 1: 1: 1; adică distanțele (direcționate) de la stimulator la marginile BC , CA , AB sunt proporționale cu distanțele reale notate cu ( r , r , r ), unde r este radiusul triunghiului ABC . Având în vedere lungimile laturilor a, b, c avem:
- A = 1: 0: 0
- B = 0: 1: 0
- C = 0: 0: 1
- stimuler = 1: 1: 1
- centroid = bc : ca : ab = 1 / a : 1 / b : 1 / c = csc A : csc B : csc C .
- circumscris = cos A : cos B : cos C .
- orthocenter = sec A : sec B : sec C .
- centru în nouă puncte = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
- punctul symmedian = a : b : c = sin A : păcat B : păcatul C .
- A -excenter = −1: 1: 1
- B -excenter = 1: −1: 1
- C -excenter = 1: 1: −1.
Rețineți că, în general, stimulentul nu este același cu centroidul ; Centroidul are coordonate baricentrice 1: 1: 1 (acestea fiind proporționale cu ariile semnate reale ale triunghiurilor BGC , CGA , AGB , unde G = centroid.)
Punctul de mijloc al, de exemplu, al laturii BC are coordonate triliniare în distanțele laterale reale pentru aria triunghiului , care în distanțe relative specificate în mod arbitrar simplifică la Coordonatele în distanțele reale laterale ale piciorului altitudinii de la A la BC sunt care în distanțe pur relative simplifică la
Formule
Colinearități și concurențe
Coordonatele triliniare permit multe metode algebrice în geometria triunghiului. De exemplu, trei puncte
- P = p : q : r
- U = u : v : w
- X = x : y : z
sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul
este egal cu zero. Astfel, dacă x: y: z este un punct variabil, ecuația unei drepte prin punctele P și U este D = 0. Din aceasta, fiecare dreaptă are o ecuație liniară omogenă în x, y, z . Fiecare ecuație de forma lx + my + nz = 0 în coeficienți reali este o dreaptă reală de puncte finite, cu excepția cazului în care l: m: n este proporțional cu a: b: c , lungimile laterale, caz în care avem locusul puncte la infinit.
Dualitatea acestei propoziții este că liniile
- pα + qβ + rγ = 0
- uα + vβ + wγ = 0 ,
- xα + yβ + zγ = 0
concurent într-un punct (α, β, γ) dacă și numai dacă D = 0.
De asemenea, dacă distanțele reale direcționate sunt utilizate la evaluarea determinantului lui D , atunci aria triunghiului PUX este KD , unde K = abc / 8∆ 2 (și unde ∆ este aria triunghiului ABC , ca mai sus) dacă triunghiul PUX are aceeași orientare (în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic) ca triunghiul ABC , iar K = –abc / 8∆ 2 în caz contrar.
Linii paralele
Două linii cu ecuații triliniare și sunt paralele dacă și numai dacă
unde a, b, c sunt lungimile laterale.
Unghi între două linii
De tangentele unghiurilor dintre cele două linii cu ecuații Triliniar și sunt date de
Liniile perpendiculare
Astfel două linii cu ecuații triliniare și sunt perpendiculare dacă și numai dacă
Altitudine
Ecuația altitudinii de la vârful A la latura BC este
Linie în termeni de distanțe față de vârfuri
Ecuația unei linii cu distanțe variabile p, q, r de la vârfurile A , B , C ale cărei laturi opuse sunt a, b, c este
Coordonate triliniare la distanță reală
Triliniarele cu valorile coordonate a ', b', c ' fiind distanțele reale perpendiculare pe laturi satisfac
pentru laturile triunghiului a, b, c și aria . Acest lucru poate fi văzut în figura din partea de sus a acestui articol, cu triunghiul ABC de partiție a punctului interior P în trei triunghiuri PBC , PCA și PAB cu ariile respective (1/2) aa ' , (1/2) bb' și (1/2) cc ' .
Distanța dintre două puncte
Distanța d dintre două puncte cu distanțe reale triliniare a i : b i : c i este dată de
sau într-un mod mai simetric
- .
Distanța de la un punct la o linie
Distanța d de la un punct a ' : b' : c ' , în coordonate triliniare ale distanțelor reale, la o linie dreaptă lx + my + nz = 0 este
Curbele cuadratice
Ecuația unei secțiuni conice în punctul variabil triliniar x : y : z este
Nu are termeni liniari și nici un termen constant.
Ecuația unui cerc de rază r având centrul la coordonatele distanței reale ( a ', b', c ' ) este
Circonicele
Ecuația în coordonatele triliniare x, y, z a oricărui circumconic al unui triunghi este
Dacă parametrii l, m, n sunt egali cu lungimile laturii a, b, c (sau sinele unghiurilor opuse), atunci ecuația dă circumcercul .
Fiecare circumconic distinct are un centru unic în sine. Ecuația în coordonate triliniare a circumconicului cu centrul x ': y': z ' este
Inconice
Fiecare secțiune conică înscrisă într-un triunghi are o ecuație în coordonate triliniare:
cu exact unul sau trei dintre semnele nespecificate fiind negative.
Ecuația cercului poate fi simplificată la
în timp ce ecuația pentru, de exemplu, excircul adiacent segmentului lateral opus vârfului A poate fi scrisă ca
Curbele cubice
Multe curbe cubice sunt ușor reprezentate folosind coordonate triliniare. De exemplu, auto-izoconjugatul pivot cubic Z (U, P) , ca locus al unui punct X astfel încât P -izoconjugatul lui X este pe linia UX este dat de ecuația determinantă
Printre cubicii numiți Z (U, P) sunt următoarele:
- Thomson cub : Z (X (2), X (1)) , unde X (2) = centroid , X (1) = stimulator
- Cub Feuerbach : Z (X (5), X (1)) , unde X (5) = punctul Feuerbach
- Cub Darboux : Z (X (20), X (1)) , unde X (20) = punctul De Longchamps
- Neuberg cubic : Z (X (30), X (1)) , unde X (30) = punctul infinit al lui Euler .
Conversii
Între coordonatele triliniare și distanțele de la margini
Pentru orice alegere a coordonatelor triliniare x: y: z pentru a localiza un punct, distanțele reale ale punctului de la margini sunt date de a '= kx , b' = ky , c '= kz unde k poate fi determinat de formula în care a , b , c sunt lungimile laterale respective BC , CA , AB și ∆ este aria ABC .
Între coordonatele baricentrice și triliniare
Un punct cu coordonate triliniare x : y : z are coordonate barcentrice ax : by : cz unde a , b , c sunt lungimile laterale ale triunghiului. În schimb, un punct cu barentrici α : β : γ are coordonate triliniare α / a : β / b : γ / c .
Între coordonatele carteziene și triliniare
Dat fiind un triunghi de referință ABC , exprimați poziția vârfului B în termenii unei perechi ordonate de coordonate carteziene și reprezentați-l algebric ca un vector B , folosind vârful C ca origine. In mod similar definesc vectorul de poziție al vertex A ca A . Apoi , orice punct P asociat cu triunghiul de referință ABC pot fi definite într - un sistem cartezian ca vector P = k 1 A + k 2 B . Dacă acest punct P are coordonate triliniare x: y: z atunci formula de conversie de la coeficienții k 1 și k 2 din reprezentarea carteziană la coordonatele triliniare este, pentru lungimi laterale a , b , c vârfuri opuse A , B , C ,
iar formula de conversie de la coordonatele triliniare la coeficienții din reprezentarea carteziană este
Mai general, dacă se alege o origine arbitrară unde coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt cunoscute și reprezentate de vectorii A , B și C și dacă punctul P are coordonate triliniare x : y : z , atunci coordonatele carteziene ale lui P sunt media ponderată a coordonatelor carteziene ale acestor vârfuri folosind coordonatele baricentrice ax , cu și cz ca greutăți. Prin urmare, formula de conversie de la coordonatele triliniare x, y, z la vectorul coordonatelor carteziene P a punctului este dată de
unde lungimile laterale sunt | C - B | = a , | A - C | = b și | B - A | = c .
Vezi si
- Teorema trisectorului lui Morley # Triunghiurile lui Morley , oferind exemple de numeroase puncte exprimate în coordonate triliniare
- Complot ternar
- Teorema lui Viviani
Referințe
linkuri externe
- Weisstein, Eric W. „Coordonatele triliniare” . MathWorld .
- Enciclopedia Centrelor Triunghiului - ETC de Clark Kimberling; are coordonate triliniare (și barentric) pentru mai mult de 7000 de centri triunghiulari